Introductio in analysin infinitorum. Auctore Leonhardo Eulero... Tomus primus secundus

71쪽

so DE EXPLICATIONE FUNCTIONUM

Lin. I. sicque de ceteris. In his ergo Serichus quilibet turniinus de-- terminatiir ex aliquot antecedentibus secundum legem quandam constantem , quae leX ex denominatore fractionis hanc Seriem producentis sponte apparet. Vocari autem hae Series a Celeb. LIo IVRAEo, qui earum natΗram maxime est scrutatus , solent recurrentes, Propterea quod ad terminos antecedentes est recurrendum , si s equentes investigare velimus. 63. Ad harum porro Seriurum sormationem requiritur ut delaominatoris terminus constans ιι non sit o : cum enim inventus sit terminus Seriei primus A - - , tum is , tum

omnes sequentes fierent infiniti, si esset α - o. Hoc ergo casu CXcluso , quem deinceps cvolvam , Funetio fracta in Seriem inlinitam recurrentem transmutanda , hujusmodi habebit formam ubi primum denomia

natoris terminum pono I , huc enim semper fractio reduci potest , nisi is sit - o ; reliquos autem deirominatoris terminos omneS tanquam negativos contemplor , ut Seriei hinc formatae omnes tormini fiant affirmativi. Quod si enim Series recurrens hinc orta ponatur in Er &c. coessicientes ita determinabuntur ut fit A - a

Quilibet ergo coefficiens aequalis est aggregato ex multiplis aliquot praecedentium una cum numero quodam , quem num rator praebet. Nisi autem numerator in infinitum progredia tur , haec additio mox cessabit, atque quivis terminus secundum legem constantem ex aliquot praecedentibus determina bitur. Ne ergo lex progressionis usquam turbetur conveniet Diuitiam by Cooste

72쪽

pgR SERIES INFINITAS. si

Funistionem fractam genuinam adhibere : si enim fractio spuria C, p.IV. accipiatur , tum parS integra in ea contenta ad Seriem accedet, atque in illis terminis, quos vel auget vel minuit, legem progressionis interrumpet. Exempli gratia haec fractio 1 puria

in ios' in in &c. ubi a lege , qua quivis

coelficiens est 1umma duorum praecedentium , terminus quartus 6t' excipitur. 64. Peculiarem contemplationem Series recurrentes merentur , si denominator fractionis , unde oriuntur , fuerit potestas.

Sie . si ista fractio ' h in Seriem resolvatur , prodit

in qua coessiciens potestatis 'erit nin 1 ' b. Erit tamen haec Series recurrens , quia quilibet terminus ex duobus praecedentilius determinatur , cujus determinationis lex per pi citur ex denominatore evoluto I - χαῖ ε Si ponatur α I & I , abit Series in progrelsionem arithmeticam

73쪽

11 DE EXPLICATIONE FUNCTIONUM in qua potestas coemcientem habebit a

-- οι D ε α. c. Quod u autem Ponatur οι - I & r I , Series haec abibit in progressi , nem generalem secundi ordinis , cujus differentiae secundae sunt constantes. Designet AH-B-kC-FD4-E- - &c. hujusmodi progressionem , erit ea simul Series recurrens , cujus quilibet terminus ex tribus antecedentibus ita determinatur mi sit D 3C-3BΦA; E 3D-3CH-B; F 3E-bυε C&c. Cum igitur terminorum in progressione arithmetica proceden tium secundae disterentiae quoque sint aequales , nempe O , haec proprietas quoque ad progressiones arithmeticas extenditur.

66. Simili modo haec fractio e dabit

Seriem infinitam , in qua potestas ipsius r quaecunque e hunc habebit coefficientem I ' Rin ' ρ i) is

-i: - αι d : posito ergo α. I & r I , haec Series in se comple stetur omnes progressiones algebraicas tertii ordinis , quarum disserentiae tertiae sunt constantes: omnes ergo hujus ordinis progrestiones , cujusmodi sit Aq-Η -C-FDΦΕΦFΦ &c. erunt simul recurrentes ex denominatore I-

simul in omnes progressiones inseriorum ordinum competito 67. Hoc modo ostendetur omnes progressiones algebraicas cujuscunque ordinis , quae tandem ad disterentias constantes deducunt. esse Series recurrentes, quartim lex definiatur ex

denominatore I - ' , existente a numero majore quam is , qui ordinem progresuonis indicat. Cum igitur a ' εμε Diuitiaod by Coo le

74쪽

PER SERIES INFINITAS. Φ α ε 3b ' in &c. exhibeat progressio

nem ordinis m ; erit ob naturam Serierum recurrentium

si n sit numerus par , inseriora autem si n sit numerus impar. Haec ergo aequatio semper est vera si fuerit n numerus integer major quam m. Hinc ergo intelligitur quam late pateat doc trina de Seriebus recurrentibus. 68. Si denominator fuerit potestas non binomii sed multinomii, natura Seriei quoque alio modo explicari potest. Sit nempe haec

sita , erit Series infinita hinc nata

N ' &c., ac quilibet coeniciens N ex tot procedentibus . quot sunt litterae α, c, γ, δ, M. ita determinabitur ut sit: N

quae lex continuationis etsi non est constans , sed ab exponente potestatis r pendet , tamen eidem Seriei alia convenit lex progressionis constans , quam denomisator eVolutus Praebet ,

75쪽

' , . EXPLICATIONE FUNCTIONUM

Li n. I. naturae Serierum recurrentium consentaneam. Illa vero lex non constans tantum locum habet si numerator Dadtionis fuerit uni tas seu quantitas constans ; si enim quoque aliquot potestatesi: Ilus i contineret, tum illa lex multo magis fieret complicata ,

id quod pola tradita calculi disserentialis principia facilius

patebit. 69. Quoniam hactenus posuimus primum denominatoris terminum conflantem non elle O , ejusque loco unitatem collocavimus ; nunc videamus cujusmodi Series oriantur , si in denominatore terminus constans evanescat. Ilis casibus ergo Functio fradia hujul modi formam habebit convertatur ergo, neglecto denomi-

ε Ei' --, atque generatim erit

Io. Quoniam per substitutionem loco r alia variabilis x in Funi itionem fractam introduci, hocque pacto Functio fracta quaevis in innumerabiles formas diversas transmutari potest ; hoc modo eadem Functio fracta infinitis modis per Serius recurrentes explicari poterit. Sit scilicet proposito haec fractio y Τ - & per Serium recurrentem y I ε ὶ ἔ ε3 i',3 ῖ' 8 H- : Ponatur ἔ - - erit FDisitir Coosl

76쪽

PER SERIES INFINITAS. '

fit y -- 2 - IOx - εχπι - I78x' - 7s x' - &c. cujusmodi Series recurrentes proy innumerat,iles inveniri possunt. 7 I. Funebones irrationales ex hoc theoremate universali

termini, nisi fuerit - numerus integer affirmativus , in infinitum excurrunt. Sic erit pro m dc n numeros definitos stria hendo.

77쪽

DE EXPLICATIONE FUNCTIONUM

72. Hujusmodi ergo Serierum termini ita progrediuntur ut quilibet ex antecedente formari possit : sit enim Seriei , quae ex

P ε Q ' nascitur , terminus quilibet - M P E

dum autem est in quo is termino sequente exponentem ipsius P unitate decrescere, contra vero exponentem ipsius Q unitate crescere. Quo autem haec facilius ad quemvis casum accom

modentur , forma generalis P ε Q ' ita exponi potest

resultante per P Π multiplicata, prodibit ipsa Series ante data. Tum vero si m non solum numeros integros denotet , sed etiam fractos , pro u tuto unitas collocari poterit. Quibus is

ris , si pro , quae est Functio ipsius r , ponatur Z , habebitur

in &c. Ad sequentes progressionum leges autem observandas conveniet hanc formulae generalis in Seriem conversionem n lasse Diuitiaco by Cooste

78쪽

73. Sit igitur primum Z - α r , eritque 1 ε α

Serie ista forma generalis

α', uti Series ante inventa

declarat.

Quod si ergo termini secundum potestates ipsuis r disponantur,

79쪽

, g DE EXPLICATIONE FUNCTIONUM

Lin. I. Scribatur pro hac Scrie ista serma generalis :

atque quilibet cocfficiens ex duobus antecedentibus ita definie tur ut sit N - α M - --- c L , unde Omnes

termini ex primo, qui est I , desiniri poterunt. Erit nempe

sio , si omnes termini secunJum potestates ipsius r ordinentur , abibit in hanc Seriem :

cujus Seriei quilibet coefficiens ex tribus antecedentibus ita dete minatur ut sit N- Et sta IIa T ') ch

80쪽

PER SE'RIES INFINITAS. sq

&c., hujus Serici singuli termini ita ex praecedentibus definientur , ut sit

quilibet scilicet terminus per tot praecedentes determinatur , quot habentur litterae α, c, γ, δ, &c. in Functione ipsiuscujus potestas in Seriem convertitur. Ceterum ratio hujus legis con 'enit cum ea , quam supra g. 68. ubi similem sermam