장음표시 사용
221쪽
ARCHIMEDIS CIRCULI DIMENSIO.diculum deducatur NG. Minor est igitur x G Catheto trianguli. Est autem et rectilinei ambitus altero latere minor; utpote qui minor etiam est ambitu circuli. Μinus est igitur rectilineum triangulo R. Quod est absurdum Sit autem circulus, si fieri potest, minor triangulo R.
Et circumscribatur eidem quadra- . tum; secenturque Circumferentiae in duas partes aequales; et ducantur per puncta sectionum rectae contingentes. Itaque angulus o A R recti Is est: ideoque o R major quam M R ; cum M R ipsi R A est aequalis. Quare triangulum n o P msus est dimidio sagurae o F Α Μ . Relinquantur segmenta, cujusmodi est P F A, quae minora sint excessu, quo triangu- Ium B excedit circulum A B C D.
Circumscriptum igitur rectilineum minus adhuc est lxiangulo E. Quod est absurdum. Est enim majus; co quod N A aequalis est catheto trianguli, et ambitus major ejusdem trianguli basis. AEqualis est igitur circuluA triangulo E.
LIBROS illos Archimedis evolventi, qui prae caeteris Plani sunt fere et perspicui, et qui minimum negotii legentibus facessunt ; siqua tamen vel in illis ipsis, inquam, evolventi eos
222쪽
ARCHIMEDIS CIR LI DIMENSIO. 59 currant, quae aliqua saltem interpretatione egeant; instituto meo Parum me satisfacturum arbitror, nisi quae ad illorum et iam explicationem utilia sint, iis adjungam, quae ad opus de Sphaera et Cylindro jam ante commentatus sum. Namque majora quae sunt, et plus ingenii et acuminis requirunt, ea ut mente assequi valeamus, dignum est prosecto quod votis precibusque a Diis ipsis expolcamus. Itaque propositus nobis deinceps sit libellus, qui Circuli Di mensio inscribitur. In quo, quid auetori propositum sit, ex ipsa inscriptione dignoscitur. Hoc enim demonstrare vult, cuinam spatio rectilineo circulus aequalis sit; rem a philosephis, qui ante ipsum floruerunt, jampridem quaesitam. Hoc utique est quaesitum illud, quod cum Hippocrates Chius, et Antipho diligenter investigainent, eas nobis salsas ratiocinationes relique runt, quas Probe nosse illos arbitror, qui Geometricam Eudemi Historiam et Aristotelis Favos evolverint. Est autem hie libellus, ut ait Heraclides in Archimedis vita. .
ad necessarios vitae usus apprime utilis. Demonstrat enim. circumferentiam circuli triplam diametrum exuperare, minus quidem quam parte septim j diametri, magis vero quam decem ejusdem partibus septuagesimis primis. Hoc utique eum demonstrasse ait, aestimatione quadam, quae Veram quantitatem Proxime accedat, instituta: invenisse autem per quasdam helicas, rectam lineam datae circuli circumserentiae accurate aequalem. In Primum Neorema.
Primum Theorema etiam iis, qui mediocriter in mathematicis disciplinis exercitati sunt, nullam videtur dubitationem habere; cum ipsa Archimedis verba perspicua sint, et quod
propositum est, nulla re omissa, concludant. Sed tamen vitio ei vertit nonnemo, quasi ad demonstrationem re quadam Perperam usus esset, quae nondum si demonstrata. Cum enim triangulum rectangulum exposuisset: habeat, inquit, eorum laterum, quae Circa rectum angulum sunt, alterum quidem aequale ei, quae ex centro; alterum vero circumferentiae. At vero quo patio recta linea sumatur circuli circumferentiae aequalis, neque ipse, neque alius quispiam dei nonstravit. Verum rem perpendenti perspicuum erit, nihil Archimedem scripsisse, quod non oportuit. Constat enim inter omnes, circuli circumferentiam magnitudinem esse; atque ex iis etiam, opinor, quarum una est dimensio. Est autem et recta linea ejusdem generis. Itaque licet nondum appareat, qu1 quis ratione possit circuli circumserentiae aequalem rectam exhibere; ei se tamen natura r fiam aliquam eidem aequalem nemo unquam dubitavit. me
igitur est quod Archimedes pronunciavit; triangulum rectangu
223쪽
6o. ARCHIMEDIS CIRCULI DIMENSIO.lum si latera, qualia diximus, habeat, circulo aequale esse. NE-que profecto culpari meruit, quasi hoc in medium proferendo in leges Dialecti e peccnset, pro concessio utens quod dubium et ignotum et set; quin potius admiratione dignus vel hoc ipso existimari debet. quod in quaesitionibus dimet Ilimis invento tam simplici et perspicuo uti resciverit. Ut autem dictum est, primum hoc theorema nullam dubitationem habet. Nam triari-gulum Poll majus csse dimidio figurae APOM; et omnino fieri posse, ut dato circulo rectilineum circumscribatur, ita ut, quam inter circuli cireumferentias, et circumlcripti rectilinei latera segmenta interjiciuntur, dato spatio minora sint; perspicue dicturn a nobis est in iis, quae in primum librum de sphaer1 et lindro eonscripsimus .
Circulus ad quadratum, quod a diametro describitur, eam rutionem habet, quam II ad I 4, proxime. Sit circulus, cujus diameter As; et circumscribatur eidem quadratum C o D ; et lateris C D dupla lit os; pars autem septima E P. Quoniam igitur triangulum A c v ad triangulum Λ C D eam rationem habet, quam et i ad 7 ; triangulum autem A E P ad triangulum A CD habet eam, quam I ad 7; ideo triangulum A C P actu M. quinii. triangulum A C D se habet, ut et 2 ad 7 . At vero triangulum A C D subquadrii plum est quadrati CC; sive ad quadratum C G talioncm habet, quam 7 ad 28: adeoque
a a. quinti. A C P triangulum ad C G quadratum, ut et 2 ad 28 V, sociri ad I . Et triangulum A C F circulo A B est aequale; quoniam catlictus Α C aequalis est ei, quae ex centro, et
basis ejusdem ani biitii; qui quidem diametri triplus est,
224쪽
AE CHIMEDIS CIRCULI DIMENSIO. 6IEt adhuc excedit parte propenrodum septima, ut demonstrabitur. Circulus igitur ad quadratum C G eam habet rationem, quam II ad I , proXime.
PROP. III. fylib. I eirruli ambutis diametri es Iriplus, et adhue excedit, minus quidHm quam septimis diametri parte, ma-jis im quam decem septuagesimis primis.
Sit circulus, cujus diameter A C, et Centrum E, et Fit recta Contingens C L P ; sitque augulus P R C tertia pars anguli redii. Itaque E P ad F C eandem rationem habet, quam 3o6 ad 153 ; et E C ad C P majorem habet rationem quam 265 ad I53. Secetur angulus P Ε C in duas partes aequales recta n G. Ut igitur PE ad sim ita se habet F G aa G CS; et permutando, ut FH ad FG, ita α 3E C ad C G ; et ut utraque simul F E, R C ad F C, ita se habet RQ ad c Gq. Quare C E ad CG majorem rationem 4 1
habet quam 571 ad I53. Igitur EG ad G C potentia quidem majorem habet rationem quam 3 9 5O ad 234M; longitudine vero majorem quam 591ὲ ad Ι53.
Rursus secetur angulus G E. C in duas partes aequales recta E H. Igitur eadem ratione EC ad CH majorem rationem habet quam II 62, ad l53. Igitur H E adH C majorem rationem habet quam Ii7a, ad 153. Amplius secetur angulus HEC in duas partes aequales recta B κ. Igitur EC ad CK majorem rationem habet quam 2334i ad I 53. Igitur E Κ ad C K majorem rationem habet quam 28 30ὲ ad 353. Secetur demum angulus KEC in duas partes aequales recta L R. Igitur recta E C ad L C majorem rationem '
Quoniam igitur angulus P E C, tertia pars cum sit anguli recti, quater in duas aequas partes sceles est; erit utique angulus L E C anguli recti pars octava et quadragesima. Itaque ponatur ad putidium si huic ipsi aequalis angulus C E M, et producatur PC ad punctum M. Est igitur angulus L Ε Μ anguli recti pars quarta et vigesima. Propterea recta L Μ latus est circumscripti circulo polygoni latera habentis sex et Donaginta. Quoniam igitur demon stratum est R C ad C L majorem rationem habere quam 4673ῆ ad 153 ; et dupla quidem ipsius E C est AC, dupla vero iplius C L est L M; ideo
225쪽
ideo etiam AC ad L M majorem rationem habet quam 4673 ad I 53. Igitur etiam A C lid ambitum polygoni, intera habentis lex et nonaginta, majorem rationem habet quam 673l ad I 683. Igitur e contrario ambitus polygoni ad diametrum minorem rationem habet quam 7 688 ad 4673l. Atque horum numerorum alter alterius triplus est, et adhuc excedit unitatibus 667D quarquitiem minores sunt quam septima pars ipsius 4673l. Quare ambitus polygoni circulo circumscripti minor est quam triplus diametri cum parte ejusdem 1eptima. Multo igitur magis circuli ambitus minor est quam triplus diametri cum parte ejusdem septima. Fig. a. Sit circulus, cujus diameter A ; sitque angulus B A Ctertia pars anguli recti. Igitur AR ad BC minorem rationem habet quam 1351 ad 78o: ipsa autem A C ad C B habet eam, quam 156o ad 78o.
Secetur angulus B A C in duas partes aequales recta A G. Quoniam igitur aequalis est angulus B A G Cum. 1 . tertii. angulo G C B v, tum angulo G A C f; aequalis utique esti Pes con- etiam angulus GCB angulo GA C. Communis est autem η μζ ' rectus angulus A G C. AEqualis est igitur et tertius angulus G P C tertio A C G. Quare aequiangulum est triangulum A G C triangulo CGF: ideoque ut A o ad G C, ita.se habet cum C G ad G F, tum A C ad C P. Ut autem A C' ad C P, ita se habet utraque simul C Α, A Be 3. sexti. et ad B C F. Ut igitur utraque simul B A, A C ad B o, itae D. qvu xj- etiam se habet A G ad G C. Et propterea A G ad G Cminorem habet rationem quam 291 I ad 78o et ipsa autem A C ad C G minorem quam 3or 3 : aὸ 78o.
Secetur angulus C A G in duas partes aequales recta A II . Igitur eadem ratione AH ad II C minorem rationem
habet quam 59a sl ad 78o, vel quam 1823 ad 24o.
Uterque enim utriusque idem est ac A. Quare A C ad C II minorem rationem habet quam I 838. . ud 24O. Amplius secetur angulus HAC in duas partes aequales recta S A. Igitur etiam K A ad K C minorem rationem habet quam 366I J, ad 24o; vel quam Ioo7 ad 66.lJterque enim utriusque idem est ac Igitur a C ad C Κ minorem rationem habet quam I 9 ad 66. Sccetur demum angulus K A C in duas aequas partes recta L A. Igitur A L ad I. C minorem habet rationem
quam 2oi6ἱ ad 66: ipsa autem AC ad C L minorem quam 2oI7i ad 66.
226쪽
AR HIMEDIS CIRCULI DIMENs Io. QIgitur e contrario DC ad C A majorem rationem ha
bet quam 66 ad 2oI74. Et polygoni ambitus ad dia
metrum majorem habet rationem quam 6336 ad 2oa c. Atque horum numerorum alter alterius major est quam triplus cum decem partibus septuagesimis primis. Quare ambitus potvgoni, latera habentis sex et nonaginta,
circulo inscripti major est quam triplus diametri cum decem septuagesimis primis. Multo igitur magis circuli ambitus major est quam triplus diametti cum decem ejusdem septuagesimis primis. Igitur circuli ambitus diametri est triplus et adhuc parte quadam excedit, quae minor quidem est septi inadiametri parte, major vero decem septuages mis primis.
D Tertium TFeorema. In hoc theoremate continue iubemur, dati numeri latus quadraticum invenire. Hoc autem in numero, qui quadratus non sit, accurate inveniri non potest. Si enim numerum in seipsum ducas, quadratum aliquem numerum facies: sin au tem numerum et particulam, non facies numerum integrum, sed numerum et particulam. Quomodo autem opoueat latus invenire, quod datum numerum quamproxime faciat, dictum
est ab Herone in Metricis; dictum et a Pappo, Theone, aliisique compluribus, qui Magnam Claudii Ptolemaei Composit
nem explicarunt. Quare non est cur in eo laboremus, quod licet iis, qui ejusmodi studio tenentur, ex illis petere. Sisque angulus C EF tertia pars anguli recti.J Nimirum si Tr. r. hexagoni circumferentia in duas partes aequales secetur, ejusque dimidio C M inde a puncto C sumpto, jungatur E N, et iurectam contingentem CF producatur; erit utique angulus CEP tertia pars anguli recti. Quae enim circumferentia ad punctum C sumpta est, cum dimidia sit circumferentiae hexa goni, erit circuli pars duodecima. Quare etiam angulus CEU, cum sit ad centrum, duodecima erit quatuor re torum angu
lorum, ideoque tertia rem unius anguli pars. Itaque E E ad Fc eandem rationem babet, quam 3o6 ad 133 4 Duplam quidem esse E v ipsius P C ex hoe patet. Si enim ν C producatur ad punctum o, sumptaque reeia c o huic ipsic ν aequali, alia jungatur a puncto E ; erit angulus C E O augulo CBF aequalis. Para igitur tertia redii. Verum cum in
227쪽
64 ARCHIMEDIA CIRCULI DIMENSIO. riangulo ECF ad C rectangulo, angulus acutus P EC pars tertia sit recti, erit acutorum alter g PC recti bellis. Similiter in triana gulo Eco erit angulus Eo C recti bessis. Bessis autem P Eo. Tres igitur anguli trianguli P Eo inter se aequales sunt. Triangulum igitur aequilaterum est. Quapropter reeta P C, quae dimidia est rectae v o, dimidia etiam erit ipsius E P. Et E p ad ν C rationem habebit, quam binarius ad unitatem, sive eam; quam 3o6 ad I 53. Et E c ad CP majorem baiat rationem quam 265 ad Is3.3Cum enim ponatur E F esse 5o6: si in se ipsum ducatur, fiet 93636. Est autem c F I53 ; ideoque quadratum, quod ab ipsi describitur, 23 o9. Quoniam igitur quadratum, quod ab E P describitur, aequale est quadratis, quae describuntur ab E C, C P ; si a quadrato quod ab E F describitur, hoc est, a 93636, quadratum auferatur, quod describitur a C P, hoc est, a3 o9 ;reliquum erit quadratum, quod describitur ab EC, hoc est, 7o227. Cujus quidem latus quadratum est 265, et adhuc particula admodum exigua. Quod enim quadratum a 265 fit, id ab exquisito rectae E c quadrato deficit unitatibus duabus. Multiplicationes autem subjiciuntur: E F 3o6 PC I 53
Qu. F C 23 P9 Qu. 7ozas Reliquum quadratum, Defieit igitur ab quod ab E C descri- exquisito quabitur, est 7 Oa 27.
drato rectae BC unitatibus duabus. Secetur angulus P EC in duas partes inquales recta E G. Ut igitur PE ad E C, ita se habet P G ad G C.J Nimirum per temtium theorema libri sexti Elementorum Euclidis. Et componendo, ut utraque simul F E, E c ad E c, ita EC ad c G. Et per Diuili do by Corale
228쪽
ΛRCHIMEDIS CIRCULI DIMENSIO. Permutando, ut utraque F M E C ad F C, ita E C ad C G. Utraque autem EF, EC major est quam 57I : nam ponitur FESo6; et E C 265, et adhuc quaedam particula. Quare major est utraque simul quam 57 I. Ipsa autem P C est I53. Utraque igitur PR, EC ad FC majorem rationem habet quam 57 I ad I 53. Quare E C ad C G majorem rationem habet quam 571 ad 153. Igitur R G ad ci c majorem potentis babet rationem quam 349 5o ad 23 o9.J Hoc autem sic colligetur. Quoniam demonstratum est, E C ad C G majorem rationem habere quam 57i ad I 53; si quis posuerit BC esse 57I, et Co I 53; erit utique quadratum quidem, quod ab E C describitur, 326o I; quadratum vero, quod describitur a C G, 234o9. Cum autem utraque aequalia sint quadrato, quod describitur ab E o, hoc ipsum erit 3 9 3o. Cujus quidem latus quadratum est 59I , Proxime. Quod enim quadratum a 59 II fit, id ab exquisito quadrato ex EG proxime deficit unitatibus a I ej j. Igitur E Gad G c potestate quidem majorem habet rationem quam 3 9uoad 23 o9; longitudine vero, quam 591 . ad I 53. Multiplicationes autem subjiciuntur:
Ex his colligitur qua Deficit igitur prox Nimirum -
229쪽
ARCHIMEDIS CIRCULI DIMENSIO.dratum, quod ab Eo inae ab exquisito destribitur, 3 9 5 o. quadrato ex RG u nitatibus 2Iέ- . Rursus secetur angulus ci R C in duas partes aequales re M H E. Eddem rasums E C ad CH majorem rationwm habet quam II 62 δ ad 153.J Cum enim angulus GEC sectus in duas partes aequa-Ies sit ; ut G E ad Ec, ita se habet G M ad H C. Et componendo, et permutando ut utraque simul o E, EC ad G C, ita Ε C ad CH. Atque est ipsa quidem E C, 57I, et adhuc quaedam particula ;ipsa vero EG, 59I et adhuc quaedam particula. Igitur in unum collectae majores lunt quam II 62 . Est autem GC I53. Utraque igitur simul G Ε, EC ad G C majorem rationem habet quam D6a, ad I 53. Quare etiam EC ad CH rationem habet majorem quam II 62, ad I 53. Igitur ΠΕ ad A C majorem rationem habet quam II 7 ast ad I 53. Quoniam enim dembnstratum est E C ad A C maiorem rationem habere quam II 6 a L ad 153 : si quis posuerit eas ita se habere ; erit utique quadratum quidem, quod ab E C describitur, I 35O53 Σ3i ; quadratum Vero, quod describitur a C H, 23 o9. Quadratum igitur, quod ab E H describitur, cum aequale sit quadratis, quae describuntur ab EC, CH, erit I 3739 3l A. cujus quidem latus quadratum est II72ι proxime. Quod enim quadratum ab ipso fit, id ab exquisito quadrato ex E H proxime defieit unitatibus 66 l . Multipli stationes autem sequuntur:
Numero scilicet 3 945o si mixtus uti nunc loquimur33 49 28 detractus Dorit, relinquetur mixtus a I Hujus autem particula m ὲ ε Sed . . particulam j, seu Giguo
230쪽
ARCHIMEDIS CIRCULI DIMENSIO. 67EC II 6a
Qu. EC, I35o534 Quadratum, quod ab E Η describitur, aequale quadratis, quae describuntur ab A C, C H, est I 3739 3-ou. 237, 377κτDeficit igitur ab exquisito quadrato
Amplius secetur an ius ΗΕ C tu duas partes aequales rectu E K. Igitur EC ad C x majorem rationem tabet quam 233 i ad I 53. J Rursus enim, cum angulus HEC sectus in duas partes aequales sit ; ut H E ad E C, ita se habet II K ad C K. Et componendo, ut utraque simul Η Ε, E c ad E C, ita C H ad C κ. Et permutando, ut utraque simul H E, E C ad C Η, ita R C ad C R. Et quoniam demonstratuin est, II E quidem ei se II72 et adhuc quandam particulam; EC vero, II 6a , et adhuc quandalia Particulam; ideo utraque simul HE, Eo major est quam 233 ἐ. Ponitur autem H c esse I s3. Igitur utraque simul H E. E C adHC majorem rationem habet quam 233 4 ad 153. Quare et E C ad C K majorem rationem habet quam 233 : ad 153. Igisur EK ad CR majorem rariorum baba quam 2339l a 353. J Rursus enim, quoniam ponitur BC quidem elle 3334: a C R vero, 153; erit utique quadratum, quod ab A CP a de-