장음표시 사용
191쪽
z8 SPHAERI ConLMA PII alium quendam non maximum medium dividit, ad rectos eum secat et
circa circulus P H A secat ad angulos rectos, et perlκ los, circulum AB C. Polligitur circuli A B C ad peripheriam sunt circuli FHA; medius igitur dividatur arcus P A in puncto G. Punctum igitur cipolus erit circuli ABC. CAS. 2. Jam vero maximus si circulus ABC. In circuli ABC peripheria sumatur pro arbitrio Punctum C. Polo C, intervallo latere quadrati circulo ABC inscripti, scribatur circulus in superficie sphaerica A P M, qui circulum ABC in punetis A, P secet. Arcus aequales C A, C P erunt quadrantes, et duo siniui semicirculus. Iuncta igitur Λ P diameter erit circuli ABF maximi, aciproinde sphaerae. Circulus igitur A p H, cui inscribitur recta A P sphaerae diameter, Omnino maximorum erit. Maximo vero ABC, qui Per polos eum secat, ad rectos erit sis. hujus.) Maximus autem A F Π, circulum ABC ad rectos secando, per polos siccat 13. hujus.) Polligitur circuli ABC erunt ad periphoriam A s. Medii igitur dividantur arcus A G Γ, A H F Puncti S G, H. Erunt G, H poli circuli ABC. O. E. F.
Si in i .er i recta linea per centrum aliam non per centrum mediam dioidas, ad iangulos rectos ibam ferabit: quod ad angulos rectos secet, mediam quoque dividet.
Demonstratio eadem est ac in circularibus : rectae enim in sphaera, altera per centrum, altera non Per Centrum sphaerae, propter mutuam ipsarum intersemonem, erunt 3n mo aliquo Plano 2. Xi. in Planum autem illud supersciem sphaericam secando, circulum maximum faciet: ad cujus peripheriAm terminantarrectae illae, sphaerica superficie terminatae; cum tota peripheria sit in superficie, rectae autem in circuli plano. Itaque in circulo erit recta quaedam per Centrum, alteram in eodem circulo non per centrum 1ecans. Quum
192쪽
s ad perpendiculum secet, mediam dividot; si mediam dividat, ad perpendiculum secabit 3. iii. O. E. D.
Si sint in f binra paralleli circuli, per quorum polos δε-
eantur circuli marimi; parallelorum quidem arcus, maΣimis intercepti, smiles erunt: maximorum vici*im parallelis, requiales. NSint circuli in sphaera paralleli, A B C, D E F, quorum poli oppositi G, H. Per G, ii duci intelligantur circuli maximi ci AH, GBII; quorum peripheriae parallelorum peripheriis in A,
D, B, E OCCurrant. Dico parallelorum arCUS, A B,
D E, maximis interceptos, similes esse. Maximorum vicissim AD, B E arcus, parallelis interceptos, a quales. Circulorum G Α H, A B Ccommunis intersectio sit recta A c. Εjusdem autem GAH et circuli DR P communis intersectio sit recta D P. Propter parallela plana Circulorum A n. C, DE F, rectae AC, D P erunt parallelae 16. xi.ὶ Simili ratione si rectar B L, EM Communes sint circuli a B II cum panallelis illis, A B C, D E P intersectiones, parallelae ostendentur rectae B L, E Μ. Jam vero circulus maximus G AH, Cum per polos parallelorum Λ Η C, D R P ductus sit, utrumque medium
clividit si 5. hujus.) Simili ratione circulus maximus
G Η Η parallelorum Λ B C, D E F utrumque medium dividit. Recta igitur A C, B L diametri sunt circuli A B c; rectaeque D F, E M diametri circuli D E P. Redite igitur A C, B L apud centrum circuli A B C ; rectae D P, E M apud centrum circuli D E P, sibi mutuo occurrent. Occurrant igitur rectae A C, B L in I; rectae D F, E Min K. Erit I centrum circuli A B C, et M Centrum Circuli D E P. Sed propter rectas IA, recti S K D, Κ Ε, utramque utrique, parallelas, anguli A I B, D K E aequales erunt IO. xi.) Circulorum igitur Λ B c, D E P similes Diuitiam by Corale
193쪽
s uni arcus AB, DE, qui angulos ad centra aequales subtendunt a. Cor. 33. vi.) Quod primum erat demonstrandum. Dico praeterea maXimorum arcus, A D, B E, aequaleS.
Jungantur enim GA, G D, G D, G E.
Rectae G A, o B a Plincto G, polo circuli A B, in peripheriam deductae, aequales erunt Def. v. in In circulis igitur aequalibus,
GB aequales 28. iii.) Et similiter arcus GD, GEostendentur aequales. AEqualibus igitur, GA, OB, latis aequalibus, GD, G E 3 reliqui, AD, B R, aequaleSCrunt. O. E. D. Cor. Arcus circulorum maximorum, a polo in peripheriam circuli cujuslibet in s phaera deducti, inter se
Sinus arcus cujuslibet circularis est linea recta a termino arcus alterutro in diametrum per terminum ut terum ad perpendiculum de ludia.
Semidiameter circuli cujuylibel in sphared Ilaus es arcus circuli maximi a polo in peripheriam de ludii Sit circulus in sphaera A B C, cujus poli fiat D, E.
Per polos D, E ducatur Circulus maximus A D C F, cujus peripheria peripheriae A B Cin punctis A, C occurrat. Di Cosemidiatnetrum circuli A B C sinum esse arcus DA, vel illi aequalis D C. Si maximus sit circulus ABCres Patet. Semidianaeter enim circuli maximi A B C eadem
est, quae sphaerae; aequalis igi-
194쪽
tur alterius maximi ADC semidiametro. Et arcus D A quadrans est Cor. 16. hujus.) Sinus autem quadrantis est semidiameter. Sed circulus A n C non sit maximus. Circulorum, A D C mnximi, et Λ B C non maximi, communis intersectio sit redia A C. Circulus maximus A D E, cum per polos circuli A B c ductus
sit, illum ADC medium dividit i . hujus. in Re Sta igitur Ac circuli ABC diameter est; et si
media dividatur redia A C in pun-eto H, punctum II centrum erit circuli A B C, et recta H A circuli illius semidiameter. Ostendendum igitur, rectam H A sinum
Capiatur sphaerae centrum P. Ad rectam sunt puncta quatuor D, H, F, E. IO. hujus.ὶ Iuncta igitur D E, per puncta H, F transibit, rectamque A C in puncto H mediam dividet. Cum autem in sphaera recta D E Per Centrum rectam A C non per Centrum mediam dividat, ad perpendiculum eam secabit aa. hujus .in Angulus igitur D H A rectus. Recta igitur A H a puncto Α, altero arcus D A termino, in semidiametrum P D, Per terminum alterum arcus ejusdem, D, ad perpendiculum deducta, sinus est arcus D A. O. E. D. '
Recta, a puncto quocunque injupersese biserae in planum circuli cujuscunque maximi, per punZIum non trajecti, ad perpendiculum deductu plano illi intra ubiram oc
Intelligatur sphaera circa centrum C, et circulus sphaerae maximus A B D. In superficie sphaerae sumatur Purietum quodcunque Ε, modo non sit ad peripheriam circuli A B D. A puncto R, in planum circuli A B C ad perpendiculum deducatur recta E F ; quae plano circuli A A D in puncto F OCCurrat. Dico punctum P esse intra sphae
195쪽
, ad perpendiculum est rectis omnibus plani A B D, quibuS
pendiculum igitur rectae CA, L F C cui in F occurrit. AnguluR igitur c P E rectus. Quare in B triangulo c E P, latus C E laterCC P majus si 8. i. in Sed propter
sphaeram rectae, CE, C A, R CEΠ-tro ad superficiem egressae, inter se aequales. Recta igitur C A recta C P m'or. Punctum igitur P, punctis C, Aintefectum est, quorum illud C centrum est sphaerae, alterum autem A ad sphaerae superficiem. Punctum igitur P necessario intra spirieram est. O. E. D.
Si eirenti sphaer. duo in duobus supersciei sphaerico punctis se mutuo secent; maximus, ter polos duorum ductus, me ins divi At arcus tune Iis interjectionis mutuae infer-
Intelligatur si lucra circa centrum C. Hujus Circuli
in punctis duobus E, I, supersiciei sphaericae se mutuo iecent. Circuli D R P I poli sunto P, p; alterius G E H I sunto Π, 'r poli. Junctae P, p, Π π, Per centrum 1 pnaerae C Utraque transibit Cor. 9. hujus.) Duae igitur P p, Π π in eodemerunt plano per Cen-μ trum sphaerae transeunte sa. xi.ὶ QuR- propter puncta quatuor P, Π, p, π, ad Peripheriam erunt maximi cuiusdam. Dico maximum illum arcus I G E, IDE, qui punctis I, E, mutuae circulorum intersectionis intercepti sunt, medios dividere. Circulus Distiir orale
196쪽
Circulus Ille maximus APB per P, n, p, π polos circulorum D E F, G E M trajedius, circulorum illorum plana secundum rectas D F, G H secet ; quae peripheriis in punctis D, F, G, H occurrant. In iisdem 1gitur Punctis, D, P, G, H, maximi APB peripheria duorum D E F, G E H peripherias secabit. Ostendendum igitur, arcus I DE, I GE, punctis D, G, divisos esso
communis erit intersectio. Circulorum autem illorum plana ad purpendiculum sunt plano maximi APB I5.nujus.) Recta igitur R I ad perpendiculum erit plano APB s I9. xi. Quoniam autem a puncto Es in sphaerica superficie in planum circuli maximi A P a ad perpendiculum deducta est recta R I ; recta E I plano APB intra sphaeram occurrit 25. hujus.) Occursus esto K. Punctum igitur K intra sphaeram. Punctum autem K, cum sit in plano APB, necnon ad rectam E I, quae est in plano D R F, planis duobus A P B, D E P commune erit. Ad communem igitur duorum APB, DR P intersectionem; sive ad rectam D P. Simili modo ostendetur punctum K ad rudiam G H, communem utique planorum APB, G R H intersectionem. Tre' igitur rectae EI, D F, G uin uno eodemque puncto Κ occurrunt, intra sphaeram. Et cum intra sphaeram sit punctum illud κ, necesse est intra ambitum sit utriusque Circulorum D EF, G E H, quorum planis est commune. Recta autem si I, cum
ad perpendiculum sit plano A P B, id cnim jam supra
ostensum, rectis etiam D P, G H ad perpendiculum erit Def. 3. xi.ὶ cum utraque earum in plano si APB. Redito
autem D F, G H, communes utique circulorum D RP,
GEH cum plano maximi per polos intersectiones, diametrierunt Circulorum D EF, GEH I5. hujus. In circulo autem DEF, diameter D F, cum rectam R I circulo inscriptam ad perpendiculum secat in pundio Κ, in eodem puncto mediam cana dividet 3. iii. Chordam autem
E I mediam dividetido, GCum etiam I D E, Cui in D OC-
currit, medium dividet 3o. iii.) Similiter in circulo
GEH diameter G H, cum rectam E I circulo inscriptam ad perpendiculum secat, mediam eam dividet. Et chordam E I mediam dividendo, arcum etiam I G E, cui in G occurrit, medium dividet. Arcus igitur I D E,
197쪽
1 G E, in punctis D, G, ubi occurrunt peripheriae maximi per polos, medii dividuntur. O. E. D. Cor. Si circuli sphaerae duo in duobus sph sericae superficiei punctis se mutuo secent; diametri, quae medios dividunt arcus, mutuae intersectionis punctis interceptos, in plano sunt circuli maximi per polos secantium ducti,
et ad communem planorum secantium intersectionem sibi mutuo occurrunt.
circulorum duorum, in sphaerica supersese se mutuo contingentium, diametri per contactum sunt in plano maximi
per polos contingentium. Intelligatur sphaera circa centrum C. Hujus circuli duo A B D, P E D se mutuo in puncto D ad supersiciem sphaericam contingant. Percontactum D ducatur circuli A n D diameter A D, Circuli
Dico rectas AD, P D in plano esse circuli sphaerae maximi per polos Circulorum
Quoniam enim circuli A B D, P E D in superficie sphaerica se mutuo in D contingunt; planorum A B D, F E Gcommunis intersectio circulum utrumque in putidio Deontinget Def. 6. hujus.) Esto re sta G D communis illa planorum intersectio, circuIOS A B D, P E D in pun-hto D contingens; et jungatur C D. Redia G D, quae circulum A B D in puncto D contingit, diametro ejus A D per contactum ad rectos erit 18. iii.) Eadem autem G D, cum circulum D E P in puneto D contingat, diametro ejus, F D, per contadium ad rectos erit. Porro eadem redia G D, cum superficiem sphaericam in puncto D contingat, semidiametro sphaerae per Contactum, C D, ad rectos erit Id enim ex 3. COr. 3. hujus manifestum est.ὶ Recta igitur G D tribus rectis A D, F D, C D in puncto D convenientibus ad perpendiculum insistit. Tres igitur rectae A D, P D, C D in uno quodam Plano Diuili od by Cooste
198쪽
plano erunt A. xi.) Quod quidem planum superficiem
sphaericam secando circulum faciet. Faciat A DF. Maximus erit A D F, quoniam planum, quod secando eum fecerit, per sphaerae centrum transierit. Recta autem G D, plano maximi A D p ad perpendiculum est 4. xi. cum ad perpendiculum sit rectis DA, D F quae in illo sunt plano. Recta autem G D, planis circulorum ABD, P R D est communis. Plana igitur illa plano maximi A D P ad perpendiculum erunt I8. xi. in Unde vicis lini maximi A D P planum ad perpendiculum erit circulorum illorum planis. Per polos igitur circulorum Λ B D, P E D transibit maximus A D P I3. hujus. Circulis igitur duobus A B D, P E D in sphaerica superficie in puncto D se mutuo contingentibus, diametri per contactum AD, P D in plano sunt circuli A D F, qui et maximus est, et per polos duorum A B D, P E D tranui. Cor. I. Circulis duobus in sphaerica superficie se mutuo contingentibus, maximus per Contingentium Polos per contactum etiam transibit. Cor. a. Μ imus per contactum et utriusvis polos per polos etiam alterius transibit.
Greuli Bbrerin, si ad per beriam maximi per pol, sibi
invicem occurrant, in puneto concursus j e mutuo contingunt. Sphaerae, cujus centrum C, circuli duo ABD, PE D, in
invicem occurrant. Circuli ABD capiantur poli P, p a1. hujus. in Circuli
etiam D E F, Poli D, π.Per polos P, Π, p, 'r trajiciatur circulus sphaerae maximus P Π p π, et
concursus circulorum mutuus D. Dico Circulos A B D, F E D se mutuo in D contingere. Planorum
199쪽
SPHAERICORUMHanorum AB D, PE D communis intersectio si recta G D, quae per punctum D necessario transibit. Planum autem P Πρπ, Plana circulorum ABD, P E D, in rectis AD, FD secet. Plana circulorum ABD, F E D. ad perpendiculum
sunt plano maximi prIpetr I5. hujus.ὶ Communis igitur Illorum interseC-t1O G D ad perpendiCulum eidem plano I9. xi.ὶ Rectis igitur omnibus in illo sano, quibus OCCurrit, Eudem G D ad perpendiculum erit Dei. 3. xi.) Ad per pendiculum igitur rectis AD, P D; quibus, in plano illo
P Π p π exiitentibus, illa o D in D occurrit. Maximus autem P Π ρ π circulos ABD, P EL D medios dividit I5. hujus.ὶ Meiar igitur A D, P D, circulorum A B D, P E D diametri sunt. Recta igitur G D, quae in plano circuli D R P, a puncto D, diametri eius circuli, D F, termino, ad perpendiculum cum diametro est educta Circulum D R P in puncto D continget Cor. I6. iii. Pari ratione, eadem recta G D, quae in plano circissi A B D, a puncto D, diametri ejus circuli, D A, termino ad perpendiculum eum diametro est educta, circulum DB A in D continget. Circulos igitur in sphaera ABD, F E D, Communis planorum intersectio G D utrunaque in D contingit. Circuli igitur in D se mutuo contingunt Def. 6. hujus. O. E. D.
Cor. I. Circulis ABD, PED circa polos P, Π se mutuo contingentibus, circuli priorum aequales circa IMIosoppositos st, ae se mutuo contingent. Polo enim ρ scribatur ab d illi ABD aequalis. Propter CirculoS ABD, a b d aequales, aequales erunt arcus PD, pd. AEquales autem P I I. p . AEquales igitur D D, π d. Circulusiritur circulo DEP aequalis, polo π scriptus, Per punctumia transibit. Scribatur j e d. Circuli igitur a b ris e riin superficie sphorica sibi mutuo in puneto d occurrunt, ad peripheriam utique maximi per polos. Se mutuo igitur in d contingunt. Q. E. D.
200쪽
Cor. a. Puncta contactus D, d, sunt ex diametro O posita. Arcubus enim PD, p d aequalibus, addito communi P d, stulit D P d, P dρ aequales. Semicirculus autem ille P dp. Quare et D P d semicirculus. Q. E. D.
b rin circulus, qui ψλεωρ circulum contingit, et alium quendam contingit priori parallelum. Tertium autem parallelam non contingis. In sphaera, cujus centrum C, Circesus A BD Circulum P E o in D contingat. Dico Eundem A B D alium quendam contingero, illi P Eo parallelum. Per contactum enim D ducatur circuli D B A dt mcter D A, quae cimuIi peripheriae iterum in A occurrat.
perficie sphaerica A G H. Circulus A G H, circulo D EF γ-rallelus erit . Cor. Io. hujus.ὶ nimirum cum Cueaeo dem sit polos. Circulo autem n B D in puncto A OCCurrit Punctum autem Α, terminus cst diametri A D, circuli
Α Β D, per D contactum circulorum A B D, FED trajectae sper construe .) Punctum igitur A ad peripheriam eii circuli maximi per polos circulorum A BD, FED a7. hujus. sive maximi per polos circulorum A B D, A G H ; Cimulorum enim P R. D, A G H iidem sunt poli per construes.) Sphaerae igitur circuli DBA, Iro A in puncto sphaericae: superficiei A sibi invicem ocourrunt, eX- istente concursu A ad periphoxiam maximi per utriusque polos. Circuli igitur DBA, H G A se mutuo contingunt 28. hujus.) Sphaerae igitur circulus A B D, qui sphaerae circulum P ED contingit, et alium H G A contingit illi ν AD parallelum. Dico tertium duobus illis parallelum non contingere. Contingat enim circulus A B D, si fieri potest, tertium K B L prioribus FED, H G A parallelum. Contactus esto B. Pundium igitur B erit ad peripheriam maximi per polos utriusque A BD, KBL I. Cor. a7. hujuS.
iive per polos utriusque A BD, PED. Sed ad ejus d o 3 maximi