장음표시 사용
111쪽
9o DE QUANTITATUM EXPONENTIALIUM 116 inventam , a - 1 inseri in &c. ,
qui termini , si in stactiones decimales convertantur atque actu addantur , praebebunt hunc valorem pro a 718αSi 828 39o 123 336o28 , cujus ultima adhuc nota v ritati est consentanea. Quod si jam ex hac hassi Logarithmi construantur , ii vocari solent Logarithmi naturales seu hyper bolici, quoniam quadratura hyperbolae per istiusmodi Logari thmos exprimi potest. Ponamus autem brevitatis gratia pro numero hoc χ, 7I828I828 19 &c. constanter litteram e , quae ergo denotabit hasin Logarithmorum naturalium seu hyperbolicorum, cui respondet valor litterae I ; sive haec littera equoque exprimet summam hujus Seriei i- - - - &c. in infinitum.
I 13. Logarithmi ergo hyperbolici hanc habebunt proprietatem , ut numeri I - - ω Logarithmus sit - αν , denotante quantitatem infinite parvam , atque cum ex hac proprietate V, lor I innotescat, omnium numerorum I Ogarithmi hype holici exhiberi poterunt. Erit ergo , posita e pro numero supra1nvento, perpetuo e
ipsi vero Logarithmi hyperbolici ex his Seriebus invenientur, quibus est I I H-x - x - - - - &c.,&l; ----ε - - - - - ε&C., quae Series vehementer convergunt, si pro x statuatur Dactio valde parva : ita ex Scrie posteriori facili negotio inveniuntur Logarithmi numerorum unitate non multo majorum. Posito
112쪽
AC LOGARITHM. PER SERIES EXPLICAT. si
Ninc Logarithmi hyperbolici numerorum ab I usque ad Ioita se habebunt, ut sit
Hi scilicet Logarithmi omnes ex superioribus tribus Seriebus sunt deduisti, praeter I 7 , quem hoc compendio sum assecutus.
113쪽
91 DE QUANTITATUM EXPONENTIALIUM
I 2 l. Ponatur L marithmus hyperboliciis ipsius 1 in x seu
aUtem numero a pro basi Logarithmica , sit numeri ejusdem I l x Logarithmus - ν; erit, ut VidimuS, ν - - - X - ά μ' -- - &c. p hincque Z p ex quo commodis sine valor ipsuis k basi a respondens ita desinitur ut sit aequalis cu;usvis numeri Logarithmo liyperbolico diviso per Logarithimim ejusdem numeri ex basi a formatum. Posito ergo numero hoc a , crit ν I , hincque fit Logarithmoli, perbolico hasis a. In systemate ergo Logarithmorum communium , ubi est a 1o , erit Logarithmo layperbolico ipsi us Io, unde sit k 2, 3o2383o9299 Q 368ψOX799ΙΑ, quem valorem jam supra satis prope collegimus. Si ergo singuli Logarit linat hyperbolici per hunc numerum dixi tantur , Vel, quod eodem redit , multiplicentur per ira ne fractionem decimalemo, 3429 8 I9o32sI8276 sit et 89 , prodibunt Logarithmi xulgares hasi a I o convenientes. Iχs. Cum sit - Ι - , si ponatur - e', erit, sumtis Logarithmis hyperbolicis, yla r, quia est te I , quo valore loco r substituto , erit
ri '' , unde quaelibet quantitas eXPO-nentialis ope Logarithmorum hyperbolicorum per Seriem infinitam explicari potest. Tum vero , denotante i numerum infinite magnum, tam quantitates eXponentiales quam Logarithmi
per potestates exponi possunt. Erit enim i ε'. hincque a1 I -- ' , deinde pro Logarithmis hypor-
114쪽
LOGARITHM. PER SERIES EXPLICAT. 93
garithmorum hyperbolicorum usus in calculo integrali sustus cd monstrabitur.
De quantitatibus transcendentibus ex Circulo ortis.116. PosT Logarithinos & quantitates CX ponentiales con-ssiderari dei unt Arcus circulares eorum qile Sinus & Cossiniis , quia non solum aliud quantitatum transcendentium genus constati tuunt, sed etiam ex ipsiis Logarithmis & exponentialibus , quando imaginariis quantitatibus involvuntur , proveniunt , id quod infra clarius patebit. Ponamus ergo Radium Circuli seu Sinum totum esse - I, atque fatis liquet Periphuriam hujus Circuli in numeris rationalibus eXacte exprimi non posse , per approXimationes autem inventa est Semicircumserentia hujus Circuli este
ro, hrevitatis Crgo , scribam Ir , ita ut 1it Semicircumserentiae Circuli, cujus Raditis I , seu π erit longitudo Arcusa8o graduum.
I 27. Denotante r Arcum hujus Circuli quemcunque , cujus Radium perpetuo assumo I ; hujus Arcus r considerari potissimum solent Sinus & Cosinus. Sinum autem Arcust in posterum hoc modo indicabo M. A. r , seu tantum sin. s. Cosanum vero hoc modo cois A. r , seu tantum cos. Ita,
Omnes ergo Sinus & Cosinus intra limites Φ I & - 1 co
115쪽
ρι DE QUANTITATIBUS TRANSCENDENT
Praeter has denominationes notandae sunt quoque : tang. , quae denotat Tangentem Arcus i ; col. Cotangentem A cus p constatque esse taug. & cst. i quae omnia ex Trigonometria sunt nota. I 18. Hinc vero etiam constat si habeantur duo Arcus y & i ,
116쪽
Si ergo n denotet numerum integrum quemcunque, erit
Quae formulae verae sunt sive n sit numerus affirmativus sive negativus integer. sin. - - -Dr.
progressione progrediuntur ; eorum vero tam Sinus quam C sinus progressionem recurrentem constituunt , qualis eX den minatore 1 - 2nx H- mm nn xx oritur ; est enim
117쪽
ys DE QUANTITATIBUS TRANSCENDENT
Cujus legis beneficio Arcuum in progressione ariti metica progredientium tam Sinus quam Cossinus quousque libuerit expedite formari possunt.13o. Cum sit sin. y Φ sn. y. cofi Φ cofy.su. , atquesn. y - ἐγ in. F. cos cof. y. su. , erit his eXpressionibus vel addendis vel subtrahendis :
118쪽
tutis, habebuntur hae aequationes, tanquam totidem Theoremata.
Ex his porro nascuntur, ope divisionis , haec Theoremata
ri his denique deducuntur ista Theoremata
119쪽
y3 DE QUANTITATIBUS TRANSCENDENT
120쪽
E X CIRCULO ORTIS. 99I34. Sit Arcus r infinite pamis, erit sin. r & eg r
Io ergo Arcu ν , ope harum Serierum cjus Sinus & Cosinus inveniri poterunt; quarum formularum usus quo magis pateat, ponamus Arcum v esse ad quadrantem , seu ad arcum 9o' ,
ut m ad n , seu esse υ - ; Quia nunc valor ipsius πconstat, si is ubique substituatur, prodibit