장음표시 사용
162쪽
164쪽
DEPINITIO I. SPFLERA est fisura solida una superficie Comprehensa, ad quam superficiem, a puncto quodam intra figuram quotquot extentae sint rectae lineae sunt inter se aequales. II. Centrum sphaerae est punctum illud. III. Axis vero sphaerae est recta quaedam linea, per centrum ducta, et utrinque ad sphaerae luperficiem terminata, es Ca quam manentem Sphaera convertitur. IV. Poli sphaerae sunt ipsius axis termini.
Polus circuli in sphaera est punctum in superscio sphaerae, a quo omnes rectae lineae, in circuli peripheriam deductae, inter se sunt aequales. VI. Circuli in sphaera se mutuo contingere dicuntur,
165쪽
Si Dba ea super ira plono oliquo secetur, linea, quin stin oberi supra te, es circuli peripheria.
Secetur enim plano aliquo sphaerica superficies, faciatque in supci scie sphaerae lineam A B C : dico lincain ABC elle Peripheriam circuli. CAs. I. Si enim planum illud, quod secat sphaeram,pur sphaerae centrum trajicitur, manifestum est lineam ABC esse peripheriam Circuli: rectae enim lineae, quae a s phoerae centro ad
superficiem ducuntur, inter se sequatos siuat I. Def. hujus) at qui linea ABC cst in sphaerae su
rectae, quae a Centro sphaerae ad liticam ABC ducuntur, sunt inter se aequales: sed positum est planum A B C per sphaerae centrum trajici: ergo linea ABC est peripheria circuli, cujus centrum idem est
Cor. Catius I. Atque hinc patet, idem osse spluerae centrum, et circuli per sphaerae centrum trajecti. CA s. a. At planum illud, quod sphaeram secat, non ducatur per spnaerae centrum ; sitque ccutrum sphaerae punctum D ; et a puncto D, ad pilanum quod sphaeram 1ecat, ducatur ad pellendiculum D E I I . xi.) quae plano
occurrat in puncto E : et a Paneto E, ad lineam A B C, ducantur rectae lineae E A et E B, junganturque rector D A
Cum ergo recta A D aequalis sit rectae D B : quadratovcro quod sit ex Α D aequalia sint quadrata duo quae fiunt Ex A E et E D : quadrato autem quod si ex D Raequalia snt quadrata quae fiunt cx B E et E D 47. i.) uterque enim angulorum ad E redius est: duo igitur quadrata quae sunt eX A E, E D aequalia sunt duobus qua- Matis quae sunt eX B E, E D : auferatur Commune quadratum quod sit ex DE: aequale igitur est quadratum factum ex E A quadrato iacto ex E B. atque idcirco restia Diuiti su by GOoste
166쪽
recta E A aequalis est rectae A B. Eodem modo ostendemus, omnes rectas, ductas a puncto E ad linqam Λ B C, aequales inter se esse. Linea igitur A B C est peripheria circuli, cujus centrum est E. Q. E. D. Cor. Cayus a. Atque hinc constat fore, ut si in sphaera . sit circulus; recta, a centro sphaerae in planum circuli ad perpendiculum deducta, incidet in centrum circuli. cir I. Recta linea sphaericam superficiem in punctis plus duobus non secat. Et quae duo quaevis puncta Iuperficiei sphaericae conjungit linea recta, ea intra superficiem cadit. 4Cor. a. Circuli sphaerae duo punctis plus duobus in sphaerica superficie sibi invicem non occurrunt. Namsa in tribus occurrant, tria illa erunt ad Communem Pla- Dorum intersectionem. Linea igitur recta, quae communis est planorum intersectio, supersciei sphaericae in tribus punctis occurrit. Quod fieri nequit.
Sit data sphaera quaelibet; oportet ejus centrum invenire.
Secetur sphaera data plano aliquo : planum, secando, circulum faciet. Faciat Λ B C, cujus circuli A R C centrum sumatur D ; et a puncto D, ad Perpendiculum Cum plano. Circuli ABC, educatur retia D R ; quae
producta superficiei sphaericae in
punctis Ε, P occurrat. Media dividatur recta AP in puncto G. Dico punctum G datae sphaeri
Non enim ; sed si fieri potest,
si aliud punctum H, centriam sphaerae datae. Juncta H D plano A B C, ad perpendiculum erit Cor. Cas. a. i. hujus. in Sud recta E D P, ad perpendiculum est Plano A B C sex construes.) Ρunctiam B a igitur
167쪽
igitur H ad rectam E P t ne dum rediis eidcin plano ad idem punctum ad perpendicatum iniistant. Recta igitur E F, sphaerae diameter erit, et inpundio H, centro sphaerae, media dividetur. Seci in punctos media dividitur recta E P per construct. In utroque igitur punctorum, G et Η, recta B P media dividitur: quod est absurdum.
Punctum igitur H non est centrum sphaerae. Similiter ostendemus nec aliud ullum praeter G. Quare punctum G est centrum sphaerae ABC. In ventum est igitur centrum sphaerae. O. E. F. r. Hinc constat, si in sphaera sit circulus, a centro autem ipsus excitetur recta linea ad perpendiculum cum circuli plano, in linea excitata centrum esse sphaerae.
ΘMrra planum, a quo non secatur, punmis plar uno non
Si enim seri potest, sphaera planum, a quo non sec tur, tangat in punctis duobus A et B, lumaturque a. hujus centrum ipsius sphaerae, quod sit punctum C : et jungantur
rediar A C, B C : et Producatur planum per lineas AC et B Utrajectum: quod sectionem ossiciet in sphaerae superficie I. hujus) peripheriam circuli; in plano autem sphaeram contingento lineam rectam. Faciat ergo in sphaerae quidem superficie circulum D A B : in plano autem, reciana E A B P. Quoniam isitur planum quoddam non secat sphaeram, est autem in sphaerie superficie circulus D A B, in Plano autem non secanto recta E A B P ; ergo rella linea E A B v. non secat ipsum D A B circulum: cum ergo, in ipsius
D A B circuli peripheria, sumpta sint duo quae libet puncta
168쪽
A et B ; linea recta, ducta a puncto A in punctam B, cadet a. iii.) intra ipsum D A B circulum : 1 est extractiam, quod fieri non potest. Sphaera ergo planum, a quo non secatur, in unico tantum puncto Contingit. Q. E. D. Cor. I. Superficies sphaerica lineam rectam, aqua non secatur, in unico tantum puncto continget. Et, ad utrasque Partes puncti contactus, recta extra superficiem cadet. Cor. 2. Linca recta, quae circulum sphaerae aliquem, in cujus plano est, contingit, in ipso contactus puncto superficiem sphericam continget. Secando enim superficiem, circuli peripheriam secaret. Cor. 3. Si linea recta superficiem sphaericam in puncto aliquo contingat; eadem recta, in eodem puncto, circulorum sphaerae omnium peripherias Conlitiget, quorum plana per rectam illam transeunt. Quamlibet enim ex peripheriis secando, sphaeram se
Cor. 4. Si duae rectae superficiem sphaericam in uno eodemque puncto contingant, planum Per rectas superficiem sphaericam, in eodem puncto, Continget. Secat enim, si non contingat. Secando, circulum insuperficie effecerit, quem utique duae illae rectae contingent in eodem puncto per praec.) Quod est ab
Cor. 5. Si duae rectae circulos sphaerae duos, in superscie spherica sibi mutuo occurrentes, altera ulterum in ipso mutui occursus puncto contingant; planum perrectas in eodem pundio superficiem sphaericam conia tinget. Manifestum est ex praecedenti; quoniam utraque recta, circulum sphaerae contingendo, superficiem sphaerae con
169쪽
Si ob ra planum, a quo non fecatur, contingat; recIa linea, a centro obis in ad contuetum duecta, plano ad perpendiculum erit. Et s planum superjiciei Ihisero in puncio aliquo occurrat, reetaque, a centro θλευε ad punectum occursus ducta, ad perpendiculum sit plano; planum illud supersciem bisericam tu puncto occubus continget. Sphaera enim planum, quod ipsam non secet, tangat in puncto A, sumaturque centrum sphaera a. hujus punctum B videlicet, jungaturove recta n A : dico lineam B A ad perpendiculum esse plano, quod sphaeram tangit in puncto A. Extendatur enim planum per lineam A B: quod planum, secando, circulum essiciet itisuperficie sphaerica, in plano autem contingente lineam re tami faciat igitur in spha rae qui dona superficie circu-1 luna AC D; in plano autem
rursum, per eandem lineam A B extendatur aliud planum, quod sectionem faciat in sphaerae quidem superficie circulum AH; in plano autem Contingente, rectam lineam K A L. Cum ergo planum E K P I, tangat sphaeram, re RaA A F tangit circulum A CD 3. Cor. praec. in quia ergo recta qiue iam linea E A P tangit circulum A CD in pancto A : a punisto autem A ad centrum circuli ducta est recta A B : isitur recta Λ Η ad perpendiculum cst rectae L A P sI8. iii. constat autem punctum B centrum est e ipsius A CD circuli Cor. Cas. I. i. hujus) cum planum ejusdem A CD circuli extendatur per lineam B A, quae est e Centro sphaera : eodem modo ostendemus lineam B A ad perpendiculum esse rectae KAL. Cum itaque B A, duabus lineis R P et x L se mutuo secantibus, incommuni carum sectione ad angulos rectos insistat;
recta B 4 ad angulos reetos erit illi plano, quod per ipsas E P et K L trajicitur sq. Xi.ὶ planum autem, quod per ipsas R P et K L rectas lineas trajicitur, est planum illud quod sphaeram tangit.
170쪽
Quare recta iA B ad perpendiculum est plano quod sphaeram tangit. Quod primum erat demonstrandum. Iam vero planum ELPK supersciei. sphaerae, cujus centrum n, in puncto Λ occurrat. Junctaque B A ad perpendiculiam sit plano ELF K. Dico planum illud apho ram contingere in puncto A. In plano enim EL FK capiatur punctum quodlibet K. Jungantur B Κ, K A. Angulus HAK rectus spur 3. Def. xi.) Propter angulum B A K rectum, recta B Κ major est quam B A. B A autem semidiameter est spl1aerae. Major igitur B ia, quam semidiameter iphaerae, cum punctum ipsum is si uertist centrum iit. Punctum igitur K. extra sphaeram. Simili modo et aliud omne punctum plani ELPK, praeter ipsum A, ostendetur extra spho ram esse . Planum igitur R LPK, superficiem sphaericam in puncto A contingit. Quod alterum erat demonstrandunt.
Si bira planum tangat, quod ibam non fescat, a contu ιausem excitetur recta linea ad angulos rectos ipse pliano, in linea excitatu eris centrum ubin E. Sphaera enim planam aliquod, a quo non secatur, tangat in puncto A; et a puncto A excitetur recta linea A A ad angulos rectos ipsi plano: dico centrum sphaerae esse in linea 4 A.
Non enim : sed, si sieri potest,
sit centrum sphaerae punctum C; et jungatur recta C A. Quia ergo sphaera Planum, a quo non secatur, tangit in puncto
contactum ducta est recta linea C A ; recita C A cst . hujus) ad angulos rectos ipsi plano: cst vero etiam B A ad angulos reditos ipsi plano ex Hyp. ergo ab eodem puncto A,
duae ruetae lineae excitatae sunt A B et AC aa angulos
metoes eidem subjecto plano, quod fieri non potest 13. xi.)igitur punctum C non est centrum sphae me : eodem modo ostendemus nullum punctum eXtra lineam B Λ esse centrum sphaerete.