장음표시 사용
231쪽
ARCHIMEDIS CIRCULI DIMENSIO. describitur, 34 87asci; et quadratum, quod describitur a C Κ, 234 9. Quibus cum aequale lit quadratum, quod describitur a K E, hoc ipsum erit 5 72I32 V. Cujus quidem latus quadratum est 233yi proxime. Quod enim quadratum ab ipso fit, id ab exquisito quadrato ex E R deficit unitatibus 4 I l. Multiplieationes autem subjiciuntur: EC 233 lCK I53
6. . . 9... 9.. 9.. 9. . II. .
tum, quod ab E R descrisito quadrato ex P. Rbitur, 5 7213a . unitatibus ψII. Secetur demum angulus Κ E C in duas partes aegrales reris E L. Igitur EI C ad CD majorem rationem habet gream 4673 ad 153.JRursus enim, cum angulus Κ EC sectus in duas partes aequales si1; ut K E ad E c, ita se habet Κ L ad L C. Et componendo, ut utraque simul Κ E, E C, ad E C, ita K C ad C L. Et Permutando, ut utraque simul Κ E, E C ad T C, ita E C ad L c. Λtqui est ipsa quidem K E a 339i, et adhuc quaedam particula; ipsa vero B C 233 i, et adhuc quaedam Particula. Igitur L R, E C in unum collectae majores sunt quam 4673 . Est autem K QDi iii od by GOoste
232쪽
ΑRCII MEDIS CIRCULI DIMENSIO. 69x c I 33. Utraque igitur simul E Κ, Ε C ad K C maiorem rationem habet quam 4673l ad I 53. Ut autem utraque simul
K E, E C ad K C, ita se habet E C ad C L. Igitur etiam E C a
C L majorem rationem habet quam 4673l ad 153. Quoniam igitur angulus P EC, tertia pars cum sit anguli irecti, duodecima pars est quatuor rectorum angulorum ; atque hujus dimidius a g C eorumdem pars quarta et vigesima; et amplius hujus dimidius HEC octava et quadragesima; et amplius hujus dimidius KEC sexta et nonagesima; erit utique is postremi hujus dimidius L EC quatuor rectorum pars centesima nonagesima secunda. Ponatur igitur, inquit, huic ipsi aequalis angulus C E M, et producatur FC ad punctum Μ. Igitur angulus L E Μ, quippe duplus anguli LEC, sexta et nonagesima est quatuor rectorum angulorum pars. Propterea L M latus est circumscripti circulo polygoni latera habentis sex et nonaginta. Quoniam igitur demonstratum est, E s ad C L maiorem rationem habere quam 4673 ad I 53; et dupla quidem ipsius
E c est A C; dupla vero ipsius L C est L M : ideo etiam A C ad LM majorem rationem habet quam 4673l ad I 53. Igitur econtrario L M ad Α C minorem habet rationem quam I 53 ad 4673 . Et quoniam L M latus est polygoni latera habentis sex et nonaginta, ejus ambitus est I 683 : s enim 96 in 13a duxeris, hunc numerum facies. Igitur polygoni ambitus ad diametrum A C minorem rationem habet quam I 688 ad 46731. Propterea minor est quam triplus diametri circuli, cum unitatibus 667l. Hae autem minores sunt quam septima pars diametri, septima unitatis Parte . Nam septuplum unitatum 667λ, hoc est, 467 al, minus est quam diameter unitate. Quoniam igitur polygoni ambitus minor est quam triplus diametri eum septim 1 ejusdem parte; minorque circuli ambitus quam polygoni; ideo multo magis ambitas circuli minor quam triplus diametri cum septima ejusdem parte.
Deinde vero construens reliquam theorematis partem et Sit, Fig. a. inquit, circulus, cuius diameter A C; sitque angulus B L C te tia pars anguli recti. Hoc autem fiet, si a puncto C sumpta C B hexagoni circumferentiae aequali, jungatur A a. ciui enim angulus constituitur super hexagoni circumserentia, si ad centrum quidem constituitur, idem est ac duae tertiae partes anguli recti; si vero ad circumserentiam, idem ac para tertia. Si igitur producatur C B ad punctum B, erit A C ipsius C Bdupla. Quod ex elementis constat: cum latus hexagoni, cir
233쪽
7o ARCHIMEDIS CIRCULI DIMENSIO.A C esse I 56o ; erit C B 78o. Atque erit quadratum quidem, quod ab A C describitur, a 336oo; quadratum vero, quod describitur a C B, 6o8 oo. Et si auseratur a quadrato, quod ab A C deseribitur, quadratum, quod deseribitur a C B ; reliquum erit quadratum, quod describitur ab A B, I 8252co. Cujus quidem latus quadratum est Ia 5i proxime. Quod enim qua- dratum ab hoc fit, id exquisitum quadratum ex A B excedit sola unitate. Quocirca A B ad B c minorem, inquit, rationem habet quam 135 I ad 78o. Multiplicationes autem subjiciuntur: AC I56o
Scetur avulus B A C in duas partes aequales rectu A P G.JQuoniam igitur aequalis est angulus B A G cum angulo G C B nam eidem circumserentiae in filiunt) tum angulo G AC; aequalis utique est etiam angulus GCn angulo GA C. Communis est autem rectus angulus A G C. A qualis est igitur et reliquus angulus G P C reliquo A C G. Quare aequiangulum est triangulum A G C triangulo C G P : ideoque ut A G ad G C, ita se habet C G ad G P. AEquiangulorum enim triangulorum latera proportionalia sunt, eaque sibi invicem respondent, quae aequalibus angulis subjiciuntur. Pari ratione, ut A G ad A C, ita est a C ad c v. Permutando igitur ut A G ad G C, ita est A C ad
234쪽
ARCHIMEDIS CIRCULI DIMENS Io. Ic P. Ut A ci igitur ad G c, ita se habet cum C G ad G P, tum A C ad C P. Vt autem AC ad CF, ita se habet utraque etiam BA, AC ad B c. Quoniam enim angulus B A c sectus in duas partes aequales est ab A p; ut B A ad Ac, ita se habet AP ad P . Et componendo, ut utraque simul B A, A C ad Ac, ita Ee ad c P. Et permutando, ut utraque simul B A, A c ad B c, ita A e ad c F. Et propterea A G ad G c minorem habet rationem quam 29 II ad
Namque AB quidem minor est quam I 35 I; A C vero est 156o; denique B c 78o. Utraque igitur simul A B, A c ad B minorem rationem habet quam 29 II ad 78o. Quare etiam AC ad C P minorem rationem habet quam 29 II ad 78o. Ut autem A c ad c P, ita se habet A G ad G c. Id enim ostensum. Igitur etiam Ao ad ac minorem rationem habet quam 29 II
ad 78o. Haec cum ita sint, quadratum quidem, quod ab A adescribitur, minus erit quam 8 73921 3 cum quadratum, quod describitur a Gc, sit 6o8 oo. Quibus duobus cum aequale sit quadratum qiiod describitur ab A c, hoc ipsum minus erit quam 9o8as 2I. Cujus quidem latus quadratum est 3os 3j ἱ proxime. Quod enim quadratum ab ipso fit, id excedit illud, quod Pro quadrato ex A C usurpatum est, unitatibus 368 e . Et propterea dicit: Ac ad c a minorem rationem habet quam 3 orat l
Multiplicationes autem sequuutur:
235쪽
eR A G, G c efficitum quadratum ex Liatur quadratum ex
A c so 823a I. Secetur angulus e A G in duas partes aequales resis A H. Igitur eadem ratiora esc.J Cum enim angulus C A G sectus in duas paries aequales st; utique, p ter triangulorum similitudinem, laterumque proportionem, se habebit, componendo et permutando, ut utraque simul G A, A c ad G c, ita A H ad H e. Ponitur autem AG minorem esse quam 29 II; et Ac minorem
quam sol 3. Utraque igitur simul G A, Ac minor est quam 59 et I i. Atqui est o c 78o. Igitur utraque simul G A, A Cad G c minorem rationem habet quam 59a H ad 78o. Quare etiam A H ad H C minorem habet rationem quam 59a n ad 78o': ideoque minorem etiam, quam 455 I ad 6o quorum uterque utriusque pars est decima tertia . Minorem igitur quam 1823 ad et O. Hi enim priorum spartium decimarum tertiarum) uterque utriusque sunt quadrupli. Et hoc est quod dieit, utrumque utriusque idem esse ae A. Cum autem AH sit I 823, erit quadratum, quod ab ea describitur, 3323329: cumque Hest 2 o, quadratum, quod ab ea describitur, erit 376oo. Quibus duobus cum aequale sit quadratum, quod describitur ab A c, hoc ipsum erit 338o929. Cujus quidem latus quadratum est 1838 'e' Distiir Corale
236쪽
AR RIME DIS CIRCULI DIMENSIO.I838 se proxime. Quod enim quadratum ab ipso fit, id exquisitum quadratum excedit proxime unitatibus 323. Quare A c ad Re minorem rationem habet quam I 838 ad 2 o. Multiplicationes autem subjiciuntur: AH I 823 cu a o I 838 in I 823 in a o I 838
16 . . . - . . 6.3 - . . a . . 6
Qu. AH, 33333 9 Ex quadratis igitur ex A II, Rc essicitur quadratumi ex A C 358Q929.
Quapropter mix 8r . 37tus 338I25I-- -- mixto a38 Iz5am inqualis est. Amplius
237쪽
ΛnCHIMEDIS CIRCULI DEMEN Io. Amplius secetur angulus HAc in duas partes aequales rectΗ Ο. JRursus cum angulus HAC sectus in duas partes aequales sit utique, propter triangulorum similitudinem, laterumque proportionem, s. habebit, componendo et permutando, ut utraque simul H A, A c ad c H, ita A K ad K c. Utraque autem simul H A, Ac minor est quam 366 I ' nam ponitur H A minorem esse quam I 823; et A c minorem quam 1838' atqui est Rc 2 o. Igitur utraque simul H A, A C ad H C minorem rationem habet quam 366 I '. ad 2 o. Quare etiam A K ad K Cminorem rationem habet quam 366I ad 2 o. At partes ἱ ἔ numeri 366I γ, idem sunt ac Ioo7; numerique 2 o idem ae 66. Igitur A K ad Kc minorem rationem habet quam Ioo 7 ad 66. Quadratum igitur, quod ab A K describitur, minus erit quam Io I 4o49; si quadratum, quod describitur a Kc, sit 4356. Quibus cum aequale sit quadratum, quod describitur ab A c, hoc ipsum minus erit quam Io I 8 o5. Cujus quidem latusqnadratum est Ioo9ὲ proxime. Quod enim quadratum ab hoc latere fit, id excedit quod pro exquisito quadrato ex ipsi A Cns amavimus unitatibus i 2j j η. Igitur A C ad c K minorem rationem habet quana ioo9ὲ ad 66. Multiplicationes autem subjiciuntur rAK Ioo 7 xc 66
Rc efficitur quadratum tum unitatibus Ia 14. ex A C IOI 8 o5. Secetur demum angulus K Ac in duas partes aequales recta AL.JFadem ratione, ut utraque simul κ A, A c ad K C, ita se habet A L ad L c. Atqui est A K quidem minor quam Ioo 7 ; A c vero minor quam Ioo9. 3 cum Kc est 66. Utraque igitur simul K A, AC ad K c minorem rationem habet quam 2o16. ad 66. Igitur etiam A L ad Lc minorem habet rationem quam 2oI6κ
238쪽
ad 66. Quare quadratum, quod ab A L describitur, minus erit quam 4o6 928 ε; si quadratum, quod describitur ab L c, sit 4356. Quibus cum aequale sit quadratum . quod describitur ab A c, hoc ipsum erit minus quam 4o6928 Q . Cujus quidem latus quadratum est 2oI7τ proxime. Quod enim quadratum ab ipso fit, id exquisitum quadratum proxime excedi, unitatibus 13 ΚΛ. Quare A C ad CL minorem rationem habet quam 2o17ἱ ad 66. Multiplicationes autem subjiciuntur: AL ao 16 L C 662oI7ἱ in Io I 6
Quadratum his duobus ex AL,LC aequale, quod ab A C de
.xceclit Proxime exqtum quadratum ah
unitatibus 13IA.' Nimirum mixto o69297 - auferatur mixtur 4o6928
piloquetur mixtus Is - - π . Cujus pars irataionalis -- -
239쪽
Quoniam igitur AC ad c L minorem rationem habet quam 2 os 7i ad 66; e contrario DC ad c A majorem habet rationem quam 66 ad 2oI7ἱ. Et quoniam circumserentia o B sexta est totius circuli para; erit utique o C pars duodecima ; H G, quarta et vigesuna ; Κ C, octava et quadragesima; denique L C, sexta et nonagesima. Quare recta L Cpolygoni latus est latera habentis sex et nonaginta. Atqui in I. c 66. Igitur polygoni ambitus ad diametrum circuli m jorem rationem habet quam 6336 ad Io Iri. Horum autem numerorum alter alterius triplus est, et adhuc excedit unitatibus et 8 ἱέ quae quidem majores sunt quam decem ipsius 2oI7b septuagesimae primae. Pars utique septuagesima Prima est et 8k, proxime; atque huius decuplum ab A. Mulici
igitur magis circuli ambitus major est quam triplus diametricum decem septuagesimis Primis. Itaque numeri ab eo positi, ut fieri potuit, mediocriter explicati sunt. Scire autem oportet Apollonium Pergaeum in oeytoeso idem
per numeros alios demonstrasse, et rem vero propinquiorem
reddidisse. Quod quidem exquisitius esse videtur: sed tamen ad id, quod Archimedes sibi proposuit, nihil confert. Diximus enim eum sibi in hoc libro proposuisse, quod vero Propinquum
est, invenire, propter necessarios vitae usus. Propterea neque Porus Nicaenus merito videtur Archimedem reprehendere, quod non accurate invenerit, cui rectae lineae circuli circumferentia sit aequalis. Hinc in Favis idem ait, Praeceptorem suum, Philonem intelligens Gadarensena, rem ad accuratiores numeros perduxisse, quam ii sunt, quos Archimedes proposuit ; id est, 7 et
aa. Omnes enim pariter videntur ejus propositum ignorasse. Utuntur autem myriadum multipliciationibus, et divisionibus, quas non iacile assequetur , qui in Magni Logisticis versatus nonsuerit. Quod si quis omnino vellet rem ad minimum redigere, opus esset, ut ea Probe assecutus, quae in Mathematica Claudii Proficis adhibitis notis numerorum Indicis, quibus nos bossie utimur, nihilo docilius Myriaris vel MFriadum etiam Muriades tractantur, quam minores numeri, modo artificio quodam satis obvio inter operandum quis utatur finsiguris nimirum collocandis9 quod cum Eutocius neglexerit, in immensum ei cum labor tum spatium
ipsum operia excrevit. Hoc autem ex upo operin elegantius concinnatae quivis intelliget.
240쪽
Ptolemaei Compositione traduntur, per partes et minutias i , et Per rectas lineas in circulo aptatas, id saceret. Atque id ego
Si numerus mixtus mixto malliplicandus si, peram partium in- , feeralium multiplicatione, pars utriusque fractionalist in alterius in-tgralem -ltiplicanda es: tum fractionales in se mutuor denique summa omnium colligenda. Quod Ii numerus mixtus in s multiplicandus est, ut quadratus lat. dupla pars framnalis multiplicanda es in integralem ; pars quoque fractionalis in se factique eum facto ex integrati in unam siti 1amam colligendi. Hoc etiam exemplo ex Eutavianis italobine pia a.