장음표시 사용
171쪽
Cor. Duo plana superficiem sphaerae non contingunt in eodem puncto.
Circulorum, qui in 'b d funt, maximi sunt qui per
iphinris centrum Acunturr aliorum autem, illi inter sae quales sunt, qui qualiter a centro disant: qui vero Angitis a censro disant, minores sunt. Et e converso circulorum, qui in 'binrd sunt, maximi per centrum transeunt; aliorum autem, qui sunt inter te inquatis inqualiter a centro disant; minores autem, longius a centro absunt quam major . Sint in sphaera circuli AB, CD, E F: quorum CD ducatur per centrum sphaerae rduo autem AB et E P prim tam quidem sequaliter a centro dissent': dico circulum C D esse maximum: circulos autem A Bet E F csse inter se aequales. Sumatur enim sphaerin utrum, Punctum nempe ci
s et . hujus) quod circuli etiam
C D centrum erit Cor. Cas. I. i. hujus.) A puncto G, in plana circulorum A B, E F, ad perpendiculum deducantur G H, G K ; quae planis illis in punctis Η, Κ occurrant. Puncta igitur H, κ, sunt centra Circulorum A B, E F Cor. Cas. a. i. hujus. Producantur a punctis H, G, K, ad peripherias rectae lineae H L, G M, K N, et jungantur G L, G N. Et quia linea G H recta est ad planum ipsius A B circuli, ergo ad omnes lineas ipsam G H tangentes et jacentes In plano ipsius A B circuli, rectos angulos facit 3. Def. xi.) ipsam autem tangit recta H L posita in plano circuli A B : anguluS igitur L H G rectus est reodem modo Ostendemus rectum esse angulum ci K N rcum itaque rectus sit angulus G H L, angulus L G Hminor est recto I7. i. major ergo est angulus L H ciangulo LGH : quare latus LG majus est latere L H I9. i.
a Circuli a eentro sphaerae distantia ipsa est centrorum distantia; seu linea recta centrum sphaerae et centrum circuli conjungens.
172쪽
est autem recta L G aequalis rectae G M, eo quod punctum G est centrum sphaerae, et ab eo in sphaerae superficiem ductae sunt lineae rectae L G, G M r igitur linea G M est major quam linea L H : est autem Inea G M serui diameter circuli C D : linea autem L H semidianaeter circuli A B : major igitur est circulus C DCirculo A B r eodem modo osteridemus circulum C Dmajorem esse quolibet alio circulo per sphaerae centrum non trajecto. Dico etiam sequales inter se esse circulos A B, E F : quia enim aequaliter distant a centro sphaerae
ipsi A s, R P circuli; aequalis igitur est G H ipsi G R. t et quia punctum G est centrum sphaerae, aequalis est linea G L ipsi ci N r quare quadratum quod si ex G L aequale est quadrato quod fit ex G N : sed quadrato quod fite. G L aequalia sunt quadrata quae sunt ex N L et G H 47. i.) quadrato autem quod sit ex G N aequalia sunt
quadrata ex Κ N et O K : igitur quadrata, quae fiunt exH L et G H, aequali R sunt quadratis, quae sunt ex K N et G R : quorum illud, quod fit ex G H, aequale est ei quod fit ex G M : reliquum igitur quod fit ex H L aequale est ei quod fit ex K Ν : quare aequalis est H L ipsi K N r est autem iesa H L semidiameter circuli Α Β : linea autem K N semidiameter circuli R P: igitur semidiameter circuli Α Η aequalis est 1emidiametro circuli E P : atque ideo aequalis est A B circulus circulo E F. . Sed circulus A B longius distet a centro sphaerae quam circulus E P e dico circulum A B minorem esse circulo EP : Manente enim eadem constructione. quia Circulus A RIongius disiat a Centro sphaerae quam circulus EF : idcirco recta G H major est quam recta G Κ : item quia recta G L aequalis est rectae G N ;punctum enim G est sphaerae
centrum, puncta vero L et Nsunt ad sphaerae superficiem: idcirco quadratum quod fit ex G L aequale est quadrato facto ex G N; id est, quadrata, quae fiunt ex G H et H L, aequalia sunt quadratis quae sunt ex G K et Κ N : quorum illud quod fit ex o M majus est eo quod fit ex K G : reliquum igitur quod sit ex H L minus est reliquo quod
sit ex K N : quare recta L H minor est quam recta N K :
173쪽
sed recta H L est semidiameter circuli A n e recta autem K N est semidiameter circuli
R. F : circulus ergo A n minor est circulo E F.
sphaerae centrum trajiciuntur, maximi sani: reliquorum Rutem sequales inter se sunt qui aequaliter distant a centro sphaerae: qui vero longius distant minores sunt. Dico jam e conversu circulorum in sphisera maximos trans ire per centrum Iphirin; aliorum auraem AEquati s quiadem AEqualiter disare a centro, minores Ocro longius abesse a centro quam maj0rra. Iisdem enim constria his sit C D circulus maximus: dico C D circulum transire per sphaerae Centrum. Si enim fieri possiit, non transeat per sphaerae centrum :quia ergo ostensiim est circulum, per sphaerae centrrim, majorem esse quolibet non per centrum ; si quis circulus per sphaerae centrum ducatur, ille major crit circulo C D. Quare C D circulus non erit maximus, quod est absurdum: est enim maximus ex hypothesi : orgo C Dcirculus maximus per sphaerae ceutrum transit. Jam vero sint circuli An et E F inter se aequales: dico eos aequaliter distare a sphaerae centro. Equalium enim circulorum sun idiametri, H L, K N erunt inter se aequatus 1. Def. iii. J AEquales autem G I., G N, ex sphaerae centro superficiem usque producto . quinetiam quadratum quod sit ex G L aequale cst quadratis quae fiunt ex G H, H I. : ct quadratum quod sit ex G N aequale est quadratis quae fiunt eX G Κ, Κ N. Drio igitur ex G H, H L, duobus ex G K, Κ N sunt aequalia aulatisque aequalibus ex H L, Κ Ν, reliquum quod si ex G H aequale erit reliquo quod si ex G K, idque H Gaequalis ipji G K : iequales ergo circuli aequaliter distanta centro iphaera'. At vero sit circulus A n minor circulo Ε F et dico Oirculum Λ B longius distare a centro 1Platerae quam Circatum H F.
Quia enim A B minor est quam n F, igitur semidiameter
174쪽
LIBER SINGULARIS. IImeter ri L minor est semidiametro K N : item quia quadratum ex G L aequale est quadratis eX G H, H L: quadratum autem eX G N aequale est quadratis ex C Κ, K N : duo igitur quadrata ex GH, HI, sequalia sunt duobus quadratiS ex G K, K N : quorum illud quod ex H L minus est illo quod ex K N: reliquum orgo quadratum eX G Hmajus est quadrato ex G Κ, ob icique recta G H major est quam recta G K. Quocirca minores circuli longius distant a centro sphaerae quam majores. O. E. D. Cor. I. Maximi omnes in sphaera circuli inter se sunt
Gr. 2. Circulus quisque, qui minorum est in sphaera, sequalem sibi habet et parallelum aequaliter a Centro sphaerae, ad partes contrarias, remotum. Geminis autem hujusmodi, aequalibus et parallelis, non datur tertius aequalis simul et parallelus.
Si in 'hisyra sit circulus, recta linea, quin centra obmran et circuli iungit, ad perpendiculum erit circuli plano. Sit in sphaera circulus ABCD: et centrum quidem sphaerae sit punetum E: Centrum autem circuli sit punctum F, et jungatur recta E p r dico rectam E P ad perpendiculum
osse circuli, ABCD, plano. Ducantur enim per circuli centrum rectae lineae AP C et B F D, et jungantur B E, E D. In triangulis E F Η, E F D, quia aequale est latus P B lateriv D : latus autem Commune FEL;
duo igitur H P, FE duobuS D F, F Ε aequalia sunt, utrumque
utrique; sed et basis ML B basi v D est aequalis, propterea quod punctum p. est centrum sphaerae, ad ciuus su perscientilint puncta B, D. Angulus igitur B P E aequalis est ungulo D F E 8. i. ὶ Cum autem recta linea rectae lineae insistens yngulos utrinque aequales fecerit, rectas est uterque aequalium angulorum fio. Def. i. in Rectus
175쪽
igitur est uterque angulorum B PE et D FT: quarctrecta n F est ad angulos rectoS
etis lineis A E et E C, Ollen demus rectam E F ad angulCArectos esse ipsi A C. Cum igitur recta E P, duabus rectis A C, B D, se mutuo secantibus, incommuni mutuae intersectionis
uncto ad perpendiculum in- istat; erit illa E F ad perpendiculum duarum AC, BD Plano. Planum autem duarum A CB D est circulus ipse A B C D.
QuAre E P ad perpendiculum est circuli A B C D plano. Q. E. D.
Si in sphaera sit eirculus, recta, per circuli polum et centrum ob rae, erit ad perpendiculum circuli plano; cui in em rocireuli occurris. Esto circulus sphaerae A A C. Circuli A B C, polus sit punctum F. Sphaerae centrum esto D. Dico junctam D P este ad perpendiculum circuli A B Cplano. Occurrat enim jundia D P plano circuli A B C in pultino R. Per punishum E ducatur utcunque, in plano circuli A B C, recta AC; quae circuli peripheriae in punctis, A, C, Occurrat. Jungantur F A, F C, D A, D C. Jam quoniam D centrum est sphaerae, et puncta A, C, ad superficiem; rectae D A, D C erunt inter se aequales. Rursum quoniam P polus est circuli A B C, rectae F A, F C, erunt
inter se aequales 5. Def. hujus.) Triangulorum igitur
a P D, C F D, latera F A, F C, sunt aequalia: latus autem F D commune : et basis D A, basi D C aequalis. Anguli igitur APD, CF D inter se aequales 8. i. In triangulis igitur A F E, C F E latera F A, P C sunt aequalia. Latus autem P E duorum est commune. Et anguli A F A,
176쪽
LIBER sINGULARIS.I3 C r E, inter se aequales. Basis igitur EA, basi EC aequa- Iis, et anguli P E Α, P EC inter se aequales sper 4. i. Rectus igitur uterque. Recta igitur P D ad perpendiculum rectae A C. Similiter et alii cuilibet ructae, per punctum B in plano ABC ductae, OItendemus ad perpendiculum esse rectam F D. omnibus igitur, quae in Plano ABC illi Occurrunt, ad perpendiculum est recta
D F. PIano igitur per 3. Def. xi. in Quare si in sphaera
sit circulas, recta, per circuli polum et centrum sphaerae, erit ad perpendiculum circuli plano. Punctum autem Eubi recta P o plano circuli ABC, Occurrit, circuli ABC, centrum esse manifestum est. Nimirum cum rectae omnes in plano circuli per E ductae, et peripheria utrinque terminatae, in puncto E mediae dividantur. Q. E. D.
Si a centro IZbiri in planum circuli cruolibet, eorum qui
in sphin a, recta ad perpendiculum deducta utrinque pro Aciatur; puncta occursus rectos cum juperflate δεθα rica, circuli erum poli. A centro sphaerae D, in planum circuli A B C ad perpendiculum deducatur redia D E ; quae, utrinque producta superficiei sphaericae in punctis F, G DCCurrat. Dico puncta F, G polos esse circuli ABC. Esto A pundium ubi recta D E plano ABC occurrit. In circuli ABC peripheria sumantur duo quaelibet puncta A, B.
Jungantur EA, E B, FA, FB. Propter rectam D F a centro
sphaerae D, in planum circuli ABC ad perpendiculum deductam, punctum E centrum est circuli ABC per Cor. Cas. a. i. hujus.ὶ Ructae igitur E A, E B, inter se aequales. In triangulis igitur
F E A, F E B, latera EA, EB sunt aequalia: latus autem P E duobus est commune. Et anguli P EA, FEB, inter se aequales; rectus enim uterque. Baiis igitur,
F B, basii F A aequalis si aer 4. i.) Simili modo si in aliua uodvis punctum peripheriae A C, puta H, a puneto Feducatur F H ; ostendetur P H illi E A aequalis. Reetae igitur
177쪽
I igitur omnes, a puncto P in peripheriam circuli 4 B Ccluductae, inter iis aequales. Purictum igitur P polus est circuli An C 5. Def. hujus. Et similiter ostendetur PHNC- tum G circuli A n C polum csse. Quare si a centro sphaera in planum circuli cujuslibet, eorum qui sunt in sphaera, recta, ad perpendiculum deducta, utrinque producatur; punctR OC- cursus rectae cum supersicies phaerica circuli urunt poli. O. E. D. Cor. Omnis circulus in sphaera duos, nec plures, Polos habet cx diametro oppositos. A centro lphserae D in planum circuli A n C, ad per- Pendiculum deducatur D L, quae superficiei sphaericae Producta in punctis P, G occurrat. Puncta F, G polierunt circuli ABC per praec.) ex diametro utiane oppositi. Si quem vero tertium circulus ille polum habeat, lit I tertius. Iuncta D I ad perpendiculum erit plano circuli ABC 8. hujus.) Sed D L eidem plano ad perpendiculum est sper Construet.) Rectte igitur D I, D C, ex puncto D simul exeuntes, inter se erunt parallelm 6. xi. Quod cit absurdum.
Recta, quo circ&ti e jurelibet in ipb rd tolis jungit, ad perpendiculum es Areuli plano, et per centra circula et ubisC
Si per centrum sphaerae non transeat, duci poterit a centro sphaerae ad Polum alterutrum recta; cujus oC- cursus alter cum sphaerica superficie necelsario polus alter erit Cor. p c. Recta igitur reetae in duobus Punctis occurret. Quod cii absurdum. Transit igitur recta polos circuli conjungens, per centrum sphae ra .
Ε:t igitur ad perpendiculum circuli plano 8. hujus.
Per centrum igitur circuli transit Cor. Cas. a. i. hujus. Quare recta quae circuli cujuslibet, eorum qui in sphaera, polos jungit, ad perpendiculum cit circuli plano, et porcentra circuli ut sphaerae transiit. Q. E. D.
178쪽
tar. I. Recta, a polo circuli alterutro in planum circuli nil perpendiculum deducta, incide in centrum circuli, et Producta per polum alterum transibit Cor. 2. Recta, a centro circuli ad perpendiculum cum plano circuli educta, si utrinque producatur, transia ibit per circuli pO S.Cor. 3. Punctum in superficie sphaerica, unde in po-ripheriam circuli rectae plus duabus aequales deduci poterunt, circuli polus est. Nam in Rj. preeo. si tres rectio PA, FH, FH aequale sint; a puncto F, in planum circuli Λ A C, deduci. Ad perpendiculum recta P E, jurtistisque ΕΛ, Ε Η, FH; tres illae, E A, E B, E H erunt inter 1 e aequales. Punctum igitur E centrum est circuli A B c 9. iii.) Punctum igitur P circuli A B C polus sper Cor. Praec.)
Cor. 4. Inspitiora circuli, qui sunt circa eosdem polos, sunt paralleli. In s phaera circuli A B C, D EF, eosdem habeant polos, G, H. Dico plana Circulorum esse parallela. Iuncta enirn GII ad perpendiculum erit utrique
ad perpendiculum, ea sunt inter se parallela I4: xi. Gr. S. In sphaera pnrallelicirculi sunt circa eosdem polos. In sphaera cujus Centrum Κ.snt circuli A B C, D EP paralleli. Dico, circa eosdem esse polos. Alterius enim circulorum, puta circuli A B C, sint puncta G, H poli. Juncta H G ad perpendiculum crit plano circuli A n C, et Dor Κ centrum sphaerae transibit sper hanc Prop.)Sed cum parallela sint circulorum A B C, D EP plana ex hyp.ὶ recta G H, quae ad perpendiculum est plano alteri ABC, alteri etiam D E P ad perpendiculum erit Cor. I 4. xi.) Recta igitur K H, a centro sphaerae iuplanum circuli DAP ad perpendiculum est deducta.
Puncta igitur, G, H, in quibus rueta illa superficiei spla ae
179쪽
ricae occurrit, poli sunt circuli D E P 9. hujus.) Eadem vero puncta, G, H, Circuli A B C, sunt poli sex hyp. Circuli igitur paralleli A B C, D E P sunt circa eΟldenIPolos. O. E. D.
Inisbarra maxima circulis mutuo medios dividunt. In sphaera duo maximi circuli A B, C D, se mutuo secerit in puncti S E, F Dico circulos A B, C D, se mutuo medios dividere. Jungatur enim EF, quae communis erit planorum AB, CD intersectio : et sumatur Centrum sphaerae, quod sitG. Quoniam circuli A B, C D, sunt inter sphaerae maXimos, transit utriusque planum per Centrum sphaerae 6.lmjus. Punctium igitur G, sphaerae centrum, erit in utriusque
plano : ad communem igitur planorum intersectionem ;id est ad rectani R P. Centrum autem sphaerae Commune est Circulorum omnium centrum, quorum Plana per ipsum transeunt Cor. Cas. I. i. hujus.) Puncti agitur G circulorum A B, C D Centrum est Commune. Recta igitur B p eorundem diameter Communis. Utrumque igitur medium dividit. Circuli igitur AB, C D, quorum communis intersectio utriusque cli diametor, se mutuo medios dividunt. Q. E. D. Cor. Circuli maximi se mutuo non contingunt. Duorum enim maximorum communis interiectio, cum utriusque sit diameter, neutrum contingit.
180쪽
n sphaerd, circuli, qui se mutuo medios dividunt, sunt
In sphaera enim duo circuli AB, C D se mutuo in punctis E, F, medios dividant: dico circulos AB, C Desse maximOS. J uncta enim E P diameter est ipsorum AB, CD circulorum e media dividatur E P in puncto G rpunctum igitur ci est contrum ipsorum AB, C D circulorum: jam a puncto G excitentur duae rectae lineae, altera quidem G H, quae ad angulos rectos si plano ipsius C D circuli: altera autem G Κ, quae
ad angulos rectos sit plano circuli AB Ia. xi. Et quia in sphaera circulus est C D, et ab eius centro G excitata est recta linea G H ad angulos rectos plano ipsius circuli: centrum igitur sphaerae Cor. Cas. 2. i. hujus) est in rccta GH. Similiter ostendemus centrum sphaerae esse in recta G ς : igitur centrum sphaerae est in communi scctione ipsarum G H et GR : est autem earum communis sectio in puncto G : quare punctum G est centrum sphaerae: idem autem punctum G est etiam centrum ipsorum AB, C D circulorum: atqui circuli, qui habent idem centrum cum sphaera, sunt maximi.
6. hujus.)Ergo circuli in sphaera, qui se mutuo medios dividunt, sunt maximi. O. E. D.