장음표시 사용
261쪽
94 DE NUMERI s PRIMIS ET COMPOSITI s. metitur. Sed C' factus est ex duobus Ah, B . Primorum igitur E, G, K, I., qui
A . . . B factum AR A BR metiuntur, C . . . . alterum ex illis Λ', B unus -C' 337s. quisque metietur h. Alteri igi-D 225. tur ipsorum A, B primorum E 5. F 45. E, G, K, L Unusquisque se-G 5. H 9. qualis crit. Nimirum cum K 3. L 3. illum AR 1 olus primorum metiatur Α, illum B solus primorum By. Numerus igitur D, eX numeri S E, G, Κ, Lmutua multiplicatione factus, aut numeri A aut numeri
B potestas erit, vel ex ipsis A, B, vel eorum potestatibus faetus. Numeri igitur &c. Q. E. D. Cor. Hinc patet, qua ratione numeri cujusvis compositi in omnes fadtores seu divisores sui prlanos resolutio fiat. PROP. VI. THEOR. Numerum, ex tramo quolibet et compullo mutua multiplicatione jactum,si quis alius meIiatur ; alius ille vel multiplex erit primi, vel pars composii. Numerum A, eX primo P et composito C muttia multiplicatione factuita, numerus quidam alius D metiatur. Dico alium illum D vel primi P multiplicem esse, vel compositi C par-
A 36. Quoties enim D meti-D 18. E a. tur A, tot sint in E unitates. Numerus igitur A ex duobus D, R. mutua multiplicatione factus . Idem autem A ex duobus P, C mutua multiplicatione factus h. Erit igitur P ad D ut B ad C . Num crus autem P illum D vel metitur, vol non metitur. Metiatur primum. Ita vero D multiplex crit illius P. Sed P non metiatur D. Duo igitur P, D inter se sunt primi . Minimi igitur omnium qui candem cum illis rationem liabent'
262쪽
DE NUMERIS PRIMIS ET COMPOSITIS. 95 Sed minimi aequaliter metiuntur numeros, qui eandem cum illis rationem habent, ante edens antecedentem, consequens Con- P . . . C . sequentem . Quare cum ' a
A 36. P ut ad D ut E ad C, et ν, ρομD 4. E 9. D minimi sint omnium in sua ratione; D metietur C, et illius C pars erit. Numerus igitur D, qui metitur illum A, aut multiplex erit primi P aut pars compositi αO. E. D.
Numerum, eae primo quolibet et compMilo mutua muti l a tione factum, pars omnis compositi 1ncti tur multi ira quodam primi: et Aquis multiplex primi eundem illum metiatur, metietur parte Piadum compulit.
Numerum A, ex primo P et Composito C mutua multiplicatione factum, manifestum est numerum C metiri. Numeri C pars sit numerus D. Et cum ille C metiatur
A 36. tiatur. Metiatur numero D 4. E 9. E. Numerus igitur A ex duobus D, E mutua multiplicatione factus Sed idem A ex duobuS P, C mu- I5. Des. tua multiplicatione factus . Erit igitur P ad n ut ad c q. Sed D pars est numeri Cy. Quare P numeri Raik. eadem pars'. Et cum P pars sit numeri E, multiplex mi. erit E illius P. Simili modo ostendemus partem quam- , Declibet numeri C numerum A multiplice quodam numeri 'μ' P metiri. Jam vero D multiplex sit numeri P et numerum Ametiatur. Dico illum D metiri A parte quadam Compositi C. Metiatur enim
P. . . C D numerum A numero E.
A 36. Numerus igitur A ex duo-D 18. E a bUS D, E mut in multiplicatione factus V. Idem autem A ex duobus P, C mutua multiplicatione factus'.
Quare, ut in casu superiori, P est ad D ut B ad C i. Et cum P pars sit illius D, multiplicis nimirum sui, erit E eadem pars illius C .
263쪽
Numerum igitur A, ex primo P et.composito C mutua multiplicatione factum, pars omnis compositi C metietur multiplice quodam primi P. Et si quis primi P multiplex illum A metiatur, metietur parte quadam compositi C. O. E. D.
Numerum, ex primis quotcunque mutua multiplicatione factum, nullus primorum metietur printer eos, quorum multiplicatione factus es.
Ex primis quotcunque A, B. C, D puta numerum Ninutua primorum multiplicatione factum, ut sit N α Ακ B κ C κ D. Dico A 7. B II. C I3. D I9. numerum N nullum N I9OI9. primum metiri praeter T. V. Y. z. illos A, B, C, D. Numerum enim N, si fieri potest, primus aliquis alius metiatur X. X autem metiatur N numero V. Numerus igitur N ex duobus X, V mutua multiplicatione factus '. Idem autem N eX numeris duobus A, et B κ C κ D mutua multiplicatione factus V.
Erit igitur A ad x ut v ad B κ C κ Dy. Primi autem A, x omnino inter se sunt primi. Minimi igitur omnium in sua ratione β. Quapropter numerus x metietur numerum B κ C χ D '. Metiatur Dumero Y. Numerus igitur B R C A D ex duobus X, Y mutua multiplicatione faetus . Idem vero ex duobus B et C κ D mutua multiplicatione factus . Erit igitur B ad x ut Tad C κ D ς. Primi autem B, X omnino inter se sunt primi. Quare et minimi omnium in sua ratione', et Tmetietur C κ D v. Metiatur numero Z. Numerus igitur C κ D cx duobus x et E mutua multiplicatione factus φ. Idem vero C κ D ex duobus C et D mutua multiplicatione factus. Erit igitur C ad x ut Z ad D R. Primi autem C, x omnino inter se sunt primi. Minimi igitur omnium in su1 ratione', et x metietur D φ. Primus utique primum. Quod est absurdum. Numerum igitur N, ex primis, A, B, C, D mutua multiplicatione laetum, nullus primorum metietur praeter eos, quorum
multiplicatione factus est. Q. E. D. PROP.
264쪽
DE NUMERIS PRIMIs ET COMPOSITIS. 97
Numerum, ex primis quotcunque mutua multiplicatione fictum, non melitur eorum alicujus pol fas ulla, quorum
multiplicatione factus .s, modo in illis nulli 't ZE-
EX Primis quotcunque A, B, C, D squorum nulli sint inter se aequales) puta numerum N mutua illorum multiplicatione factum; ut sit Ν - Α κ Η κ C A D. Di Conullam potestatem ali-
N. I9OI9. metiri ipsum Ν. Nam, si fieri potest, quadratuSeorum alicujus, puta A, motiatur illum N. Jam Cum numerus A, seipsum multiplicans, quadratum sui, A , fecerit, et numerum B κ C κ D multiplicans secerit N V ; h εχ hyp.
Quod est absurdum; cum factum ex primis B, C, D alius primus A non metiatur '. Quadratus igitur primi Aq8. hujus. numerum N, eX A, B, C, D factum, non metitur. Dico neque cubum ipsius A. Nam si cubus, omnino quadratus ; quoniam ipsum cubum quadratus metitur . ' Cor. 3. Dico neque supersolidum. Nam si supersolidus, om- dςL hujus. nino cubus. Quoniam ipsum supersolidum cubus metitur φ.
Et, in infinitum progrediendo, ostendetur nullam potestatem primi A numerum N, ex primis A, B, C, D factum metiri. Similiter autem ostendetur neque aliuscujusvis ex primis illis potestatem ullam metiri ipsum N. Numerum igitur, eX primis quotcunque mutua multiplicatione factum, non metitur eorum alicujus potestas ulla, quorum multiplicatione factus est, modo iuillis nulli sint aequales. O. E. D. Cor. Si in primis A, B, C, D nonnulli sint aequales; puta primum duos, sed duos tantum, inveniri aeques es; quadratus igitur ex duobus aequalibus factum ex omnibus metietur; sed potestas quadrato elatior nulla. Puta tres, sed tres tantum inveniri aequales. Cubus igitur ex tribus aequalibus factum ex omnibus metietur; 1ed potestas cu-ho elatior nulla. Puta quatuor, sed quatuor tantum in
265쪽
98 DE NUMERIS PRIMIS ET COMPOSITIS. veniri aequales. Super lidus igitur ex quatuor aequalibus factum ex omnibus metietur; sed potestas super- solido elatior nulla. Universe, si in primis quotcunque A, B, C, D, E, F, G tot inveniantur aequales, quot sunt in numero n unitates, potestas aequalium cujus index us actum ex omnibus A N B A C κ DNEX FκG metietur, sed potestas illa elatior nulla. PROP. X. THEOR.
Numerum, ex primis quotcunque muttia multiplicatione fictum, composti metientur soli, qui ex primis illis, binis,' ternis, quaternis, quinis, omnibus denique mutua multi in
Puta numerum N eX primis quotcunque, A, B, C, D, E, mutua multiplicatione fadtuna. Numerum N metiatur compositus quidam x. Compositi x in factores sui pri-mΟS omneS a, b, c, d,' Cor. 5. A 7. B II. C I3. D I9. E 29. e resolutio sat . Ho- h. v - N 55 155 I. rum quisque, Cum X- metiatur X, omnino a. h. c. d. e. metietur N, quem ille x metitur. Primi autem sunt a, b, c, d, e. Et numerum N nullus primorum metitur praeter ipsos A, B, C, D, E, ex quibus factus v 8. hujus. est h. Primorum igitur a, b, c, d, e unusquisque uni alicui ex illis A, B, C, D, E aequalis erit. Universi autem numero non sunt plures, quam sunt illi A, B, C, D, E. Nam si plures essent, cum nullus eorum uni alicui ex A, B, C, D, E non sit aequalis; omnino in pluribus a, b, c, d, e &.c. unus saltem aliquis eorum A, B, C, D, E Plus semel reperiretur. Numerus igitur X, ex illi S a, b, c, d, e LC. mutua multiplicatione factus, fastus esset ex potestate quadam plus semel reperti in reliquos ipsorum A, B, C, D, E ducta. Ita vero potestas quaedam alicujus primorum A, B, C, D, E metiretur numerum X, et X metiendo, metiretur quoque N. Quod fieri nequit; modo in s. hujus. Primis A, B, C, D, E nulli sint aequales'. Sin vero aequales fiat nonnulli, si plures sint numero a, b, c, d, e quam sunt illi A, B, C, D, E ; vel sic etiam unus aliquis Corum A, B, C, D, E semel saltem pluries invenietur in illis a, b, c, d, e quam in ipsis A, B, C, D, E invenitur. Et numerus x ex illis omnibus a, b, c, d, e factus, factus
266쪽
DE NUMERII PRIMIS ET COMPOSITIS. 99ctus erit ex potestate quidam semel saltem pluries reperti elatiore quam est illa, quae indicem habet numerum, qui indicat quoties idem in ipsis A, B, C, D, E Periatur. Ita vero potestas illa elatior alicujus primorum A, B, C, D, E metietur X; et X metiendo metietur quoque N. Quod fieri rursum nequit d. Numeri igi- ' Cor. 9.tur X divisores omnes primi a, b, c, d, e numero non hR M'sunt plures quam sunt A , B, C, D, E. Sint igitur quot Volueris, modo non plures quam A, B, C, D, E. Sint primum duo, puta a, b. Ut sit X m a N h. Duo a, b duobus quibusdam ex illis A, B, C, D, E singulatim sunt aequales. Numerus igitur X, ex duobus a, b factus, factus est ex duobus quibusdam ipsorum A, B, C, D, E. Sint jam tres, puta a, b, c, numeri x divisores primi. Ut sit x m. a V b κ C. Tres a, b, e tribus quibusdam ex illis A, B, C, D, E singulatim sunt aequales. Numerus igitur X, ex tribus, a, b, e factus, factus est ex tribus quibusdam ipsorum A, B, C, D, E. Quod si quatuor sint numeri x divisores primi, similiter ostendemus numerum X factum esse ex quatuor ipsorum A, B, C, D, E. Denique si tot sint numeri x divisores Primi, quot sunt A, B, C, D, E, numerum X Ostendemus ex omnibus A, B, C, D, E factum, et ipsi numero N aequalem esse. Simili modo de alio quovis numero composito, numerum N metiente, idem ostendemus; factum esse eum vel ex duobus quibusdam, vel ex tribus, vel ex quatuor Scc. primorum A, B, C, D, E. Numerum igitur EX primis quotcunque, mutua multiplicatione factum,
compositi metientur soli, qui ex primis illis, binis, ternis, quaternis, quinis &c. omnibus denique mutua multiplicatione facti fuerint. Q. E. D. PROP. XI. PROBL.
Dialo numero composito numeros omnes invenire, qui eum metiuntur.
Resolvatur datus numerus compositus in omnes sui divisores primos Horum singulos, binos, ternOS, qua η Cor. s. ternos, quinos, tic. duo in se, et habebis etiam om- hujus. nes divitores compositos.
Veritas hujus regulae, a Newtono in Arithmetica Universali traditae, ex propositione proxime antecedente satis eluces est. Sed cum in opera multiplicationum tam
267쪽
Ioo NUMERIS PRIMIS ET COMPOSITIS.
multiplici, quibus numeri plures primi, gradatim omnibus modis, quibus sieri potest, pauciores pluresque assumendo, inter se Componantur, errare Vel exercitatin simo cuili lint proclive sit; nisi quis ante oculos habeat certam aliquam et accurate compositam, quam sequatur, operandi formam; idcirco illud in nos i scepimus, ut
viam commonstremus facilem et expeditam, et erroris periculo quam minime immunem. Datum Puta numerum A compositum. Inveniatur tentando scilicet) minimus primorum, qui illum A metiuntur, P. Numerus P numerum AA. II 86. metiatur numero C. Aut primus erit p. 2. C. 593. C, aut compositus. Si primus; numeri Ρ, C numerum A soli metiuntur . Sed compositus si C. Compositum C minimus primorum metiatur P. Et P metiatur C numero C. Si compositus sit C, eum minimus prim A 46ao rum metiatur P. Et D metiatur CP a C 23 Io numero C. Hoc modo pergendo, in- P a C II55 cidemus tandem in numerum ali-P 3 C 385 quem C, quem primus aliquis primo P 5 C 77 metietur. Eo deventum sit; et nu-
It 7 et II merum C compositum primus Π primo Φ metiatur. Numeri isitur propositi A persecta erit resolutio in divisores sui primOS. Nimirum ut sit A - γ Π Pκ PNPκ P. Hic priusquam ulterius progrediamur, de divisoribus mox inventis non inutile erit pauca quae/am observasse; quae operi instituto multum lucis Oil undent, quanquam ad demonstrandam methodi nostrae: α ιζειαν non sint scitu omnino necessaria. Primum igitur, cum numerus P divisorum dati A minimus sit; numerus C, quem minimus ille dividendo facit, maximus divisorum erit. Simili ratione numerorum C, C, C, C divisores maXimi erunt C, C, C, Φ, unusquisque proxime .antecedentis. a. Si Distiir orale
268쪽
DE NUMERIS PRIMIS ET COMPOSITIS. Io Iet. Si divisores primi numeri dati A tot snt numero,
quot sunt in numero n unitates; erit numerus A compositus ordinis illius, qui a numero n denominatus est. Nimirum si duo tantum divisores primi sint numeri A, erit numerus A planus, seu secundi Ordinis. Si tres, -lidus, seu tertii ordinis. Si quatuor, supersolidus, seu quarti ordinis '; si quinque, supersolidus secundus, seu quinti ordinis; si sex, sicut numeri ejus, quem in exemplum posuimus , supersolidus tertius, seu sexti ordinis. 3. Si vero A supersolidus sit tertius, erit C secundus. Et divisorum numeri A in ordine supersolidorum secundo,
seu numerorum quinto, maximus. C autem supersolidus
erit, et divisorum in ordine supersolidorum primo, seu
numerorum quarto, maximus. C erit solidus, et diviso rum solidorum maximus. Universe, si numerus datus Asit ordinis a numero n denominati, erit C ordinis, n - I; C ordinis, n - a; C ordinis, n-3, &C. et Numeri C, C, C&c. erunt divisores numeri A in ordine quilque suo maximi.
Hisce animadversis, progredimur in opere suscepto. Numero dato A in omnes divisores sui primos P, P, P, P, Π, di resoluto, inventis otiam maximis ejusdem divisoribus compositis C, C, C, C in singulis numerorum compositorum ordinibus; constituatur abaeus, in cellulas, ut videre est, divisus lineis rectis transversm et ad perpendiculum ductis. ordinibus cellularum transversis, ad oras abaci exteriores, a summo ad imum pergendo, apponantur notae numerales I, II, III, IU, V, VI.
269쪽
Ioa DE NUMERIS PRIMIS ET COMPOSITIS.
eum scilicet in finem, ut, exitu operis, diviseres primi, plani, solidi, supersolidi, ordine cimique suo collocati, ipso abaci intuitu, alii ab aliisaignoscantur. Tum in cellulis summi ordinis transversi seu Ih. inscribantur numeri dati divi
res primi , Π, P, P, P, P, Ordine inverso, a maximo ei primum usque minimumque P. Maximum
Primorum Φ II) proximus illi Π multiplicet. Multiplicando, planum C faciet. Qui in pri
mam cellulam transversi ordinis II, . inscribatur. Planum C tertius primorum in ordine I. P 5 multiplicet. Multiplicando, solidum C 385) faciet, qui in primam cellulam transversi ordinis III inscribatur. Jam vero idem primorum tertius P 5 duos, eum antecedentes, multiplicet. Multiplicando, planos faciet 55, 35 qui in cellulas ordinis secundi post c inscribantur. Jam quartus primorum in Or
dine cellularum I, p 3) solidum c 385ὶ multiplicet. Multiplicando, supersolidum o faciet sit 55
qui in cellulam primam ordinis IVi. inscribatur. Idem vero Pri-
cet. Multiplicando, tres solidos faciet sa3I, I , Im) in tres Celinlulas ordinis IIIi post solidum c 385ὶ inscribendos. Rursum idem
270쪽
DE NUMERI s PRIMIS ET COMPOSITIS. Imantecedentes sis, 7, 5ὶ, multiplicet. Μultiplicando, tres planos faciet 33, 21, 15) in totidcm cellulas ordinis II.
Jam quintus primorum in ordine cellularum I. p et
supersolidum C II 55ὶ multiplicet. Multiplicando, supersolidum secundum C faciet 23 Io , qui in cellulam
primam ordinis V t. inscribatur. Idem vero primorum
quintus P quatuor solidos, qui in III' sunt cellularum ordine s385,2AI, I 65, Im), multiplicet. Multiplicando,quatuor supersolidos faciet 77o, 462, 33o, a Ioὶ in totidem cellulas ordinis ΙU post ipsum C II55) inscribendos. Rursum idem primorum quintus P ain sex Planos, qui in secundo sunt cellularum ordino 77, 55, 35, 33, a I, I5ὶ multiplicet. Multiplicando, sex solidos faciet i5 , IIo, 7o, 66, 4a, 3οὶ in cellulas ordinis tertii inscribendos. Rursum idem primorum quintus, P, a quatuor, eum antecedentes s II, 7, 5, 3ὶ, multiplicet. Multiplicando, quatuor planos faciet aa, I , IO, 6 in cellulas ordinis II. inscribendos. Postremum scilicet in numeri propositi exemplo)sextus primorum in ordine cellularum I. P, sa) super- solidum secundum C 23 Io) multiplicet. Multiplicando, supersolidum tertium faciet ipsum scilicet A numerum propositum Mao). Qui in cellulam primam ordinis VI. inscribatur. Idem vero primorum sextus P sa quinque supersolidos qui sunt in ordine cellularum IV. IX55, 77O, 46a, 33o, a Io) multiplicet. Multiplicando, quinque supersolidos secundos faciet sa3IO, 15 O, 924, 66O, 4ao). ΗOrum quidem primus, 23IO, negligendus est; cum ex antecedente multiplicatione jamjam in abaco comparuit. Quatuor novi 15 O, 924, 66o, gaοὶ in totidem cellulas ordinis V. inscribendi. Rursum
idem primorum sextus P sain decem solidos qui sunt in ordine cellularum III. 385, 23I, 165, XQ5, II , IIO, 7o, 66, et, oin multiplicet. Multiplicando, decem super- solidos faciet 77o, Ma, 33O, a IO, 3O8, azo, Iη , a 3a, 84, 6o . Horum quatuor primi 77o, 6a, 33O, a Io)negligendi; cum ex prioribus multiplicationibus in abaco jamjam comparuerunt. Idque in hoc negotio
semper observandum, ut omittantur numeri iteratk vice a 4 Prode-