장음표시 사용
181쪽
Si in bin ra maximus circulus eirculorum fuempiam ad rectos angulos fecet; es medium eum dividit, G perso S. Sit enim in sphaera maximus circulus ABCD, quicorum qui in sphaera sunt circulorum aliquem ad angulos rectos secet, circulum EBFD nempe: dico circulum ABCDot medium dividere, et per ρο-los secare, circulum E B F D. Jungatur enim ipsorum communis sectio B D, sumaturque centrum circuli ABCD, quod sit punctum G: cst vero Punctum G ctiam sphaerae Cen
re tam v I ad perpendiciatum deducatur G H ; producta quo utrinque o u superlici ci sphaerae in punctis A, Cincidat. Et quoniam duo plana se ad angulos rectos secant, planum nempe circuli ABCD, et planum circuli R B P D ;quorum communi sectioni, quae est B D, ad angulos rectos in planorum altero, nempe in A B C D, ducta est recta H A : recta igitur A C ad perpendiculum est ipsi A n F D plano s . Def. xi. in quia ergo in sphaera circulus est En F D, a centro autem sphaerae in ipsum circulum ad perpendiculum deducta est G H, quae in cidit in planum circuli E B P D in puncto H : igitur punctum H est centrum ipsius E B F D circuli Cor. Cas. a. i. hujusὶ utrumque igitur sesmentum, B E D et APD, est semicirci illis: quare circulas ABCD medium dividit circulum R A F D. Dico et Per polos eum secare Quia enim in sphaera est circulus E B F D, a Centro autem sphaerae G in ipsum circulam ad perpendiculum deducta est recta G H, quae in utramque Partem Produe a committitur superficiei sphaerae in pulustis A, C : si autem itialiquem eorum qui sunt in sphaera circulorum recta a centro sphaerae ad perpendiculum deducatur, eadem, in utramque partem Producta, in circuli ipsius polos in
cidet 9. hujus) puncta igitur A, C sunt poli ipsius
182쪽
LIBER SINGULARIS. I9RBFD circulit quare circulus ABCD secat circulum E B F D per polos: sed et medium eum dividit. Circulus igitur ABCD circulum E B F D, et medium
dividit et per polos. O. L. D.
Si maximus quis in Dbrem circulus circulum non maximum medium divivat; ad angulas rectos eum secat, et per polos. In sphaera enim circuIus maximus ABCD circulum aliquem eorum qui in sphaera sunt non maXimVm, EBFD, medium dividat: dico sore, ut eum secet ad angulos rectos, et per polos. Jungatur enim ipsorum circulorum communis sectio B D : et quia Circulus ABCD medium dividit circulum FB PD: utrumque igitur segmentum, B E D nempe et B F D, est semicirculus: quare B D est diameter circuli R BPD: media igitur dividatur B D in puncto II epundium igitur H est centrum circuli EB PD: sumatur centrum Circuli ABCD, quod sit G. Cum vero maximus sit circulus ABCD, Centrum ejus G, sphaerie etiam centrum erit s6. hujus.ὶ Jungatur G H. Et quia in sphaera circulus est E B F D, a Centro autem
sphaerae ducta est recta linea ci H ad centrum ipsius circuli: recta igitur G 11 ad perpendiculum est plano circuli EBFD s7. hujus) quare plana omnia trajecta per lineam
GH recta sunt plano circuli EB PD 18. xi.) unum autem planorum trajectorum per G H est Circulus ABCD; quare planum circuli ABCD rectum est plano circuli EBFD. Circulus igitur ABCD secat ad angulos rectos circulum EBFD. Dico Praeterea fore, ut eum per polos secet. Producatur enim G H in utramque partem, et Peripherite circuli A B C D, in punctis A, C, Occurrat. Et cum
peripheria ABCD tota sit in superficie sphaerica; puncta A, C, ad ipsam crunt supersciem sphaericam. Recta igitur G H a centro sphaerae G in planum circuli Ens Dad perpendiculum deducta, superficiei sphaericae in punctis A, C occurrit. Poli igitur circuli ABFD sunt puncta A, C 9. hujus.) Circulus igitur ABCD, Cum ad illius peripheriam sint puncta A, C; secat Circulum
ABFD per POlOS. Quare circulus ABCD secat, et ad angulos rectos, et per polos, circulum EBFD. O. E. D.
183쪽
Si quem eorum qui sunt in sphaerd circulorum maximus quis per polos fecet; medium illum dividet, et ad perpendiculum feeabit. In sphaera enim maximus circulus ABCD eorum qui in sphaera sunt circulorum aliquem EBFD per polos secet: dico soro, ut cum medium di vi dat, et ad angulos rectos se
Sunto enim puncta A, C poli ipsus ABFD Circuli: manis sturn est puncta A, C esse in circulo ABCD, eo quod circulus ABCD secat per polos circulum E n P D ex hyp.
Quia ergo in sphaera est circulus EBFD, Per cujus polos ducitur recta A C: si autem iit in sphaera circulus, recta linea, per circuli polos ducta, ad perpendiculum cst circuli plano, transitque per centrum ipsius circuli et per centrum sphaerae Io. hujus.) Recta igitur Ac ad perpendiculum est plano circuli EBFD: quapropter omnia Plana per lineam A C recta sunt circuli An poplano I8. xi.) est autem planum circuli ABCD unum eorum quae per lineam A C : planum igitur circuli ABCD rectum est plano circuli EBFD: quare AB c D circulus ad rectos angulos siccat circulum EB PD. Sed maximus est circulus ABCD sex hyp.ὶ quare circulum EBFD,
ad rectos secando, medium dividet si3. hujus.)Circulus igitur ABCD, per polos secans circulum ABFD, eum et bifariam et ad angulos rectos secat. Q. E. D. Cor. Circulus sphaerae, qui alium aliquem per cujus polum transeat, medium dividat, maximus erit, et alatium illum rectuS. In sphaera cujus centrum G, circuli sint ABCD, EBFD; quorum alterius, E B P D, sit A polus. Alter autem ABCD, transeat per Punctum A, et circulum B BFD, medium dividat. Dico circulum ABCD maximum esse, et ad planum EBFD rectum. Sumatur enim
184쪽
et Icentrum circuli EB PD quod sit II, et polus alter C. Ad rectam sunt puncta quatuor C, H, G, A Per IO. hujus.) Quorum duo, A, H, sunt in plano circuli A B C D ex hyp. in Ergo et reliqua duo, G, C, sunt in eodem plano I. xi.) Circulus igitur A B C D, cujus planum Per G, centrum sphaerae, transit, maximus est s6. hujus. Transit autem per A, C polos utique circuli EBFD. Plano igitur circuli EBFD rectus est I5. hujuSὶ quem ipse maximus per polos secat.
Si in obmiast eireulus maximus, recta linea a poti ejus in per beriam de ela aequalis erit lateri quadrati circulo maximo iscripti. Sit in sphaera maximus circulus A B C D : dico lineam rectam, ab ejus polo in peripheriam eius deductam, B qualem esse lateri quadrati circulo maximo A B C D inscripti.
Ducantur enim per Centrum sphaerae atque circuli Commune, quod sit si, circuli A B C D, diametri A C, B D, ad angulos rectos se mutuo secantes ; et a puncto E CX- citetur recta E P ad perpendiculum plano circuli ABCD Ia. xi.ὶ quae occurrat super-
sciet sphameae in puncto p : punctum igitur P est polus circuli ABCD a. Cor. x. hujusὶ jungantur B A, A P :B A igitur est latus quadrati in circulo Anc D inscripti 6. iv.) recta autem A F est linea recta a polo circuli iii peripheriam ejus deducta: dico ergo rectam F A aequalem
Quia enim P A est ad rectos angulos ipsi circulo ABCD, ergo ad rectos angulos etiam erit omnibus lineis rectis ipsam tangentibus, et jacentibus in plano circuli ABCD 3. Del. xi.) quare P E est ad rectos angulos singulis ipsarum A E, B A, DE; et quia punctum E est centrum sphaerae, aequalis ergo est E B ipsi E P : communis autem est EA: duae igitur E B, E A duabus E F, E A sunt aequales, et rectus angulus u EA aequalis est
185쪽
recto angulo AEP: quare basis B A aequalis est has p . i.) est vero P A recta apolo circuli ABCD in ejus dem peripheriam deducta trecta autem 1ι A latus est quadrati maximo circulo in-1cripti. Recta igitur a polo circuli ABCD in ejusdem peripheriam deducta aequalis est Iateri quadrati circulo maximo inscripti. Q. E. D. r. Areus circuli maximi, a polo in peripheriam alius maximi deductus, quadranS erit.
Si recta, a circuli in sphaera polo ad peripheriam deducta, inquatis it lateri quadrati eidem circulo inferipti, circulus
ipse maximus erit. Esto circulus in sphaera A B C, cujus poluS F. Recta P A, a polo in periphoriam deducta, lateri quadrati circulo A B Cinscripti, a qualis sit. Dico circulum ABC maximum. A polo P in planum circuli A B C deducatur ad perpendiculum recta F Ε, quae plano A B C in puncto R OC- currat. Punctum E, Circuli A n C Centrum erit I. Cor. X. hujus.) Per centrum E ducatur diameter circuli A B Cuicunque, A C ; quae peripheriae in punctis, A, C, OC- Currat. Ad angulos cum A c rectos ducatur diameter alia B E D, quae peripheriae in punctis B, D occurrat. Jungatur B A. Planum Vero rectarum P E, B D, sphaericam supersciem secando, circulum faciat B P D. Propter angulum B E A, ad Centrum Circuli Α Η C, rectam
per construct .) recta BA latus est quadrati circulo Anc inscripti. Huic igitur sex hyp.ὶ aequalis P A.
Quadratum igitur ex F A quadrato ex B A sequato Ilecta autem P E, quae a Puncto F in planum ABC ad
perpendiculum est deducta, rectis Omnibus, quibus OC- currit, in plano A BC ad perpendiculum erit 3. Def. xi. Angulus igitur P E A rectus. Quadratum igitur ex P A, quadratis duobus ex F E, EA simul sumptis aequale est
186쪽
quadratum eX B A, quadratis duobus ex E B, E A finiuisumptis est aequale 7. i. Duo igitur ex PE, E A simul sumpta, duobus ex R B, RA, simul sumptis sunt aequalia:
ablatoque quadrato ex E A, quadratum ex F E aequale erit quadrato ex E A. Recta igitur F Ε, rectae E Baequalis. Sed aequales sunt E B, ED; nempe Cum Ecentrum sit circuli A B C. Tres igitur E P, E B, E Dinter se sectuales. Punctum igitur B centrum est circulin P D 9. iii. Idem vero punctum E circuli A B C Centrum. Circuli igitur A B C, B P D, quibus centrum est
Commune E, diameter Communis B E D, se mutuo medios dividunt. Maximus igitur uterque I a. hujus. Maximus igitur A B C. O. E. D. Gr. I. Si recta a circuli polo in planum circuli ad perpendiculum deducta semidiametro circuli aequalis sit, circulus ipse maximuS erit. Gr. 2. Circulus in sphaera, qui maXimorum non est, a polis suis inaequaliter distat Et duorum quorumlibet in sphaera circulorum major est, qui a polo suo propiore magis distat, et a remotiore minus. Qui apolis autem aequaliter remoti sunt, aequales sunt. Cor. 3. Si recta, a circuli in sphaera polo in periphoriam deducta, aequalis sit lateri quadrati, maximo inscripti, circulus ipse maximus erit. Propter inaequales enim non maximi cujusvis a polis suis distantias, semicirculus maximi, per pol OS Opposit non maximi transeuntis, a periphuria non maximi in arcus dividitur inaequales; minorem quadrante, qui polo propiore terminatur; majorem, qui remotiore; minoris autem chorda latere quadrati, maximo inscripti, minor erit; majoris, major. Nequit igitur recta a polo non maximi in peripheriain deducta lateri quadrati, maximo inscripti, aequalis esse.
η Cireuli sphaerae a polo proprio distantia, ipsa est centri circuli a polo distantia; sve recta linea eentrum circuli et polum eiusdem conjungens. Vel, ut clarius dicam, in Fla. Prop. xiii. snt a, c, poli oppositi circuli B F D, Cujus centrum ii, existente G sphaerga centro. Iungatur a C quae per puncta B, o, necessario transit. Reme 4 c, pars v a, distantia est cin Culi B F D, a polo A ; pars ii c, eiusdem a polo c distantia. Pars denique . ii, circuli a centro sphaerae distantia. Confer not. Prop. i.
187쪽
SPHAERICORUM PROP. XVIII. PROBL.
Lineam rectam describere inqualem diametro circuli cujuse
Sit datus in sphaera circulus ABC: oportet lineam rectani describere aequalem diametro ipsius ABC cir
Sumantur incirculi peripheria quaelibet puncta A, B, et
junganturque rectae AB, BC, Λ C A r et e tribus lineis rectis constituatur triangulum DEF et r. i. in quod habeat latus D Eaequale lateri A B, latus autem E. P aequale lateri B c, et latusF D aequale lateri AC: et a puncto B ducatur E G ad angulos rectos ipsi R D II. i. a puncto autem P ducatur Poad angulos rectos ipsi o s,
jungaturque recta D G : du- tur vero A H, quae sit dia meter circuli A B C : dico rectam D G aequalem esse rectae A H : jungatur enim C H. Quoniam duae rectae AB, B C aequales sunt duabus DE E F, utraque utrique;
basis item A c aequalis est hasi D F : angulus igitur ABC aequalis est angulo DEP 8. i.) sed angulus ABC aequalis est angulo A H C; et angulus D EF aequalis est angulo D G P ai. iii.) si enim super diametro D cidescriberetur circulus, transiret per puncta E et F, Coquod uterque ipsorum D E G et D P G angulorum rectus est: ideoque anguli D E P et D G P estent in eodem segmento, et ideo aequales: angulus igitur A H C aequalis est angulo D G F : rectus autem anguluS A C H aequaliSosi recto angulo D P G : quare duo sunt triangula A H Cet D G P, quae duos angulos A C H et C H A duobus angulis D P G et F G D, aequales habent. utrumque utrique; unumque latus uni lateri aequale sub uno aequalium angulorum subtensum, nempe latus A c lateri D F : ideoque reliqua latera reliquis latcribus aequalia habebun Diuili od by Cooste
188쪽
2shunt, utrumque utrique 26. i.) recta igitur A II aequalis est rectae D G : sed A A est diameter circuli: Quare D G est aequalis diametro circuli. O. E. F.
Lineam rectam describere murilem diametro dat spuereri. Concipiatur sphaera aliqua, cujus diametro aequalem rectam lineam assignare opportet. Sumantur in ejusdem sphaerae superscie duo quaelibet Puncta, A , B ; et polo quidem
Α, intervallo autem A B, describatur circulus B C D : diametro igitur circuli B C D a qualis exponi poterit linea re- .
FG. Bassi autem FG, constituatur triangulum is sceles P E G,
cujus latera E F, E G, deductis a polo A in Peripheriam circuli B c D suit aequalia spera a. i.) et a punctis P et ciducantur rectae lineae F H et G H, quae angulos rectos faciant cum reais lineis A P et YG: jungatur denique rectav H : dico rectam E H aequalem esse diametro sphaerae. Intelligatur enim sphaerae diameter A K, polos circuli B C D Conjungens, et per Λ K planum. Planum illud, superficiem sphaericam lecando, faciet circulum, et maximum quidem illum ; circulum autem B C D secando faciet rectam. Faciat in superficie sphaerica circulum A B K D maximum; in plano Circuli B C D, rectam B D. Et jungantur A B, A D. Circulus sphaerae maximus Λ Η Κ D, circulum B C D,
Per polos secans medium dividit i5. hujus.) Recta igitur B D diameter est circuli B C D. Rectae igitur u ciaequalis construet. In triangulis igitur Λ B D, E F G, duo latera AB, B D duobus lateribus E P, P G sunt aequiata, utrumque utrique: basis autem A D aequalis est bali E G : igitur angulus A B D aequalis est angulo EFG:
189쪽
Ased angulus ABD aequalis est angulo A K. D sa I. iii.
angulus autem EFG aequalis est angulo E H G, ut ostensum est in demonstratione Praecedentis theorematis: anguli igitur A K D, R H G s urit a quales : quinetiam A D K angulus rectus aequalis est redici angulo E G H : duo itaque sunt triangula A D K et E G H, quae habent duos angulos A D κet D Κ A aequales duobus angulis R G Η et G H E, utrumque utrique, et unum latiis
uni lateri aequale, quod uni aequalium angulorum subtenditur, latus nempe A D lateri R G : reliqua igitur latera reliquis lateribus aequalia ha hunt,iitrumque utrique 26. i. latus igitur A K aequale est lateri E H : sed latus A K est diameter sphaerae. Ergo linea recta E H aequalis est diametro sphaerae. Q. E. F.
Per duo puncta data in binita superficie circulum maximum describere.
Data sint duo puncta A et B in sphaerae superficie: ΟΡ-ortet per puncta A et B describere circulum maximum. Si ergo duo illa puncta, A et B, sint opposita in sphaerae diametro; certum est, quam plurimos circulos maximos duci posse per Puncta A et B : quod si puncta A et B non sint in sphaerae diametro; polo quidem Α, intervallo autem tanto, q antum est latus quadrati in maximo circulo inscripti, describatur circulus C E D : Circulus igitur C E D maximus est Diuiti eo by Corale
190쪽
est U. Cor. 17. hujusὶ recta enim, quae ex eius Dolo deducitur aequalis est lateri quadrati maxillio circulo inscripti ex hyp in rursus polo quidem Η, inter allo autem tanto,
quantum est latus quadrati in maximo circulo inscripti, describatur circulus PEG: maximus ergo est PRO circulus : recta enim, quae ex ejus, polo deducitur, aequalis est lateri quadrati maximo circulo inscripti: jamjungantur, rectae lineae A E, E B. Duarum igitur rectarum A E et E B utraque aequalis est lateri quadrati maximo circulo inscripti: quocirca aequalis est L A ipsi R B : ct Ob hanc Caulam, si polo E, intervallo autem R B, describatur Circulus, transibit per punctum A : propterea quod recta E A aequalis est rectae R B: transeat ergo, sitque ille circulus AB H : igitur circulus A B H maximus est: recta enim, quae ex ellus polo deducitur, aequalis est lateri quadrati maximo circulo inscripti. Ergo per duo data puncta A et B, quae sunt in superficie 1pliserica, descriptus est AB II maximus circulus. Q. E. F.
Cfusibri Areuli in sphaera dati polum invenire.
Sit datus in sphaera circulus A B C r oportet circuli ABC polum invenire. Circulus A B C aut maximus crit, aut non maximus. Esto primum non maximus. Sumatur punctum utcunque in ejus peripheria, quod sit D ; et accipiantur duae peripheriae partes aequales D A ct A R ; reliqua vero D B E bifariam secetur
mr duo data puncta, Fet A, quae in sphaerica superficie sunt, describatur
maximus cireulus P L H ao. in iis . Quoniam ergo arcuSD A aequalis est arcui A A r est vero D F etiam arcus aequalis arcui P R : totus igitur A D P aequalis est toti A E F : quare circulus P A II medium dividit circulum