장음표시 사용
61쪽
quod distantia punctorum Λ oe C , stamniensiuarum Z I facta igitur hypothesi quod eiusdem quadrati latus sit A B , atque diametet sit Λ Cr quodque dis ia piniciorum Α & B , sit Iomensurarum X t & insuper quod distantia punctorum A & C ,
sit Io mensurarum Z; nemo non videt , commodo. atque pia
sun usitato modo , Per vulgares numeros posse intellis liter indicari, tam distantiam punctorum Α & B . quam di tantiam punctorum Ade C: dic o quod pulicta Α ει B . ab iuuiceinclistent Io in Iuris X et de praeterea, quod puncta Α & C , abii uicem distent Io mensuris ra quare si numeri radi Ies de quibus in proposito dubio agitur . quiqtae asseruntur nullo modo intelligibiles, atque chimanici . άaio tantum loquendi modo signiS
cent numeros eos in, siue aequales , illis vulgaribus numeris ,
quibus in proposita hypothesi diximus, maxime intelligibili a
que usitato modo explicari distantiam. tam punctorum Α & B, quam punctorum A ct C: certe constabit dictos radicales num ros, non inexplicabiles , non chimaericos, sed maxime intelligubiles & facile explicabiles esset ac praeterea non minus vera ac propriὰ dicta unitatum aggregata indicare , quam indicentura praedictis vulgaribus numeris. Superest igitur ut afferam alia quem ex numeris radicalibus, de quibus dubitatur an sint intelligibiles aut explicabiles per vulgares numeros: atquc osten- . dam, illum aequalem elle uni ex praedictis numeris vulgaribus facile intelligibilibus & passim usitatis r atque manente hypothesi prius hic proposita, ratis erit R. a 3 - 1- X; quod hic numerus radicalis malam radicem primam habeat. satis constat ex prop. I a. epist. q. lib. I. epistolaruni , atque adeo est mus ex illis radicalibus numeris de quibus eantum incidere potest dubium, utrum indicet unitarum aggregatum , aut explicabilis sit per vul- .
adeo priorem qui radicalis est & ptima radice caret, recte e plicari per posse iorem qui vulgaris est, atque ab omnibus imtelligibilis. Hanc assertionem ita probo . -r hypothesini I X-io Z α A B ad Α Crergo Io X et ad Io Z x de A B et ad AC dir
ergo R i 'fetoo Xα R I sed R-I-Zα Io Zt. ergo R I-aoo X α Io Z . Qim erat probandum . iido dicitur quod aliquis vulgaris numerus, Ex empla Gratia numerus zoo, non habeat radsiem piimam exprimabilem
62쪽
per numerum vulgarem et strino est de numeris vulgaribus indiscamibias eiusdem speciei indiuidua, atque adeo tantum asseritur , non esse possibilem aliquem nil neruiri vulgarem indicantem eiusdem speciei indiuidua cum numero et , qui sit aequalis radici prunae numeri 2oo; qnare supposito quod numerus xoo indicet indiuidua non restricta ad speciem inferiorem, tunc non est possi bilis numerus vulgaris indicans indiuidua non restricta ad speciein inscrimen qui sit aequalis radici primae numeri acio; Simi- Iiter supposito quod numerus et innet indiuidua rectrina ad palmos, siue indiuidua palmariae tunc non est possibilis numeriis vulgaris,indicans indiuidua palmaria, qui aequetur radici primae
numeri amis inando autem asseritur quod numerus uvigaris 2oo non habeat radicem primam exprimibilem per numerum. vulgarem et nullo modo negatur inueniri numerum vulgarem qui
indicet individua diuersa ab indiuiduis indicatis a numero am , qui sit aequalis radici primae numeri zoo; etenim supposito quod numerus roo indicet indiuidua palmaria, dari potest numerus vulgaris qui indicet indiuidua pedalia, atque aequalis sit radici
primae muneri zzo: ut patet in paulo ante proposita hvpothesi, in qua ostendimuS verum esse, quod numerus vulgaris Io pedum sit aequalis radici prima numeri 2oo palmorum . Denique licet verum sit, quod dari non possit numerus vulgaris qui sit aequalis radici prim g numeri mo, ita ut iudi et indiuidua eiusdem speciei cum indiuiduis indicatis a numero mor tame .hoc verum non
est de numeris radicalibus; sed supposito Exempli Gratia quod numerus vulgaris Io indicet indiuidua palmaria , poterit dari numerus raclicatis indicans indiuidua palmaria,atque squalis sier ici primae numeri etoo; & generaliter qualiacimque sint indiuidua indicata a vulgari numero zoo, poterit dari radicalis numerus indicans ehisdem speciei indiuidua, qui aequalis sit radici prime vuIgaris numeri mo; etenina scriptio R I-α- exhibet radicalem numerum qui est aequalis raclici primae numeri Ioo , atq; indicat indiuidua eiusdem speciei cum indiuiduis icidicati
a numero acio, qualiacunque tandem indiuidua indicet numerus dicto. Haec videntur mihi sussicere , ut constet verum esse quod respondimus ad propositiun dubium. Reliquum est ut respondeamus breuiter ad arguntenta contra nostram Logisticam al-
Circa prim innargumentum, concessis anterioribus propomtionibus, distinguo illam propositioilem in qua assumitur, quod R 1 Aoo Indicari non possit Per vulgarem numerum: arquae
63쪽
concedo , hanc radicem indicari non posse per numerim vulga. tem indicantetu indiuidua eiusdem .eciei cum indiuiduis i
dicatis a numero 2oo : id enim tantum euincitur in citata propositione nona, ut notatur ad XVI gradum , nego tamen hanc radicem indicari non posse per numerum vulgarem , indicantem indiuidua diuersae species ab indiuiduis quae indicantur a niimero vulgari aco. quandoquidem in hypothesi paulo ante hic proposita, per numerum vulgarem exposuerimus radicem primam numeri am, atque ostenderimus R I-etoo X α Io Z : ex quo satis patet falsum esse quod ulteritis infertur. In secundo argumento, distinguo propositionem asserentem quod. singuli numeri mensurentur ab unitater singuli numeri imdicantes eiusdem speciei unitates , mensurantur ab unitate talis speciei individuum indicante concedo: singuli numeri non imidicantes unitates eiusdem speciei, mensurantur ab unitate eius. dem speciei individuum indicante , nego: ex quo satis constat bene inferri quod non dentur duo numeri eiusdem speciei indi- iidua indicantes, qui nullam omnino mensuram communem habeant: sed tamen male inferri, δe falsum esse, quod non dentur vlli numeri qui nullam mensuram conamhnem habeant. in tertio argumento assumitur, nimirum intelligi non posse, quod, vel quale sit unitatum aggregatum , quod indic tur a radice prima numeri etao: hoc inquam falsum esse iuxta n seram Logisticam et satis patet ex hs qtiae paulo ante hic notaub. mus; idem verum esse iuxta Algebrae doctores, facile concedo retenim nisi fallor plurima alia in Mathesi facile intelligibilia, neque percipiunt, neque inquirimcilicet talia sint, vinii merentur inter fundamenta quibus innititur ars illa, quae Algebra arpellatur ; hoc tamen ex capite non videntur reprehensibiles quidquid enim sit de excellentia & laudibus quibus artem istam extollunt , tamen vix ullum Algebrae scriptorem inuetito adeo ignorantem, ut neget Λlgebram artem esse ; quam non pauci satis apposite comparant Ariadnae filo , quo ducente , etiam csci, vel clausos habentes oculos,per labyrinthum inueniunt viam, perquam filum excurrit. Iam vero , iuxta ea quae capite primo annotauimus, non ad artem Mathesi subordinatam i sed ad Mathesim ipsam , quae scientia est , quaeque docetur in nostra Logustica, pertinet examinare, inquirere , atque intelligere fundamenta regularum, quibus utuntur artes Mathematicae: & qu niam inter artes istas numeretur Algebra, certe qui Algebram
4ocent, muneris sui partςs. Omnes adimplent, quando & pro
64쪽
liac arte requisitas regulas bene proponunt, atque regulariana ultim sufficienter exponunt e permittendo scientificat Matheseos amatoribus curam , aut inquirendi, atque examinandi
regularum fundamenta: aut inferendi regulas ex scientificispi incipiis. Non vulgari beneficio sibi obstringeret Algebram, qui artis huius directrices regulas, hactenus non satis stabilitas , ex principiis scientificis inferendo , redderet bene fundatas r sic enim nullo venturo tempore ruinam deberet pertimescere; verum a quo tantum beneficium impetrauerit, hactenus inuentus est nemo: immo neque aliquando inueniendunt, non omnino temere suspicari potest , qui attente considerat, quales nugas, qualia monstra, quales chimaeras assurarant, protundamentis , quotquot conati sunt indicatum beneficium praestare Algebrae : quos propterea vari)s in locis putatii appellandos aucupes chimaerarum. Caeterunt inter praestantes Matheseos artes numerandam este Algetiram , nusquam ne go et multoque minus hanc artem damno : sed ut alibi dixi,
tantum non probo eius apparatum , tot nQuis atque non ne
celsarijs vocabulis abundantem, ut artis huius candidatis maiorem molestiam creent ipsa vocabula , quam artis praecepe A. Si exemplum placet, lege prob. a. cap. s. lib. I. Logistica: ἰpraxis quae hoc problemate a nobis docetur,a Francisco Vieta , speciosae Algebrae inuentore, appellatur Hypobibasmus:& cap. 3. Isagoge in artem analyticam; Hypobibamus,inquit, depreso potestatis re paradicorum graduum o eruato Icesae ordine , donec homogeneum sub depresore gradu cadat in darum omnias homueneum cat eomparantur reliqua . ita ipse e neque plura , ex passim obulis pluribus exemplis requiri existimo , ut intelligatur verum esse, quod de Algebrae apparatu, vocabu- Iisque inutilibus candidatos terrentibus hic breuiter volui notare : ut amicissimus mihi Dominus N. N. in responsione ad suum argumentum inueniat , quae quadrant notis argumento adiectis; alia noni uilla pro reliquis notis, de etiam pro
Logisticae nostrae candidatis utilia inueni tur pagina 84.ec tribus proxime sequentibus, in Arithmetica introduc tione ad Logisticain: & in aliquibus ex subsequentibus dubis s. Dubium viidecimum . . Vsus quinti axiomatis hypothetici propositi cap. 13. putis 2. Ideae Logisticae, multo molestior, usu reliquorum axiomatum quae ibidem prop0nuntur quaeritur an nuic molestiae remedium nullum afferri pone lPraeterea ibidem propositum sextum axima hypotheticum ,
65쪽
3 8 Clauis Logisticae Cap. IV.
non videriir uniuersaliter verum esse: etenim suppositis quod
m A K ; Q od erat pror aridum . Responaeo hic promitu duo dubia , prima fronte plane di uersa , sed tamen inter se laxaxime comic xa : non tantum quia singula spectant ad nostra principita hypothetica r verun etiam, quia supposita mutatione quinti axiomatis hypotlietici quae mutatio utilis est ri primo ex his duonus dubiIs sa- tisfiat necessaria est mutatio laxti axiomaris hypothetici: ne illi aduersetur dissi ultas quae mouetur in secundo ex duobus.
diibus hic propositis . Respondeo ad primam partem dubij hic propoliti, quod
ex quinto nostro axiomate hypothetico restillatis specialis difficultas, duplex considerari potest . Prima dissicultas est,quae resultat ex eo quod in quinto axiomate asserta proportio quam habet ductus primus ad ductum quintum , exprimatur Per quantitates continuas et reliqua vero, axiomata ibidem in proposita, in numeris vulgaribus exhibeant proportionem a quam asserimi: ineoque tanto difficilius est quintum , quanai ex reliquis quodlibet axioma adhibere, quanto dissicilior est
Vsus quantitatum conti iurarum. , usu vulgarium numerorum
Vt quinti axiomatis hypothetici, prima haec dissicultas tolleretur: necesse foret, in numeris vulgaribus exhibere pro- . Portionem , quam habet ductus primu ad ductum quintum λα quoniam haec Proportio est eaciem cum proportione quam habet quarta pars circumstrentiae cimili, ad radium eiusdem circuli, quando basis quae ducitur ductu quinto cst quarta P rs circumferentia cuculi: neceste laret ia vulgaribus nuta
66쪽
meris exhibere proὲiortionem, quam habet quarta pars eircumferemiae circuli, ad eius dein circuli radium: adeoq ue sproponere veram circuli quadraturam . Altera quinti axi
macis dissicultas est,quod ex solis Loginicae nostrae elementis. plerumque satis commodὰ atque immediate demonstrari posisint propositiones , in quibus statuitur aliquid de proporti
ne inter duas quantitates productas ex reliquis ductibus t v rum pro demonstrationibus propositionum aliquid statuetitium de proportione quantitatum,quarurei aliqua producitur
duc tu quinto,non raro necesse sit assumere aliquas propositiones,quae non numerantur inter Logisticae elementa, licet ex his demonstrari possint. Haec secunda dissicultas , oritur ex eo ,
quod duehus quintus nominatus pro ut in Idea Logisticae pro-iranitur , satis res trietus sit: quare in maiori uniuersalitat tum duetiis quinti nominati, tum axiomatis quinti hypothetici, huic ductui correspondentis di haberetur remedium pro hae secunda dissicultate; quod an ita sit, experientia meliusquam allatis a me rationibus disci poterit : si pro ductu quinto proposito cap. 3. partis 2. Ideae Logisticae si ibstititatiir siti adhibeatur ductus quintus ampliatus quem hic propono, consequenter pro axiomate quinto hypothetico quod notatur cap. I 3.partis 2. Ideae Logisticae, substituatur, siue adhibratur axioma quintum ampliatum, quod hic subsequitur duc um quintum ampliatum,atque iIli res ndee;ae denique pro se to axiomate nypothetico propositin cap. partis a Ideae Lo. gisticae . substimatur sextum axioma hypotheticum amplia- eum,quod proeono in responsione ad secundam partem huius
Ductus quintus Grametricas ampliatas. Supposito quod superficies A D B sit quadrans circuli, cuius arcus A B, utcunque diuisus sit in punctis P & R et ex . quibus ad centrum D , ductae sint rectae PD&RD: quosque quadrans B D A . praeciso tantum motu rotationis cir- Ciunferatur circa axem D B , ita ut arcus descriptus a puncto A , sit A K ; intelligi potest superficies producta, vela toto arcu B Λ , vel a qtiauis eius parte B P, vel P R , vel R A . Praeterea intelligi potest , corpus productun , vcl a toto quadrante B D R , vel a quolibet ejus seetore B D P, vel P D R , vel R D A . In hac hypothesi, superficies quae in-II 1 telligitur Dissiligod by Coos
67쪽
telligitur producta, vel ex toto arcu B A vel ex qliauis eius parte, appelletur superficies prodiicta diictu quinto ampliatorti similiter ductu quinto ampliato produci dicatur, quodlibet corpus, quod in proposita hypothesi intelligitur produci
vel ex toto quadrante B D Α, vel ex quovis eius sectore: hoc est ex qtiauis parte quadrantis, terminata uno quadrantis a cu ,& duobus eiusdem quadrantis radiis in eius centro Dconcurrentibus . Adeo ut productum ex ductu quinto ampliato dici possit, tum quaevis superficies quae in proposita hypothesi in te li igitur produci, vel a toto arcu BA, vel aquauiSeius parte : tum etiam quodvis corpus,quod in propolita hypothesi intelligitur produci, vel a toto quadrante Λ D B, vel a quo uis eius sectore. Hoc modo intelligendo ductum quintum ampliatum , scriptio B A in Α Κ ductu s,ligit incat i
perficiem iii proposita hypothesi productam ex arcu B A . Sci iptio B P in Α Κ ductu s , significat silperficiem in proposita hypothesi productam ab arcu B P. Scriptio PRinΑΚductii ue , lignificat superficiem in proposita hypothesi productam ab arcu P R . Scriptio R A in Α Κ ductu ue, significat superficiem in proposita hypothesi proditinam ab arcu R A . similiter scriptio B D A in Α Κ ductu 3 , significat corpus in proposita hypothesi productum a quadrante B D A. Scriptio B D P in Λ Κ ductu 3 , significat corpus in proposita hypothesi productum a sectore B D P. Scriptio PDRinΛΚductu s , significat corpus in proposita hypothesi productum a sectore P D R . Scriptio R D Λ in Α Κ ductu 3 , significat corpus in proposita hypothesi productiun 1 liiperficie R la Α. Quales sint superficies, vel qualia sint corpora , quae in proposita hypothesi , adeoque ductu quinto ampliato produci polliunt, tacite intelligitur ex ipso conceptu ductus quinti ampliati, quem hic exposuimus . Vt hic ductus quintus ampliatus adhibeatur loco ductus quinti magis restricti qui exponitur cap. 3. partis a. Icleae Logisticae , pro quinto atque magis restricto axiomate hypothetico proposito cap. I 3. partis a. Ideae Logisticae , substituendum est subsequens axioma hypotheticum respondens ductui
Quando basis A est linea: Ain C ductu Iiis C ductu 3 2ΣΣΕ ad a F a Gad H.
68쪽
Pro intelligentia huius axiomatis, notandum quod littera E significet arcum, nimirum illum arcum qui est balis , vel certe terminat sectorem qui est basis. Littera F significat Partem axeos quae correspondet arcui E : per partem axeos arcui E correspondentem, intelligendo , illam partem axeos , circa quam rotatur arcus E,quaeq; abscinditur a duabus rectis lineis ab extremitatibus arcus E pcrpendiculariter occurrentibus axi: vel quae abscinditur ab ipso arcu E &a recta quae ab altero arcus extremo puncto perpcndiculariter occurrit axi , quando unum extremum punctum arcus E est in ipso axe. Littera G, significat sectorem , nimirum illum sectorem , qui est balis , vel qui terminatur ab arcu qui est balis , quaeque duci intelligitur ducitu quinto ampliato. Denique littera H , significat rectangulum cuius basis est radius arcussi, altitudo vero est recta i , siue pars axeos arcui E corre Dpondens. Exempli Gratia suppolito quod vel arcus B ivel sector BD A sit basis: tune littera E, significat alcimi S B A ; littera F significat axem D B; Littera G signi licat i ctorem BDA: littera H significat rectangulum cuius balis DB & altitudo DB, hoc est DBa. Rursiis siti polito , quod vel arcus P A , vel sector PD A sit basis : quodquo recta P M perpendiculariter in pim 'o M , occurrat axi D B ; littera E significat arcum P A ; littera F significat rectam D M littera G significat sectorem PDA; littera Hiignificat rectangulum cuius balis est DB altitudo DM, hoc est D B in D M . Similiter stipposito quod basis sit, vel arcus B P, vel sector B D Pr quodque recta P M , axi D BPerpendiculariter occurrat in puncto M : tunc littera E significat arcum B P; littera F significat rectam M B : littera Gsignificat sectorem BD P; littera H significat rectangulum cuius basis est D B altitudo M B , hoc est D B in M B . Propositum quintum axioma hypotheticum ampliatum a nobis diuisum cst in duas partes , correspondentes duobuScasibus diuersis , qui considerari possint in ductu quinto ampliato: sic ut primus casus sit, quando basis quae ducitur est arcus : secundus casus sit, quando basis quae ducitur est sector circuli. De primo casu agit prima pars axiomatis: de secutido casu agit secunda pars: tu utraque parte , semper supposi
69쪽
to quod de bases quae ducuntur & altitudines in quas bases ducuntur sint eqdem siue aequales, proponitur duplex pr portio, indicans proportionem quam habet productum ex ductu priniis ad produclum ex ductu quinto ampliato: siue proportionem quam habet ductus primus ad ductum quintum . ampliatum hoc tamen per lineas indicat prior proportio , Iitteris E & F, expressa: posterior litteris G di H expresia , idem indicat per si rficies: ex quibus duabus proportionibus , subinde una, subinde altera commodior est: atque hac de causa utraque proponitur. Haec videntur sufficere circa
primam partem praetentis dubij. Respondeo ad secundam partem dubii undecimi, verissimum esse ac legitime probari, quod in hypothesi de qua ibi agitur , A B in Α Κ ductu s ad A R in Λ Κ diustu ue non
A B in Α Κ ad A R in Α Κ t sed tamen me non videre , quod haec vera atque legitimὰ illata propositio , aduersetur texto axiomati hypothetico proposito in Idea Logisticae: in quo axiomate, a nobis non dicitur quod Α in C ductu s ad B in Ddu, tu 3 Α in C ad B in D : sed tantum asseritur, quod A in Cdiiam1 3 ad A in C ductu s ra A in C ad A in C; quare axioma sextum hypotheticum , ut a nobis proponitur , est restrictum ad casuin in quo duae bases quae ductu quinto ducuntur sime inter se aequales : si vero dixissemus quod Α in C duetu sad B in D duehu 3 α Α in C ad B ia D, non foret restrictuin ad casum in quo bases sunt inter se aequales, sed fuisset longe uniuersalius, amplectens etiam casum in quo bases quae ducuntur ductu quinto sunt inter se inaequales - de quo casu agitur in secunda parte dubia hic propositi ; atque diuersus esta casu de quo agit nostrum sextum axioma hypotheticum et quod sussicit notasse ad solutionem dubii de quo hic agitur,
Quoniam tamen insimuata maior uniuersalitas sexti axiomatis hypothetici, non tantum utilis esse potest, atque desidera bilis : sed praeterea in sexto axiomate hypothetico necessa ria est aliqua mutatio, eoipso quod pro quinto axiomate hypothetico in Idea Logisticae proposito, substituatur quintum axioma hypotheticum ampliatum , quod hic exposuimus ;Propono rextum axioma hypotheticum ampliatum , atque
pro sexto axiomate hypothetico in Idea Logisticae proposito
lassistituendum aut adhibendum , quando quintum axioma
hypotheticum substituitur us adhibetur, pro quinto axiOmate hypothetico quod proponitur in Idea Logisticaeud vero
70쪽
necessarium esse, inde satis constat, quia Exempli Gratia , licet arcus R P aequetur arcui R A, tamen is P in Α Κ ductus non m R A in Λ Κ ductu 3 : adeoque ductit quinto ampliato, N polliint duae bales inter se aequales duci in eamdem altitudia 'uem , ita tamen ut non generent quantitates inter se aequales r& consequenter duae quantitates, quae singulae ductu quinto alnpliato pr'ducuntur ex basibus& altitudinibus aequalibus , non necestario habent proportionem aequalitatis; licet necessario halic proportionem habeant, duae quantitates ductu prLmo genitae ex basibus & altitudinibus aequalibus .
Axisma sex iam spotherisum ampliatum.
Prima pars. Am C quouis ductu diuerso a qui to ad B in D, eodem , siue eiusdem classis ductum A in C ad B in D. Secunda pars. Am C ductu quinto ductu ue X in C ad Z in D.
Nota pro secunda parte. Littera X, significat partem naxeos quae correspondet arcui qui est basis Α , vel terminat sectorein Α , qui basis est. Littera Z, significat partem axe quae correspondet arcui qui est basis B, vel remunat sectorem qui est basis B. Proposita ariomata ampliata, i time insene ex magis restrictis , quae proponuntur in Idea Logisticae et dissicile non est , sed tamen id non facio, quia videtur parum utile ad praesens institu ra . Dubium duodecimum . Iuxta problem. 3. cap. 3. libri a Logisticae verum est quod ais ama inar igitur per axioma , lag.99ddeae Logisticae, aad a , 3: atqui iuxtae I.ogimcam , - a , est maius vel minus, quam 1; igitur antecedens quod est maius suo consequente , ad tam consequens: habet eamdem rationem,quam habet antecedens quod est minus silo coasequente , ad iniim consequens. QE'd est prorsus ampossibile. Respondeo. Suppositis si,ndamentis quae lapponuntur ab
iis contra quos hoc argumentum affertur pag. I I. siue I 2 lib. 1.
Epistolarum Mathematicarum: legitime sequitur impossibi-M , siue absurdum quod insertur; idem tamen abstuduni nullo
modo sequvae, suppotis fundamentis quibus Mitur nostra Logiliu