장음표시 사용
61쪽
Ipsim ergo quadratum GT quadruplum es trigonto S 'cuius area cum sit aequalis quadrato,quod ex G si ipsa est ra i , qu --GIes 4 9,idbcilicet quod ex dimetiente quadratum. Quandoquidem larus D G aequalesiametro B A. Trigonum autem A G Riam per
3 4 primi, sit dimidium parallelogramma contenti sub duabin lineis AG G F, ipsius area fit 38 - . Supponentes igitur basim G Fesse aequalem perimetro circuli,erit ipse ctrculus,per theorema praecedens, aequatu trigono Os G F. Circulus
igituμ ad id quod ex dimetiente quadratum ratio nem habet,quam 3 8 - ad ψ 9. Hoc est in miniamis numeris,quam II ad I . Data autem huiusmodi ratione dimensio circuli facile conritat. Quae quam sit Nero proxima nos iacebit propositio θ-quens, ius demonstrationi knt duae partes.
Ea demonstratisfacile colligitur, non alium Archimedi uissescopum,quam quem iam
satim ab ipsius operis titulo testari mihi velle via sus es, scilicet ut dimensionem circuli quandam nobis traderet vero proximam, facilem expeditam ad Uum rei, ex qua flensibilis error non Ρ-Fueretur. Nam in ratione pervenuanda diametri ad peripheriamMum magi emper, atque m
62쪽
εο LIBERgis prope verum accedere posset,sicut paulo postre ipsa montitrabo,non sessum id non fecit ,sed etiaὸ νero regress est aliquantulis, ut limites magis
notos,et expeditiores ad Uum disponeret,ia vis quam citra veri Qui quide limites - , dico et fisicut exigua disserunt inter se particula, utpote
- , Ita ex alterutro constabit mensura pusi, ιο d crimine. Nam circulus cuius iametros I q, exprimo quidem limite,quoniam perimetros excedit triplum diametri minus quἀm , habebit
aream minus quam I i q. Exsecundo autem, quoniam talis excessus plus es, quam - , aream habetplus quam Is 3 - . Est igitur inter areas disserentia - . Vter autem intorum limitumssit vero propior incertum est. Quoniam verum ipsum ubi consistat non habemus,hoces,utrum dictet aequaliter,an inaequaliter ab utroque. Talu enim cognitio permagni ad rem esset momenti. mpQ tamen propterfacilitate obtinuit, utex priori limite ruatur ἰαζαδον circulo dato.Et ita Ῥesie Nidetur Archimedes ex theoremate secundo. Vbi dicit circulum ad id quod ex dimetiente quadratum rationem habere, quam II ad I . Nec curauit sicut
vere potuisset, ita proponere. Circulus ad id quod
ex dimetiente quadratum rationem habet minorem, quam II ad I , maiorem autem, quam 22
63쪽
P R I M V S. grEaeto circulus cuius diametros sit I , ex linea quae sit aequatu diametro A describatur quadratum F,quod quidem erit I96 ntque duo trigona origonia B σ C, quorum utraeque cathetis ter quae ex centro circula γ aequales. Basis autem trigoni B sit ipsius diametri trigia sequi septima.hoc es 44. Erit itaque trigonum BI 4. Basis vero trigoni Csit eiusdem diametri tripla superde partiens septuagesimas primad, hoc est, r , eAtque trigonum C IS v. Et quoniam basis trigoni B maiores eiγculi perimetro, basis trigoni Cminor es eadem peri
metro , trigonum B maius es circulo trigonum C minus eode circulo A. Inaequalium aute magnis
maior ad eandem, maiorem rationem habet , quam minor. Et eandem ad minorem rationem mutopem habet,quim ad maiore. Circ
64쪽
62. LIBERGrculus igitur Acum si minor quam is 4 , σmaior quam I13 ad quadratum F rationem habet minorem quam Is A ad 195, hoc es, quam II ad I .Et idem circulus ad quadratum Frationem habet maioνem, quam Is 3 - ad Iss, hoc es,quam 2 23 ad Zo .circulus igitur ad id quod
ex dimetiente quadratum rationem habet minorem quam II ad IA, maiorem autem, quam 2 23
ad 28 4. Et econtrario quadratum quod a dimetiente quale es Fad circulum rationem habet maiorem, quάm I 4 ad II minore autem, quam 284 ad 223. Quod erat demo trandum.
SH iam dimensionum exempla tractemus, e rum res eclia, qui nondum plenam in calculis' geometriosi notitiam habent.Erito circuias B , que ex traditionibus ArchImedu oporteat dimetiri.
Quaerenda es in primis longitudo diametri in cim cula, mensiura qualibet, rutpote digitarum, sue pedum. Quam nunc ponamus esse digitos 1 . Qua-cta loc est in se multiplica diametron I , is I9s, 1 one Regulam dicendo. Si hecundum Archi medem id quod ex dimetiente quadratum Ιε habet circulum II quid diametri quadratum I 96ἶMultiplica in D t a IF6,partire in I 4, prouenit 134 . Quae es dimensio circuli B ex limire priori.
65쪽
Ex altero autem Regulum ita disponito. diam rei quadrarum 284 dar circulum a. 2 3, quid quadratum I ss' Operare sicut prius , multiplicando 223 m I96,-productum 437C8, partiendo is et 8 , erisque proueniens I 3 - dimensio rimculi B ex limite secundo. Dicendum itaque aream cisculi A corinere digitos quadratos paulo minus, quam Iis. Et paulo plus,quam IS 3 - . Sed nucfacito diametrum circuli B grandioribus mens ris VP digitorum decem. Erit igitur ipsiub diam rei quadratum Ioo. Dispone Regulam, Si 14 μ II, quid Io Os Operare, sicur antea, re habebis 7 8 , pro dimensisne circuli E. ratione autem secun i limitis dispositionefacta in hunc modum. Si 284 dat 2 23,quid IOC ξ inuentes operan L 78 - . Et ita se habet dimensionis calculm in circulis,quanquam alijs etiam modis. Sed hic, facilitate, intel enita praestat.
SI quis autem limites alios vero propiores attulerim,rem magis impediet, quam iuuabit Istud ramen cognostere quomodo fiat no erit inutile, neces etiam tam expeditum,*tpraestari pose ita quolibet
66쪽
libet. Ad hos igitur perquirendos, viam Archimedis ingressus, inde progrediar ubi constitit isi . Te sumatur id quodpupra demonstratum est in amgulo qui Aub LEG ,'ilicet quὀd linea EG ad
G L rationem habet maiore, quam 4673 - ad II 3. Rusus itaque bipartiatur aequaliter angulus
qui sub LEG ducta EP ipsa igituμ EG ad GP
rationem habet maiore, quam 93 9 - - 1 3. Sed EG dimidium est ipsius iacta, GP dimidium es lateris circa circulum descripti pol ori laterum I92. Et ipsa igitur G ad huius pol goni perimetron rationem habet maiorem, quam 9-s; ad 29367, hoc es, quam ψ9926 ad Is 68678 . Econtrario igitur ipsa pol rant,
er multo magis circuli perimetros ad G diametron ratione habet minorem,quam Is 68678 ad 992 Cn. . part
67쪽
bet minorem, quam εο 33 - ad 66. sa autem
Gad Qta minorem, quam 4 οφ 3 ad 66. Sed Que est latus intra circulum descripti polygoni laterum I sa. Econtrario igitur pol goni , multo magis circuit perimetros ad diametru A Grationem habet maiorem, quam 3 4 o 7 o7 3 4 ad IO8 3 9s . Et hac via modus erit promouendi limites huiusemodi, ut minus semper, atque minus dissent a vero, nunquam tamen Ῥt ad Ῥerum per ringant. Et quo sepiud fiet,eo magis erit in diamensionis ι editus,propter diminutionem partiacularum, in numeris augmenta, quae multiplicationibus magnis negorium facessunt. Quare q*ipui rchimedem numeris alijs ratione hanc exa- citi s demonstrare voluerunt, voti it Apolonius Pergaeus, Porus Nicaeus, Ilon Gadareus. Omnes
inti quidem rut verissime tectatur Eutocius uno sese tenore demonserant Archimedis scopum non intelligere. Quidsi nunc reuiuiscens Eutorius tot falsis multυrum quadraturas in circulum videat nec dimenssionis quidem nomine censendas, ut quae sint extra limites Archimedis. Quid, inquam, diceret Eutocius Id profecbo quod res est, ineptos omnes ictos non quidem operis scopum in inchimede sed opus ipsum non inte2gere.
68쪽
theorema secundum, quod circulus ad id quod ex dimetiente quadratum ratione habet minorem, quam 3 92I696 ad 992633, maiorem autem, quam 8 IZ696 ad Io8 396s. Et hoc voco secundos limites,per quos inito calculo inuenitur circulus cuim diametros I aream habere minorem, quam IS 3 - . Maiorem autem,
Atias item dimensiones, quot quisique Noti rit, iuventre ia chimedis etiam ducta faciliore moritrabo. Circulus cuius est diametros I ealculo quem per Nirunque limitem ex prioribus antea posui, inuenitur possismo continere minus,
quam is plus quam Is3 - ρ . cumsit igitur mensisnum disterentia inseptemseptuagesimo prims, recte poterit pars ipsius disserentiae quaelibet
69쪽
ad aream minorem adjes, ut is numero I s 3 adherens particula r fiat, - , Nel-- , siue - . Et ita deinceps quousque fuerit adiectio disseremtia minor , Nelsi minutioribus incrementis agere libeat. ugeatur parricula grandioribus numeris , aequalitat eruata, ita Ni sit Nel-- , aut - , siue Et sic poterit ad numerum Issalectio fieri paniculae vel- , vel , alias mille modis inter se diuersis, omni quidem proposita multitudine pluribus,cum numeri particulam, quantitate non mutata,incrementum inflario re L piant. Nec poterit ulla dimensionu huiusmodi emtra limites primos Archimedis incIdere. Erunt quoque singulae alterutro limitum propius Tem, In certum tamen an Niroque,'quonam duorum. Quod ckm videatur obsecurim,ito demonstro. PO nam- , maioris euidentiae gratia primum limiatem esse duodecim , re alterum sex. Et ipsam Ia II IO 9 8 γ s verisidem innumero septem constatere. Itaque s feceris dimensionem unam nouem, alteram decem,
ambae quidem intra limites er vero propius erutquam duodecim, longim tamen quam sex. Si autem veri Acm esset in medio, Ῥtpote in nouem, tunc omnis intra limites dimensio veritati Tiroque propior esset. Ignota autem,prout est ,sede Neri,
hoc Fossum constat dimensiones ictas intra limites
70쪽
baberi altero duorum vero propius esse. Quod epat demons randum. Est tamen opinabile, erum iniud circa medium propinquisiime concludi. Constituetur autems quiue desederat,dimensionum huiusinodi singulu)ua cuique ratio. Velut si aream
circuli dat eceris e Ie I 3 --, sequitur , Pt cim culus ad id quod ex dimetiente quadratum rarionem habear, quams 6 S ad 65s8. Sed hoc,*test ad tγaditionem mentius, ita σ ad dimensio-mου rusum versus. Vnam aahuc exequi mensire speciem per meros breuiter, no eritAuperfluum. Si ponatur circulus ad id quod ex dimetiente quadratum rationem habere, quam VT Z i ad 33 p 8, tunc in circulo cuius diametros I fet dimensionis area Is Q . QPae quidem non solum es intra primos limites Archimedused etiam intra secuη-dos. A d huius rei demoMiratronem, cumsit Operi toto Ῥalde requisita, formulam quandam expeditam indicabo , cuivi erit etiam Uus frequenterio sequentibus.
Sist qMatuor quilibet numeri proportionales AEBC D,sicut quidem A ad B, ita C ad D, ua di 'Onatur,visit Asuper B, e regione