장음표시 사용
101쪽
Cum po' diluvium a sex hominibus genus humanum sit propagatum , si ponamus ducentis annis post, numerum hominum jam ad Ioooooo excrevisse , quaeritur quanta sui parte numerus hominum quotannis augeri debuerit. Ponamus hoc tem Pore numerum hominum parte sua quotannis increvisse , atque post ducentos annos prodierit necesse est numerus hominum L ltae 6 - Io ooooo unde fit -
Iooo ooo αα 6 I963 x , unde fit x - I 6 circiter. Ad tantam ergo hominum multiplicationem suffecisset, si quotannis decima sexta sui parte increvissent; quae multiplicatio ob longariam vitam non nimis magna censeri potest. Quod si autem eadem ratione per intervallum ψoo annorum numerus hominum crescere perrexisset, tum numerus hominum ad Io ooocio. 166666666666 ascendere debuisset , quibus sustentandis uni versus orbis terrarum nequaquam par filisset. Ex EMPLUΜ IV. Si singulis seculis numerus hominum duplicetur, quaeritur incrementum annuum. Si quotannis hominum numerum parte sua - crescere ponamus , & initio numerus hominum fuerit - n ,
crit is post centum annos n , qui cum esse debeat Digiti Coosid
102쪽
EXPONENTIALIBUS AC LOGARITHMIS. 81
I , circiter ; sufficit ergo si numerus hominum quotannis parte sua augeatur. Quam ob causam maxime ridiculae sunt eorum incredulorum hominum objectiones , qui negant tam brevi temporis spatio ab uno homine universam terram incolis impleri potuisse. III. Potissimum autem Logarithmorum usus requiritur ad ejusmodi aequationes resolvendas , in quibus quantitas incognita in Exponentem ingreditur. Sic, si ad hujusmodi perveniatur aequationem b, ex qua incognitie x valorem erui opo teat , hoc non nisi per Logarithmos essici poterit. Cum enim sit - b erit l- xla tb , ideoque x - - , ubi quidem perinde est , quonam systemate Logarithmico utatur , cum in omni systemate Logarithmi numerorum a & beandem inter se teneant rationem. Ex EΜPLUΜ I. Si numerus hominum quotannis centesima sui parte augeatur ; quaeritur post quot annos numerus hominum fiat decuplo major. Ponamus hoc evenire post x annos , & initio hominum numerum fuisse n , erit is ergo elapsis x annis
n , qui cum aequalis si io n , fiet io ;
Euteri Introducti in Anal. in . L
103쪽
LIB. I. numerus , quorum incrementum annuum tantum centesima tri
partem effacit, decuplo major ; hinc post annos fiet centies , O. post 693 annos millies major.
Ex EMPLUM II Quidam dchet oo ooo florenos hac conditi Cna ut quotan nis usuram s de centenis solvere teneatur ; eXsolvit autem singulis annis 2so oo florenos: quaeritur post: quot annos dchi tum penitus extinguatur. Scribamus a pro debita summa qooooo si
Cum igitur sit ex natura progressionum geometricarum, I ΦΠ -
104쪽
EXPONENTIALIBUS AC LOGARITHMIS. 83
Aisse I ergo x aliquanto minor quam 33 ; scilicet elapsis annis 33 non solum debitum eY- tinguetur , sed creditor debitori reddere tenebitur ---'
det hic numerus sooII 8, 3 ; unde creditor debitori post 33 annos restituere debet 3I8 florenos. II1. Logarithmi autem vulgares super has Io instructi, praeter hunc usum , quem Log'rithmi in genere praestant, in Arithmetica decim ali usu recepta singulari gaudent commodo, atque ob hanc caulam prae aliis systematibus insignem afferunt utilitatem. Cum enim Logarithmi omnium numerorum , praeter denarii Potei lates, in Fractionibus decimalibus exhibeantur,
numerorum inter I & Io contentorum Logarithmi intra limi tes o & I , numerorum autem inter Io & Ioo contentorum
Logarithmi inter limites 1 & Σ , & ita porro , continebuntur. constiat ergo Logarithmus qu sque ex numero integro di Fractione decimali ; & ille numerus integer vocari solet C ΠΑ-n Ac TERisTICA ; Fractio decimalis autem MANTI Ss Α..Characteristica itaque unitate deficiet a numero notarum , quihus numerus constat; ita Logarithmi numeri 78so 9 Cliaracte ristica erit ψ , quia is ex quinque notis seu figuris constat. Hinc ex Logarithmo cujusvis numeri statim intelligitur , ex quot figuris nitineriis sit compositus. Sic numerus LogarithmoV, 38o 63I respondens ex 8 figuris constabit. II 3. Si ergo duorum Logarithmorum Mantissae conveniant, Characteristicae vero tantum discrepent, tum numeri his Log,
105쪽
LIB. I. rithmis respondentes rationem habebunt, ut Potestas denarii gaunitatem , ideoqtie ratione figurarum , quibus constant, conVenient. Ita horum Logarithmorum,q,9I3o 187&6, 9 IJOI 87 nmmeri erunt 8I8ueo & 818sooo ; Logarithmo autem 3, 9I3oI87 conveniet 818s , & Logarithmo huic o , 913OI 87 convenit 8 , 18s. Sola ergo Mantissa indicabit figuras umerum componentes , quibus inventis , ex Characteristica patebit , quot figurae a sinistra ad integra referri debeant, reliquae ad dextram vero dabunt Fractiones decimales. Sic , si hic Logaritimius fuerit inventus 1, 76o3 29, Mantissa indicabit has figuras 37389 s, Characterillica χ autem numerum illi Logarithmo responὸentem determinat, ut sit 37s , 89 s; si Characteristica esset O , foret numerus 3, 7s 8943 ; sin denuo unitate minuatur ut sit - I , erit numerus respondens decies minor, nempe o, 37389 s ; &Characteristicar - Σ respondebit O , o 7389 s &c.: loco Characteristicarum autem hujusmodi negativarum - I, - 2, - 3,&c. scribi solent 9, 8, 7, &c., atque subintelligitur hos Logo fithmos denario minui debere. Haec vero in manuductionibus ad tabulas Logarithmorum fissius exponi solent.
Si haec progressio et, , 16, 236, &c., cujus quirique terminus est
quadratum pracedentis , continuetur iisque ad terminum vigesimum quintum ς quaeritur magnitudo huius termini ultimi. Termini hujus progressionis per Exponentes ita commodius exprimuntur Σ', χ', χ', Σ', &c. ubi Patet Exponentes progressionem geometricam constituere, atque termini vigesimi quinti expone
tem fore I6777χI6 , ita ut ipse terminus quaesitus sit - , hujus ergo Logarithmus erit - I67772I6. lχ. Cum ergo sit Ia - o, 3olo2999366398II9s , erit numeri quaesiti Logarithmus oso que, et 1973367, ex citius Chara teristica patet numinum quaesitum more solito expressiim constare Disitirco by Cooste
106쪽
EXPONENTIALIBUS AC LOGARITHMIS.
ex soso se figuris. Mantissa autem 2 973367s932 in ta- CAP.VLhula Logarithmorum quaesita dabit figuras initiales numeri qum sui, quae erunt 181838. Quanquam ergo iste numerus nullo modo exhiberi queat, tamen affirmari potest eum Omnino exue oso 6 figuris constare, atque figuras initiales sex esse I 8I818, quas dextrorsum adhuc soso go figurae sequantur , quarum insuper nonnullae ex majori Logarithmorum canone definiri possent, undecim scilicet figurae initiales erunt I 81818s 2986.
De quamisatum exponentialium ac Logarithmorum per Series explicatione. II . Our A est a' - I , atque crescente Exponente ipsius ἀsimul Aior Potestatis augetur , si quidem a est numerus unitate major ; sequitur si Exponens infinite parum cyphram excedat, Potestatem ipsam quoque infinite parum unitatem esse superaturam. Sit ω numerus infinite parvus seu Fractio tam exigua , ut tantum non nihilo sit aequalis , erit I -- , existente fit, quoque numero infinite Pamo. EX praecedente enim capite constat nisi ψ esset numerus infinite pamus , neque eis talem esse
posse. Erit ergo Vel ψ - ω , Vel ψ ω , vel ψ , quae
ratio utique a quantitate litterae a pendebit , quae cum adhuc sit incognita, ponatur Νι- λω , ita ut sit a - Ι - , ω;
Quo clarius appareat, quemadmodum numerus h pendeat a basi a , Ponamus esse a Io ; atque ex tabulis vulgaribus quaeramus Logarithmum numeri quam minime unitatem sup Diuitiaco by Cooste
107쪽
g6 DE QUA TTATUM EXPONENTI ALTIM
rantis , puta I --, ita ut sit λ ω --; erit
Οb ω - o, Ooooo Io oo oo . erit & k -- 2, 3o238 : unde patet k esse numerum finitum pendentem a valore basis a. Si enim alius numerus pro hasi astatuatur , tum Logarithmus ejusdem numeri I - - ω ad pri rem datam tenebit rationem, unde simul alius valor litterae Eprodiret. 11s. Cum sit a I kω , erit a et in kωy , qui cunque numerus loco i substituatur. Erit ergo a' - 1 --
Quod si ergo statuatur i denotet numerum quemcunque finitum , Ob ω numerum infinite pari iam , fiet i numerus infinite magnus, laincque ω - - , ita ut sit ω Fractio denominatorem habens infinitum , adeoque insinite parva , qualis est assumta. Substituatur ergo S loco ω , eritque at I H-
vera si pro i numerus infinite magnus substituatur. Tum vero est numerus definitus ab a pendens , uti modo vidimus. II 6. Cum autem i sit numerus infinite magnus, erit; patet enim quo maior numerus loco i substituatur, eo propius .valorem Fractionis ad unitatem esse accesturum, hinc si Disjti Ooste
108쪽
Ac LOGARITHM PER SERIES EXPLICAT 8
ί sit numerus omni assignabili major, Fractio quoque - ηγsam unitatem adaequabit. Ob similem autem rationem erit I ; ---ὶ - I ; & ita porro ; hinc sequitur fore
igitur valoribus substitutis , eritin i Φ
in &e. in infinitum. Haec autem aequatio simul rela
tionem inter numeros a Sc k ostendit, posito Enim g I ,
nt a sit - Io , necesse est ut su circiter k - 2, 3o238 , uti ante invenimuS. III. Ponamus esse 5 a , erit, sumto numero a pro hasi
- . Cognito ergo valore litterae E ex dato valore basis a , quantitas exponentialis quaecunque bJ per Seriem infinitam exprimi poterit, cujus termini secundum Potestatus ipsius y procedant. His expositis ollan damus quoque quomodo Logarithmi per Suries infinitas explicari possinio II 3. Cum sit a I in ω . existente ω Fractione infinite parva , atque ratio inter a dc definiatur per hanc aequati nem I ri a sumatur pro hasi Logarithmica, erit ω - I I in kω &ιω - l I Φ ti, 'o Disitirco by Cooste
109쪽
gg DE QUANTITATIM EXPONENTIALIUM.
Lia. I. Maui stum autem est , quo major numerus pro i sumatur , eo magis Potestatem r ει ω ' unitatem esse superaturam ; atque statuendo i numero infinito, valorem PoteIlatis 1 ε ω ad quemvis numerum unitate majorem ascendere. Quod si ergo ponatur I ε kω I ε at , erit I I - x i ω, unde, cumst iso numerus finitus, Logarittimus scilicet numeri I perspicuum est, i eme debere numerum infinite masnum, alioquin enim ιω valorem finitum habere non posset. 119. Cum autem positum sit I I - se x, er i I H
denotante k numerum huic basi convenientem, ut scilicet sit
11o. Cum igitur habeamus Seriem Logarithmo nuineri I ε a sequalem , ejus ope ex data basi a definire poterimus valorem numeri
110쪽
' AC LOGARITHM. PER SERIES EXPLICAT Sy
f- dcc. , cujus ideo Seriei infinitae valor, si ponatura Io , circi Cr C se debebit χ, 3o238 ; quanquam dissiculter intelligi potest esse et, soΣ38 - --Η- - - &c., quoniam hujus Seriei termini continuo fiunt majores , neque adeo aliquot terminis sumendis summa vero propinqua haberi potest : cui incommodo mox remedium afferetur.
numeri ex hasi a iuveniri poterit. Si ergo basis a ponatur - 1o erit k - Σ - - 2 - - - L. - - - &c. cujus Seriei termini sensibiliter decrescunt, ideoque mox valorem pro h satis propinquum exhibent. I 22. Quoniam ad systema Logarithmorum condendum basin a pro lubitu accipere licet, ea ita assumi poterit ut fiat I. Ponamus ergo esse I , eritque per Seriem supra Euteri Introduci. in Anal. in . M