Introductio in analysin infinitorum. Auctore Leonhardo Eulero... Tomus primus secundus

121쪽

IO LIB. I.

DE QUANTITATIBUS TRANSCENDENT

Φm sn s.

122쪽

IOIC A P. v III.

EX CIRCULO ORTIS.

Cum igitur sufficiat Sinus & Cosinus angulorum usque ad nosse, si aesto semper minor erit quam , hincque etiam ob Potestates fractionis , Series eXhibitae maXime conversegent, ita ut plerumque aliquot tantum termini lassiciant, praeci puc, si Sinus & Cosinus non ad tot figuras perducti desiderentur. 131. Inventis Sinibus & Cosinibus inveniri quidem possunt Tangentes & Cotangentes , per analogias consuetas , at quia in hujusmodi ingentibus numeris multiplicatio & divisio vel,

123쪽

1OL DE QUANTITATIBUS TRANSCENDENT

εm n .

Φm γ

Φm s

in m 3

quarum Serierum ratio infra fusus exponetur. 136. Ex silperioribus quidem constat , si cogniti fuerint omnium angulorum semirecto minorum Sinus & Cosinus , inde simul omnium angulorum majorum Simis & Cosinus haberi. Verum si tantum angulorum 3o' minorum habeantur Disiti sed by Corale

124쪽

EX CIRCULO ORTIS. Io 3

Sinus Si Cosinus , eae iis , per solam additionem & subtrata P in , Omnium angulorum maiorum Sinus & Cosinus inveniri possiunt. Cum enim sitsin. 3o' - - , erit, posito 3 - 3o' ex

unde Sinus Sc Cosinus angulorum a Io' ad 6o' , hincque omnes majores definiuntur. 137. In Tangentibus & Cotangenti hus simile subsidium usu venit. Cum enim sit tang. ainb ----

unde ex Tangentibus & Cotangentibus Arcuum 3o' minorum inveniuntur Gotangentes usque ad 6ov. Sit jam a - 3ο - b orit 2 a - 6o - 2b Sc col. 2a

----------- , unde etiam Tangentes

Arcuum 3o' majorum obtinentur. Secantes autem & Cosecantes EX Tangentibus per solam sub traictionem inveniuntur ; est enim cosic. I cst.' t. y ν

luculenter perspicitur, quomodo canones Sinuum construi po

tuerint.

138. Ponatur denuo in sermulis g. I 33 , Arcus r infinite parvus , & sit n numerus infinite magnus i , ut i r obtineat valorem finitum v. Erit ergo nῆ - ν ς & T,

125쪽

1o4 DE QUANTITATIBUS TRANSCENDENT.

Ex quibus intelligitur quomodo quantitates exponentiales im, ginariae ad Sinus & Cosmus Arcuum realium reducantur. Erit vero es V e es υ Φ V- I. sit. υ dc e M

139. Sit jam in iisdem formulis s. 133 , n numerus infinite parvus , seu n T, existente i numero infinite magno , erit f. n cof I & sn. n sn. S ; Arcus enim evanescentis S Sinus est ipsi aequalis , Cosmus vero I. His positis habebitur

126쪽

I , Ob Logarithmos evanescentes , ita tu hinc nil sequatur. Altera vero aequatio pro Sinu suppeditat :

admodum Logarithmi imaginarii ad Arcus circulares revo-

o. Cum sit -- tang. , Arcus per suam Tangentem ita exprimetur ut sit r- I v r

I I. Quo autem ex hujusmodi Serie longitudo Arcus Cir- Euteri Intro sua. in Anal. insin. ODisit iroo by GOoste

127쪽

ro 6 DE QUANTITATIBUS TRANSCENDENT.

LIB. I. culi expedite definiri possit , perspicuum est pro Tangente e fra Honem satis parvam sui stitui debere. Sic ope hujus SerieL facile reperietur longitudo Arcus i , culus Tangens t aequetuT- , foret enim ille Arcus p - - dic. , cujus Seriei valor per approximationem non dissiculter in Da tione decimali exhiberetur. At vero ex tali Arcu cognito nihil pro longituduae totius Circumferentiae concludere licebit cum ratio , quam Arcus , cujus Tangens est , ad totam. Peripheriam tenet , non sit assignabilis. Hanc ob rem ad Peripheriam indagandam , ejusmodi Arcus quaeri debet , qui sit simul pars aliquota Peripheriae . & cujus Tangens satis exigua commode exprimi queat. Ad hoc ergo institutum sumi solet Arcus 3o' cujus Tangens est , quia minorit m Arcuuim cum Periphuria commensurabilium Tangentes nimis fiunt irrationales. Quare , ob Arcum 3o' , erit

' ζ' - &c., cujus Seriei ope valor ipsius π ante eXhibitus

incredibili labore fuit determinatuS..1 2. Hic autem labor eo major est , quod primum singuli termini sint irrationales , tum vero quisque tam uin , circi'ter , triplo sit minor quam praecedens. Huic itaque incommodo ita occurri poturit: sumatur Arcus que ' seu cujus Valor , etsi.

CX primitur , tamen is retineatur, atque in duos Arcus a de bdispertiatur ut sit a ri- b '. Cum igitur sit tiang... a - Ι - - crit x. - tang. a. tang. b

128쪽

EX CIRCULO ORTIS.

- , erit tang. b - - , hinc uterque Arcus a Sc b per Seriem rationalem multo magis , quam superior, convergentem exprimetur, eorumqne summa dabit valorem Arcus -; hinc itaque erit

hoc ergo modo multo expeditius longitudo semicircumferentiae or inveniri potuisset , quam quidem factum est ope Seriei

ante commemoratae.

De investigatione Factorum trinomialium. x 3. QυEM AD Monu Μ Faetores simplices cujusque Ennctionis integrae inveniri oporteat , supra quidem ostendimus hoc fieri per resolutionem aequationum. Si enim proposita sit Functio quaecunque integra α H- Φ d C. , hujusque quaerantur Factores simplices formae p-manifestum est, si ρ - qt fuerit Factor Functionis H- γ in Sc., tum , posito , quo casu Factor P - ρ riit o . etiam ipsam Functionum propositam ovancsceredebore. Hinc si p - qr est Factor vel divisor Functionis α - - Φ εῖ' ε &c. , sequitur fore hanc O Σ

III.

129쪽

io 8 DE INVESTIGATIONE

vicissimi , si omnes radices hujus arquationis eruantur, singulae dabunt totidem Factores simplices Functionis integrae propositae α. Φ c - γr Φ δῖ' - , ,empe p --Patet autem simul numerum Factorum hujusmodi simplicium ex maxima Potestate ipsius t definiri.

I . Hoc autem modo plerumque dissiculter Factores imaginarii eruuntur, quamobrem hoc Capite methodum peculiarem tradam, cujus ope saepenumero Fa ctiores simplices imaginarii inveniri queant. Quoniam vero Factores simplices imaginarii ita sunt comparati , ut hinorum productum fiat reale , hos ipsos Factores imaginarios reperiemus , si Fadiores investigemus duplices , seu hujus formae ρ - - , reales quidem , sed quorum Factores simplices sint imaginarii. Quod si enim Fun tionis α. -μ ε ε δῖ' - &c., constent omnes Faetores reales duplices hujus formae trinomialis p - Η- , stimul omnes factores imaginarii habebuntur. I s. Trinomium autem p --- Faetores simplices

igitur Sinus & Cosinus Angulorum sint unitate minores , formula p - Factores simplices habebit imaginarios si fuerit --: Sinui vel Cosinui cujuspiam Anguli. Sit ergo A., seu q a. v p r. cos. φ , atque trinomium p - continebit Factores simplices imaginarios. Noautem irrationalitas molestiam sacessat, assumo hanc formam

130쪽

FACTOR UM TRINOMIALIUM. Io 9

1 6. Proposita ergo Functione integra α - - γ ' in δῖ'Φ CAp.IX:&c., ejus Factores simplices imaginarii eruentur, si determinentur litterae p & q cum Angulo φ , ut hoc trinomium In - 2 pq r. cos. φ FactGr Functionis. Tum enim simul inerunt isti Factores simplices imaginarii qῖ--ρ colfp ες--& qi- p cos. φ - v - I. Iin. φ . Quam ob rem Functio proposita evanescet, si ponatur tam m cof p ε V- 1.sin. p quam cof φ - V- 1. . φ . Hinc , facta substitutione utraque, duplex nascetur aequatio , ex quibus tam fractio quam Arcus p definiri poterunt: I 7. Hae autem Rhssi tutiones loco faciendae, etiamsi primo intuitu dis citcs videantur : tamen per ea , quae in Capite praecedente sunt tradita , satis expedite absolventur. Cum enim fuerit ostensum esse cἄφες--I.sin. φ ' cofnφ---I AEsn. n, sequentes formulae loco singularum ipsius t Potestatum n ahebuntur substituendae :pro priori Factore

pro altero Factore

Ponatur brevitatis gratia Z - r, factaque substitutione sequen