장음표시 사용
211쪽
erit illud, quod centrum circuli intra sui ambitum cI-dit; minus semicirculo erit illud, quod excludit
trum circuli NAM 1 stad rectant C p ; illud segmentum ambitu suo
centrum circuli continebit, cui recta CP occurrit; segmentum alterum, Cui recta C P non occurrit, Centrum circuli excludet. Recta autem C P, a Centro sphaerae C quod idem circuli maximi A D P Hecntrum est ad P polum circuli N B M I ducta, in illud circuli N B M i segmentum incidet, quod ad partes easdem est circuli secantis A D P H Cum polo P. Hoc enim Circuli se entum obviam si rectae a centro C in P tendenti. Alteri igitur segmento ad partes contrarias recta C P non occurret, ne his eidem plano occurrat, Contra I . xi. Inaequalium igitur circuli N B M I segmentorum illud semicirculo majus est, quod ad easdem partos est circuli secantis A B F M , cum P polo circuli N B M Ipropiore. Minus autem semicirculo segmentum illud, quod ad partes contrarias. Dico praeterea Parallelorum, in oppositis hemispha riis aequalium, segmenta alterna inter se aequalia esse Alterna autem dicuntur segmenta, quae ad contrariaM partes sint circuli secantis. Secet circulus A D P H parallelos in oppositis hemisphaeriis N BMI, ci Eoa. Quorum alterum N B M I in punetis B, I secet, alterum Q Eoo, in punctis E, G. Idem
autem A DF H, maximum parallelorum KDL H in Punetis D, H secet. Iunctast D H, B I, E G, communeSerunt planorum trium KDLH, NBMI, QE OG cum
Plano A B D H interiectiones. Circuli maximi A n D MCapiantur poli Π, π. Circulus maximus P Κ p, Per qu tuor illa puncta P, Π, Τ, πῆ trajectus, maximo parallelorum K D L N, in punctis superficiei sphaericae K, L ; parallelis N BMI, Q Es o G, da punctis N, M, Q, O; Cimul maximo denique Λ D F Η, in punctis A, F occurrat. a uncta A F, communis intersectio erit circulorum maxi
212쪽
morum P A K F, A B P H, ac proinde per centrum sphaeraec transibit II. hujus. Iunctae N M, Q o communes erunt planorum N B MI, Q Eoo Cum plano maxilni P K p Intersectiones. Maximus autem P Κ. ρ Circulos B MI, Q E O G, Per quorum polos trajicitur, medios
dividit, et ad perpendiculum secat I5. hujus.) Recta
igitur N Μ, Q o, circulorum N ΗΜΙ, Ω ΕΟ G sunt diametri. Mediae igitur dividantur rectae M N, α o in Punctis S, R. Puncta A, R centra erunt circulorum N B M I, Q E O G. Junctaque P p, per centrum sphaerae
C, et per puncta S, R, transibit, planisque circulorum N BMI, Q Eoo ad perpendiculum erit Io. hujus.
Occurrat autem recta Μ N, seu s N, rectae B I in T.
Circulis ADPM, NAM I sese mutuo in punctis B, Isecantibus; circulus maximus P Κ ρ, per Polos utriusque trajectus, arcus B N I, B A I punctis mutuae intersectionis B, I, interceptos, in punctis N, A, medios dividit a6. hujus. Arcus igitur H NI B A I in punctis, Ν, Λ, medios dividit 26. hujus.) Arcus igitur B N I, B A I in punctiS N, A, medii dividuntur. Recta igitur s N a centro Circuli NBMI, quae arcum B NI medium dividit, chordam B I, cui in puncto T occurrit, mediam dividit et ad perpendiculum secat. Recta igitur s ae distantia est restiae B I, circulo
B Ν Μ I inscriptae, a centro. Rursum cum recta C Α, a centro circuli D A II, arcum B A I medium dividat,
chordam B I mediam dividet. Chordae igitur B I punctum medium ae est ad rectam C A, seu P A. Quod si in circulo a Ros, recta a o vel R o rectae E G in Voccurrat; eodem modo ostendemus rectam E G in puncto V mediam dividi, et ad perpendiculum ; rectam R vdistantiam esse rectae R G, circulo ci Eoo ins riptae, a centro; et punctum V esse ad rectam C P vel A P. Iam vero Cum recta P p ad perpendiculum si planis Circulorum N BMI, a Eoo; anguli C S T, C R V recti Erunt. Anguli autem T C s, VCR aequales 'I5. i. Triangula igitur Caes, QvR similia erunt, et CS erit ad S T ut C R ad R v. At vero si circuli paralleli N B M I, a Boo aequales sint, rectae C s, C R aequales erunt 6. hujus.) Quare sT, R v aequales. I ii aequalibus igitur circulis N B M I, o E O G rectae B I, E G, BZqUHi-hus a centris s, R distantiis inscriptae, inter se aequales
erunt. Rectae autem aequales B I, E G, Circuli S aequalibus inscriptae, aequalia segmenta abscindent, majus
213쪽
plectitur. Circuli item. E O G, segmentum EG majus, quod Ceri trum intus habet. Segmentum igitur BMI segmento E a G aequale, et reliquum B N I reliquo
recta a n planum circulia D F H in puncto C se-
erunt ad contrarias partes plani A D F H. Segmenta igitur B MI, E ci is, quibus centra illa insunt, ad contrarias ejusdem plani parteS. Unde et segmenta reliqua B N I, E o o necessario in contrarias. Segmenta igitur B MI, E ci ci sunt alterna. Alterna item B N I, EOS. Parallelorum igitur, in oppositis hemisphaeriis aequalium, alterna segmenta sunt aequalia. O. E. D. Cor. Arcus circuli maximi, parallelis aequalibus et maximo parallelorum intercepti, aequales erunt. Majoribus autem intercepti sunt minores. Circulo maximo P κρ, per polos maximorum KDLH,
que ad perpendiculum est plano maximi P κρ I5. hujus.) Puncta igitur D, H superficiei sphaericae, ubi peripheriae ADPD, Κ D L H mutuo occurrunt, circuli
maximi P κ ρ sunt poli 13. hujus. in Arcus igitur D Λ,
DF maximi sunt quadrantes Cor. I 6. hujus) ac proinde inter se aequales. Circulis autem A D F H, NBMI, in superficie sphaerica se mutuo secantibus, maximus κ Pp per polos utriusque secantium trajectus, arcus BAI, B N I, punctis intersectionis mutuae B, I interceptos,
medios dividit in punctis A, N sa6. hujus.) Arcus igitur B A dimidius est arcus B A I. I t eodem modo ostendetur arcus E P arcus E P G dimidius. Iam verosi circuli paralleli NBMI, Q E o G aequales sint, aequales erunt C S, C R, aequales utique parallelorum aequa lium Disitir orale
214쪽
ter similia triangula CAT, CR v, aequalibus existentibus C S, C R, erunt etiam ST, RV aequales. In circulis igitur aequalibus N Η Μ I, Q E o G, inscriptae sunt rectae B I, E G, aequalibus a centris circulorum s et n distantiis. Rectae igitur B I, E G inter se aequales I . iii. Caeterum rectae aequales B I, E G Circulo ABFD inscriptae, abscindunt arcus aequales B A I, E P o 28. iii. AEqualium autem B A I, E P G dimidii quoque aequales. Arcus autem B A I, dimidius B A, aruusque E P ci dimidius E P ostensum enim.) Arcus igitur B A, F E inter se aequales, et quadrantibus AD, FD ablati, relinquunt B D, E D aequaleS. O. E. D. Quod si parallelorum N B M I, ci R o G major sit N B M I; arcuum B D, E D ille B D minor orit. Parallelorum enim inaequalium N B II I, ci Ε o G, major N B M I propius a centro sphaerae C aberit 6. hujus. Distantiarum igitur C s, C R minor erit C s; et in triangulis C sT, Cnu similibus, recta S T, minor quam R v. Circulis igitur duobus N BMI, a E o G inscriptae sunt rectae, B I, E G ; quarum B I majori circulo in- . scripta est minore a centro distantia. Recta igitur B Imulto major quam E G I5. iii. in Circulo igitur AD PHinscriptae sunt rectae B I, R G ; quarum B I major. Arcus iritur B A I arcu E F a major. Quare et dimidius B A I, dimidio B P G major. Arcus igitur B A arcu E F major. AEqualibus igitur D A, F D ablatis inaequalibus B A, E F, quorum B A major, relinquetur BD reliquo E D minor. O. E. D. Cor. a. E converso si arcus B D, s D aequales sint, paralleli NΗΜΙ, α E o G aequales erunt. Vel si arcuum B D, B D minor sit B D, parallelorum major erit NBMI. AEqualibus enim D B A, D E F ablatis aequalibus D B, DEI arcus reliqui B A, E F inter se aequales. Sed aequalium dupli aequales. Arcus igitur BAI, EFG aequales. Rectae Igitur B I, E G, quae in circulo A D st H arcus aequales
auserunt, inter se aequales sunt 29. iii.) ac proinde adaequales a centro circuli distantias I4. iii .ὶ Rectae igitur C T, C v sunt aequales. Triangola autem T C S,
v c a similia sunt. Rectae igitur C s, C R sunt aequales. E a Circuli
215쪽
Q. E. D. Arcuum autem B D, E D sit B D minor. IEqualibus igitur DBA, D E F ablatis inaequalibus D B, E D, relinquentur A B, E P inaequales ; quorum major erit A B, qui relinquitur minore D B Rblato. Duplus igitur A B, sive B A I, duplo E F, sive R P o major. Arcuum autem in circulo A D P II inaequalium, BAI, EFG, quorum uictr-que semicirculo minor est, chordae B I, E G, inaequales erunt, et major erit B I majoris arcus chorda. Rectarum autem BI, E G inaequalium, quae circulo ADP H inscriptae sunt, inaequales erunt a centro circuli
distantiar, C T, C V, ct minor majoris distantia s15. iii. Recta igitur Cae minor quam C v. Et in triangulis
C s T, C R V similibus recta C s minor quam C R. Parallelorum igitur N B M I, Q E o G, circulus N B M T
Cor. 3. Rectae B G, I E, quae alternas utique Circuli maximi B A F et aequalium parallelorum intersectiones, B et G, I et E conjungunt, sphaerae sunt diametri. Arcus enim BAI, duobus AI, P a simul sumptis est aequalis. Duo igitur BAI, 1 a simul sumpti, tribas AI, I G, GF simul sumptis sunt aequales. Sive arCAS B A I G, semicirculo A I p aequalis. Semicirculus igitur est arcus B A I G. Recta igitur B G quae arcum B A I Gsubtendit, diameter est circuli A B F. Sphaerae igitur diameter. Nimicum cum circulus A F B sphaerae muXimus sit. Simili modo ostendetur recta I E sphaerae diR-
216쪽
Si planum circuli maximi AD PH, qui p rallelos secat, qualitate quadam per Ctie opacitatis Cogitetur indui, quo emolatur, ut quaecunque in altero sint hemisphaerio in altero conspici nequeant ; contrariis paralleli cujusque segmentis contrarii poli conspicui erunt. Nimirum utrique segmento polus, qui ad easdem est circuli secantis partus. Majoribus igitur segmentis, propior polus conspicuus erit, minoribus remotior. Parallelo autem cuique polus propior est is, qui ad easdem est partes maximi parallelorum ; remotior is, qui ad contrarias. Si quos igitur parallelos in sphaera circulos, maximus quis secet non per polos, in segimenta in qualia eos dividet, maximo parallelorum eXcepto. Segmentorum autem cujus
que paralleli majus erit illud, quod polo sibi conspicuo et
maximo parallelorum interpositum elit: minus, e contrario, quod maximo parallelorum et polo sibi occulto. Confer Theod. Lib. ii. Prop. 19'. Quae quidem haee ipsa est propositio nos ira 35 , sed ferinone Astronomico enuntiata, qui rebus mere Geometricis minus Convenit.
Si quis maximus in obinrd circulus parallelos aliquos insuperscie feret non per polos, in in qualiter omnes dividet prurier maximum ; sed magis in qualiter, qui, in eodem hemisphirio, polo junt propiores.
Parallelos NBMI, KDL H, a E O G quorum KDLII maximus maximus ADFH secet, non per polos. Inaequaliter eum omnes dividere praeter ΚDLH, ostensum
in praecedenti. Dico magis in aequaliter, qui, in eodem hemisphaerio, polo sunt propiores. Etenim in omni distantia circuli N B M I a polo suo
P, erit S, centrum circuli NBMI, ad rectam P p. Erit etiam Τ, punctum medium rectar, B I, ad utramque rectam s N et C A . Sursum igitur feratur planum circuli NE MI vorsus polum suum P. In triangulo s C T, manet angulus S C T. Manet etiam angulus ad s rectus. Manet igitur tertius trianguli angulus C T s. Manentibus autem trianguli C S T angulis omnibus, manet laterum C s, S T inter se proportio. Augebitur autem C S, circulo sursum versus polum lato. Simul igitur augebitur B 3 ST.
217쪽
54 sPHAERICORUM LIBER SIN;ULARI s.s T. Augetur igitur ST, dum, propter imminutum circulum N ABII, diameter ejus imminuitur. Augetur igitur rectae s T ad diametrum circuli NBMI proportio ; sive proportio distantiae rectae a I, circulo NDM Linscriptae, ad circuli diametrum augetur. Segmentorum igitur, quorum inscripta B I basis est, augetur, ratione totius circuli, quod semicirculo majus est, altorum minuitur. Circulus igitur NBMI, quo sursum movendo polum suum P propius accesserit, a maXimo A D F Hmagis imequaliter dividitur. , Q. E. D.
218쪽
COMMSNTARIIS LUTOCII ASCALONITAE,
220쪽
COMMENTARIIS EUTOCII ASCALONITAE.
PROP. I. THEOR. nQuilibet cireulus in ualis es triangulo rectanguli ejusmodi, ut eorum laterum, qui circa rectum angulumsunt, alteri quidem inqualis sis ea, quin ex centro, alteri vero ambilus. Sit circulus ABCD; triangulo E, quali ponitur, dico eum aequalem esse .. Sit enim circulus, si fieri potest, major, et inscribatur eidem quadratum A C ; secenturque circumferentiae in duas partes aequales; idque semper fiat, donec segmenta minora tandem sint quam excessus, quo circulus triangulum excedit . Itaque rectilineum, segmentorum basi- vid. d bus comprehensum, majus adhuc erit triangulo. Sumatur monst*circuli centrum.N; et in latus rectilinei AF ad Per Π ἴubdeelmi.