장음표시 사용
251쪽
orsim sisterentur. Quod et ipsI. Ea indagine, et iis ope rationibus quaedam traditurus sum, ab Eratosbene ollineonfectum fuisse nullus dubito. Primo Enim ope regilae nostrae, quod faciendum est, certissime efficitur.einde suo ordine omnia et per rectam ratiocinationem fini proposito inserviunt. Denique methodus ipsa simplex et concinna est, cujus auctorem itaque ponero Eratosbenem, eruditum hominem ut erat apprime et Matheseos studiosum, neutiquam pudori sit. En autem Problema ipsum cum ejus resolutione.
Inferre numerorum ad datum quemvis terminum producta
Numerus binarius primus est, neque tamen praeter eum e numeris paribus alius quivis; alios enim pares omnes metitur numerus binarius, quare numeri Compositi sunt.
Primi numeri omnes, excepto binario, ut eX praemissis manifestum est, alicubi inveniendi sunt in serie numerorum imparium in infinitum producta.
Numerus quivis, qui non primus est, primi alicujus multiplex est El. 6. 33.) Seriem itaque numerorum imparium patet semper constare ex numeris primis, et primorum multiplicibus; i. e. numeris compositis.
Si exponatur series numerorum imparium ordine se insequentium, numeri cujusvis multiplices certa lege et praelinitis intervallis se invicem semper subsequuntur. Sit enim series numerorum imparium haecce, . 3. 5. 7. 9. 11. 73. I5. I7. I9. a I. 23. 25. 27. 29. 3I. 33. 35. 37. 39. I. 63. . 67. 49. 5 I. 53.55.57. 59,&ς Inter numerum ternarium, et primum ejus multirlicem 9ὶ interpositi sunt numeri bini, inter 9 et ter-
252쪽
narii multiplicem, qui proxime subsequitur, scilicet I 5,
duos item interpositos habes, inter I 5 et a I itidem duos, et ita deinceps. Rursum inter numerum 5 et primum ejus multiplicem Is interveniunt numeri quatuor, qui ipsius 5 non sunt multiplices; inter I 5 et numerum i nus 5 proxime multiplicem habes item quatuor, et ita deinceps. Simili modo, et inter binos quosvis proxime se subsequentes numeri 7 multiplices, in serie extare Comparebit sex alios, numeri ejus non multiplices, vel universaliter ita. Inter duos quosvis numeri n multiplices, in serie numerorum imparium continua, ordine se inse uentium exstabunt n - I numeri, ipsius n non multiplices.
DE PRIMIS NUMERIS INVENIENDIS,
DISPONATUR series numerorum imparium a numero ternario ad datum quemvis terminum n ordine se insequentium 3. 5. 7. g. 0. 13. u. I7. 29. G1. 23. i5. G7. 29. 3I.
x35. I 37. 339. m. 3. XV. 7. -9. V3. x55. 157. Numeri omnes in serie a ternario per triadas recenseantur, et eliminetur quivis tertius, quod erit Omnes numeri ternarii multiplices a serie amovere.
253쪽
Qui deinde numerum ternarium proximo subsequitur, et locum suum in serie etiamnum servat, numeruS quinarius est. Eliminetur quinarii quadratus, et ab eo numeri omnes per pentadas recenseantur ut eliminetur quivis quintus: quod erit omnes numeri quinarii multiplices amovere, qui prius hoc non pasti sunt, dum Emoverentur numeri ternarii multiplices. Eadem qua antea lege utitor. Qui in serie proxime post quinarium locum suum servat, septenarius est. Eliminetur septenarii quadratus, numeri post eum omnes Per ληπάσας recenseantur, et eliminetur quivis septimus, quod erit amovere omnes numeri septenarii multiplices, qui inter priores duas eliminationes non amoti antea
Quoties opus erit, iteretur operatio, immutatis per eius, quae juxta exempla supra adhibita immutanda unt, et repetantur eliminationes, usque dum numerus e serie non sublatus, proximus ab illo cujus multiplices postremum eliminati fuerint, isti usinodi sit, ut istius quadratus numerum ultimum et maximum in data serie exsuperet, et restabunt non amoti, qui in serie quavis data ad terminum n, unice primi numeri sunt, praeternumerum binarium. Invenientur itaque primi numeri
omnes in serie qu1vis data tio. O. E. F. Cribrum igitur Eratosthenis, Lector benevole, jam tibi, ut fruaris eo, in manus traditum est, non fictum aliquid aut adulterinum, sed quale ab auctore ipso olim illud concinnatum esse omnino existimandum est. Quinet illud te monitum esse velim, inter veterum Mathematicorum inventa, vix in aliud quodvis te incidere posse, quod vel magis artificiose, vel magis ad utilitatem, siniis saltem quae calculo indaganda sunt uspiam excogitatum est. Diuitiam by Corale
254쪽
256쪽
Si numerus, seipsum multiplicans, quadratum secerit; et quadratum multiplicans cubum fecerit; et cubum multiplicans quadrato-quadratum; et quadratO-qhadratum multiplicans quaarato-cubum ; operatio, infinite progrediens, Multiplicatio dicitur Climinica. II. Numeri multiplicatione climactiost facti Potestates dicuntur ejus, a quo opera multiplicationis initium sumpserit. III. Numerus autem ille potestatum Radix dicitur; et quadrati quidem quadratica; cubi cubica; quadrato- quadrati biquadratica; quadrato-cubi quadrato-cubica
Cor. Νumeri cujussi bet potestates, multiplicatione climactica ordine procreatae, seriem constituunt numerorum proportione convenientium, ea scilicet ratione, quam unitas ad radicem habet. M. gr. Ut unitas ad ternarium, se est ternarius ad quadratum ternarii; et quadratus ternarii ad cubum ;et cubus ternarii ad quadrato-quadratum. Et insitata
est progressio. Numeri cuiussi bet potestates commodissime designantur numerorum notis radici superae ascriptis, qui locum uniuscujusque indicant, ἔn serie inde ab unitate in insinitum prorogata; hoc modo :
257쪽
I. I . 5'. 5'. 5 . 5β. Numeri autem superne ascripti Indices vocantur. Cor. In serie potestatum cujuscunque numeri, proportione inter 1e conveniunt quorum Indices sunt Α-rithmetici. m. gr. In serie potestatum quinarii erit 5' : 5 α 5 φr sy'. Nempe cum numerorum 2, 5 et illorum IO, I 3 eadem est disserentia 3. Hoc autem facile intelligitur ex Cor. Def. 3 φ hujus et I g. septimi Clementorum. Hoc autem ceu fundamento, ut postea patebit, innititur tota ars Arithmetices Logarithmorum.
Numerum, ex duobus primis mutua multiplicatione factum, nullus metitur alius praeter primoS illor, quorum mutua multiplicationesiae tus est. Puta numerum A, e duobus primis B et C, mutua multiplicatione, factum. Ma-
ctum A utrumque metiri. Di- co praeter illos nullum. Numerum enim Α, si fieri potest, metiatur alius quidam D, qui tam a B, quam a C sit diversus. Quoties autem Dmetitur A, tot sint in E ianitates. Numerus igituτ Amutua numerorum D, E multiplicatione factus. Idem igitur Distus ex duobus D, E, qui ex duobus B, C. Erit igitur B ad Eut Dad C . Numerus B vel metitur, vel non metitur illum E. Metiatur primo. Numerus igitur D pariter metietur ch. Quod est absurdum : cum C primus sit R. Sed B non metiatur M. Primus autem By. Duo igitur B, R inter se primi'. Minimi igitur omnium, qui eaudem cum illis rationem habent . Minimi vero aequaliter metiuntur numeros, qui eandem cum illis rationem habent, antecedens antecedentem, Consequens Consequentem . Quare E metietur C. Quod est absurdum, cum C primus sit V. Numerum igitur A nullus D metitur, ab utroque B et C diversus. Q. E. D.
258쪽
DE NUMERIS PRIMIS ET COMPOSITIS. 91
PROP. II. THEOR. Numeri cujusvis primi potesates solus primorum metietur
Numeri enim cujusvis potestates seriem constituunt numerorum inde ab unitate proportione Convenien tium . Cujusvis igitur primi potestates soli metiuntur Cor. Def. qui sunt in serie potestatum v. Solus autem in serie po- 3 hujus. testatum primus, unitati proximus, seu radix. Numeri R' igitur cubusvis primi potestates solus primorum metietur radix. Q. E. D.
Numerorum primorum potestates, sive homolosin sve diversi nominis, numeri junt inter se primi.
Numerorum duorum primorum A et B exponantur potestatum series I, A, A', A', MC. I, B, B', ΒΤ, &C. Dico A , Β' numeros esse inter se primos. Non enim. Erit igitur iis mensura Com-
I. A. Λη. Α'. Α'. Α , Α muni Sq. Esto numerus D. ς ε . De . I. B. By. By. Β'. B , BR Numerus igitur D metitur septimi. D- numerum Α . Quoniam autem A primus est', et nume- d ex hyp.rus Am unus aliquis ex serie I. A. AL Ay, tic.q idcirco numerum A soli metiuntur qui sunt in eadem serie, ipso A minores h. Numerus igitur D erit aliquis in serie numerorum I. A, A , &c. ipso A ' mitior. Omnes autem illius seriei numeros metitur A, ab unitate proximus.. Numerus igitur A metietur D. Et cum numerum B metiatur Dq, numerus etiam A illum BR metietur. Quod est absurdum; cum numerus A priinus sit, et numerum BR solus primorum metiatur B radix'. Numeris igitur' a. hujus. Α , B non est inensura communis. Sunt igitur inter 1.
primi. Numerorum igitur primorum potestates, sive homologae sive diversi nominis, sunt inter se primi. Q. E. D. PROP. IV. THEOR. Numeri, a duobus quibuslibet mutua multiplicatione facti, potesates faetis ex potestatibus duorum bomologas inquales sunt.
Puta numerum C ex duobus Λ, B mutua multiplicatione Diuili od by Corale
259쪽
sa DE NUMERIS PRIMIS ET COMPOSITI s.
tione factum. Dico potestates numeri C factis ex mistestatibus homologis nu-
R . . . B merorum Α, B aequalefi
C esse. Nempe hoc volo ;quadratum ex C facto ex quadratis ex A et B ; cubum ex C facto ex cubis ipsorum A et B ; quadratO- quadratum facto ex quadrato- quadratis; denique C facto ex A', BR aequalem esse. Cum enim numerus A illum B multiplicando nume- Des. rg. et rum C se rit; erit I ad A ut B ad C Est autem Hw- ωzm' ad c ut quadratus ex B ad factum ex B et C , necnon ut is 'ν factus ex B et o ad quadratum ex Ch. Erit igitur et Iad A ut quadratus ex B ad factum EX B et C, necnon ut factus ex B et C ad quadratum ex C. Est etiam Iad A ut A ad quadratum ex A. Cum igitur sit I ad Aut quadratus ex u ad factum B κ C, et A ad quadratum ex A ut I ad A, hoc est, ut factus B N C ad quadratum t . septi- eX C ; EX aequo, erit I ad A ut BR ad CR. φ Quadratus mi. igitur ex C facto ex A , B aequalis erit . Q. E. D. z. Cum I sit ad A' ut n' ad c', id enim ostensum, ny autem ad c ut cubus ex B ad solidum B κ c h; erit etiam I ad quadratum ex A ut cubus ex B ad solidum B κ C'. Est autem quadratus ex A ad cubum exa ut I ad A, hoc est, ut B ad C, sive ut solidus B κ C ad cubum ex C. Cum igitur fit I ad quadratum ex Aut cubus ex B ad solidum B κ C' id enim ostensum) et quadratus ex A ad cubum ex A ut solidus B κ o' ad Cubum ex C; ex aequo, erit I ad Cubum ex A ut cubus ex B ad Cubum ex C. Quapropter cubus ex C facto exeutas ipsorum A et B aequalis erit. 2. E. D. s. Rursum By : C' - Β' : Cy κ B v. Sed I : A - ΒΤ : c'. id enim ostensum.
se. E. D. Et simi Ii modo pergendo ostendetur C' - Α κ Β'. Numeri igitur, a duobus quibusibet mutua multiplicatione facti, potestates iactis ex potestatibus duorum ii mologis aequales sunt. Q. E. D.
260쪽
DE Nu MARIS PRIMIS ET COMPOSITIS. 93
Numeri, a duobus quibusibet primis mutus multiplicatiora facii, potesates soli metiuntur primi illi, et eorum potestatas, et ex duobus illis primis, vel eorum potesatibus, facti.
Puta numerum C ex duobus primis A, B mutua multiplicatione factum. Numeri C potestas sit C'. Dico numerum C metiri nullum praeter ipsos A, B, et ipsorum A, B potestates, et ex A, BA . . . B vel potestatibus eorum fa-C ct .c' 3375 Numerum C metiatur D. D 5 Numerus D aut primus erit, aut compositus. Et primumst primus numerus D. Numerus autem C' numero ex A , BR facto aequalis est'. Numerus igitur D, qui, Pri- a 4. hujus. mus cum sit, factum ex illis AR, B metitur, alterum ipsorum A , Β' metietur . Sed numerum AR solus pri- 3a. septiis
morum metitur A, numerum B solus primorum By. .
Si igitur primus sit D, alteri illorum 4 vel a sequalis δ' vi' 'erit.
Sed numerus D non sit primus. Compositus igitur. Primus igitur aliquis eum metietur 4. Metiatur primus M 33. rit1-R, et metiendo faciat P. Ut sit D in E κ P. Numerus p mi'
aut primus erit, aut Composi-Α . . . R tus. Si compositus, metietur C . eum primus aliquis'. Metia-C' 3375. tur Primus G, et metiendo HD 225. faciat. Ut sit F - ο κ H, ME 5. F Q. Propterea D m E A G κ H. G5. H 9. Hoc modo pergendo, incide-K 3. L 3. mus tandem in mimum aliquem, qui praecedentem primo metietur. Et cum eo deventum fuerit, numeri com-
pofiti D in factores sui primos omnes resolutio perfecta erit. Eo jam deventum sit, et persecta sit resolutio numeri D in factores primos, E, G, K, L, ut sit D m E κω κ Κ κ L, cum illorum E, G, Κ, L unusquisque primus sit. Numeri B, G, Κ, L, qui numerum D meti