장음표시 사용
81쪽
Lia. I. tam resolvimus ; si enim loco m scribatur - m atque littera - α , c , γ , δ, &c. negati Ve accipiantur, Series inventae prorsus congruent. Interim hoc loco non licet rationem hujus progressionis legis a priori demonstrare , id quod per principia calculi differentialis demum commode fieri poterit ; interea ergo sufficiet veritatem per applicationem ad omnis generis
De Eunctionibus duarum phtriumve variabilium. 77. OU ANQυΑΜ plures hactenus quantitates variabiles sumus contemplati, tamen eae ita erant comparatae , ut omnes
unius essent Functiones , linaque determinata rcii quae imaul determinarentur. Nunc autem ejusmodi considerabimus quantitates variabiles , quae a se invicem non pendeant , ita ut quamvis uni determinatus valor tribuatur , reliquae ramen nihilominus maneant indeterminatae ac variat iles. Ejus modi ergo quantitatus variabiles , cujusmodi sint x , y , T , ratione significationis convenient, cum Ulaelii, t omnes valores determinatos in se complectatur; at , si inter se comparentur maXime erunt diversae, cum , si cet pro una s Valor quicunque determi natus substituatur , rcli clua' tamen x & y aeque late ira tuant, atque ante. Discrimen ergo inter quantitates variat iles a se pendentes, & non pendentes in hoc versatur , ut priori casu , si una determinetur , si naul reliquae determinentur ; posteriori vero determinatio unius significationes reliquarum minime restringat . 78. Funclio ergo duarum pluriumve quantitatum variabilium
X , y , Z , est expressio quoΠwdocunque ex his quantitatibus composita. Ita erit x' - - xyr ε Functio quantitatum variabilium trium x, γ, r. Haec ergo Functio , si una determinetur Va-Disitigod by Cooste
82쪽
riabilis , pura r , hoc est ejus loco con stans numerus substitua- CAp. V. tur , manebit acilluc quantitas variabilis , scilicet Functio ipsa --rum x & y. Atque si , praeter ἔ , quoque y determinetur , tum erit adhuc Functio ipsius x. Hujusmodi ergo plurium varia-hilium Functio non ante valorem determinatum obtinebit , quam singulta quantitates varia hiles fuerint determinatae. Cum igitur una quantitas variabilis infinitis modis determinari posIit, Functio duarum variabilium , quia pro quavis determinatione unius infinitas determinationes suscipere potes , Omnino infinities infinitas determinationes admittet. Atque in Functione trium variabilium numerus dc terminationum erit adhuc infinities major ; sicque porro crescet pro pluribus variabilibus. 9. IIuiu modi Elnctiones si fritim variabilium perinde atque Functiones unius variabilis , commodissime dividuntur in ab
Quarum illae sunt, in quibus ratio compositionis in solis Algebrae operationibus eli posita ; hae Vero , in quarum forma
tionem quoque operationes transcendentes ingrediuntur. In his denuo species notari possent , prout operationes transcendentes vel omnes quantitates Vari alailes implicant, vel aliquot .
vel tantum unicam. Sic ista eXprcssio in y log. i , quia Logarithmus ipsus inest , erit quidem Fuinctio transcendens ipsarum y & r , verum ideo minus transcendens est putanda , quod si variabilis r determinetur , supersit functio algebraica ipsius I. Interim tamen non expedit hujusmodi subdivisionibu
tradiationem amplificari So. Functiones deinde abcbraicie subdividuntur in rationales O irrationales ἰ rationalis autem porro in integras ac fractas.
Ratio harum denominationum eX Capite primo jam abunde intelligitur. Functio scilicet rationalis omnino est libera ab omni irrationalitate quantitates Varia hiles, quarum Functio dicitur, assciente ; haecque erit integra si nullis fractionibus inquine
tur, contra vero fracta. Sic stinctionis integrae duarum varia-
83쪽
Lin. I. si ergo P Q denotent hujusmodi Fim mones integras, sive duarum sit e plurium variabilium , erit forma generalis Functionum si acharum. Functio denique irrationalis est vel explicita, vel implicita ; illa per signa radicalia jani penitus cst
tuta , haec aurem per aequationem irresolubilem exhibetur : sic
Verit Functio implicita irrationalis ipsarum y & r , si fuerit
81. Muliformitas Gnde in his Functionibus arque notari debet,
atque in iis , ouae ex unica variabili constant. Sic Funectiones rationales erunt uniformes, quia singulis quantitatibus variabilibus determinatis, unicum Valorum determina tum exhibent. Denotent P, R, S, &c. Functiones ratio
Dales seu uniformes variabilium x , y , s , eritque V Functio biformis cari indem variabilium , si fuerit V ' - PV- - Q - o; quicunque enim valores determinati quantitatibus ac, y , & tribuantur , Functio V non unum sed duplicem perpc tuo ha hebit valorem determinatum. Simili modo erit V Functio triformis si fuerit V' - PM ' QV-R o: atque Functio quadriformis si fuerit - P P ' Q - RVH-S-o:
hocque modo ratio Functionum multiformium ulteriorum erit
81. Quemadmodum si Functio unius variabilis r nihilo aequalis ponitur, quantitas variabilis r valorem consequitur determinatum 1 et simplicem vel multiplicem ; ita si Functio duarum variabilium y & nihilo aequalis ponitur , tum altera Varia hilis per alteram definitur, ejusque ideo Functio evadit, cum ante a se mutuo non penderent. Simili modo si Functio trium variabilium ac, y , i , nihilo aequalis statuatur, tum una V riabilis per duas reliquas definitur , earumque Functio exis tit. Idem evenit si sunctio non nihilo sed quantitati constanti vel etiam alii Functioni aequalis ponatur; ex omni enim aequatione , quotcunque variabiles involvat , seinper una variabilisper reliquas desinitur earumque fit FUnctio ; duae autem aequa-Disitirco by Cooste
84쪽
tiones diversae inter easdem variabiles Ortae binas per reliquas c1 p. U. definient , atque ita porro. 83. Fianclionum autem duarum pluriumve variabilium divisio maxime notatu digna est in homogeneas O heterogeneas. Functio homogenea est per quam ubique idem regnat variabilium numerus dimeti sonum : Functio autem heterogenea est, in qua diversi occurrunt dimcnsioni m numeri. Censetur vero una tu. aeque variabilis unam dimensionem constituere ; quadratum uniuscujiisque atque prodiictum ex dualius , duas ;productum ex tribus variabilibus , sive iisdem sive diversis , tres & ita porro ; quantitates autem conflantes ad dimensio num numerationem non admittuntur. Ita in his sormulis αy ;cm. unica dimensio inesse dicitur; in his vero Ocy'; ,
8 . Ipplicemus primum hanc distinctionem ad Fimchiones integras , atque duas tantum variabiles ineste ponamus , quoniam plurium par est ratio. Functio igitur integra erit homogenea in cujus sagulis terminis idem existit dimensionum numerus. Subdividentur ergo hujusmodi Functiones commodissime secundum numerum dimensionum , quem variabiles in ipsis ubi que constituunt. Sic erit αy cs forma generalis Functi num integrarum unius dimensionis : haec vero cxpresso αγ' - cyr Φ γ ' erit forma generalis Functionum duarum dimen sionum , tum forma generalis Functionum trium dimensionum
erit : αγ' in ἔγχ ε vi' - ; quatuor dimensionum vero
analogiam igitur erit quantitas constans sola α Functio nullius dimensioni S. 8s. Functio porro fracta erit Ecmogenea , s ejus Numeratorae Denominator fuerint Functiones homogenea.
Sic haec Fractio crit Functio homogenea ipsa-
85쪽
LI n. I. rum y & s p numerus dimensionum autem habebitur , si a se numero dimensionum Numeratoris subtrahatur numerus dimensionum Denominatoris : atque ob hulic rationem Fractio
allata erit Functio unius dimensionis. Haec vero Fractior erit Functio trium dimetasionum. Quando ergo in Numeratore ac Denominatore idem dimensionum numerus inest, tum Fractio erit Functio nullius dii ne sonis , uti evenit in hac Fractione 1, Vel etiam in hi; M
Denominatore plures sint ci: mentionus
si igitur in Denominatore plures lint climontionus quam mΝumeratore, numerus dimetasionum Tracticinis erit negativus :sic erit Functio - 1 dimensionis : erit Functio - 3 dimotisonum
erit Functio- s dimetisionum , quia γ' ε ab 'in Numeratore nulla inest dimensio. Ceterum sponte intelligitur plures Functiones homogeneas, in quilius singulis idem regnat dimentionum utinaurus, sive additas sive sutriractas praebere Functionem vioque homogeiaeam ejusdem dimensionum
& generatim Pr erit Functio - n dimensionum. Sic V Πεῖ; erit Functio unius dimensionis ; γ' ε erit Functio trium limensionum : syr in erit Functio -- dimensionum :
86쪽
a que erit Funetio nullius dimensionis. His ergo cum praecedentibus conjunctis intelligitur haec expressio
Functio homogenea - I dimensionis. 87. Utrum Functio irrationalis implicita sit homogenea necne , ex his facile colligi potest. Sit V hujusmodi Funmo implicita ac μ' in P V' Q U R o , existentibus P, QScR Functionibus ipsarum y & r. Primum igitur patet V Fun tionem homogeneam esse non posse , nisi P , Q, & R sint
Funetiones homogeneae. Praeterea vero si ponamus V esse Functionem n dimensionum , erit μ' Functio aen , &W Functio 3 n dimensionum ; cum igitur ubique idem debeat esse numerus dimensionum , oportet, ut P sit Funmo n dimensionum , Q Funmo 1n dimensionum, & R Functio 3n dimensionum. Sint ergo vicissim litterae P , Q , R Functiones homogeneae reia pective n , 2n , 3n dimensionum , hinc concludetur fore VFunctionem n dimensionum. Ita si fuerit VJ Φ y - W- - a1' V - - o erit V Fundito homogenea duarum dimensionum , ipsarum y & r. 88. Si fuerit V Functio homogenea n dimensionum ipsarum y O Z , in eaque ponatur ubique y - u Z , Functio U alibit inproductum ex potestate χ' in Functionem quandam variatilis u. Per hanc enim substitutionem F ur, in singulos terminos tantae inducentur potestates ipsius', quantae ante inerant ipsius y. Cum igitur in singulis terminis dimensiones ipsarum y & r conjunctim aequassent numerum n , nunc sola variabilist ubique habebit n dimensiones , ideoque ubique inerit ejus potestas Per hanc ergo potestatem Functio V fiet. divisibilis & quotus erit Functio variabilem tantum v involvens. Hoc primum patebit in Functionibus integAs ; si enim sit V
87쪽
num ἔ posito y --, prodibit rHoc itaque modo Funistiones homogenea
H- cu' - γυ - δ . Deinde vero idem manifestum est in fractis: sit enim V - nempe Functio - I dimensionis , facto y u r fiet ' P. I, eque etiam Functiones irrationales hinc excipiuntur , si enim sit V 1 V h. quae est Functio - - dimensiO-
variabilium reducentur ad Functiones unius variabilis ; nequae enim potestas ipsuis r , quia est Factor , Functionem illam ipsius ti inquinat. 89. Funa o ergo homogenea V di anim variabitam y O Z nutatius dimensionis , posito y u Z , transmutabitur in Anatonere unica va bilis u puram. Cum enim numerus dimensionum si nullus, Potestas ipsius. , quae Functionem ipsius ti multiplicabit, erit I ; hoc que casu variabilis prorsus ex computo egredietur. Ita sis aerit , facto y --, orietur V - atque
erit V - u - v uti - I . 9o. Eunctio integra homogenea duarum variabilium y O et , rebolvi poterit in tot Tactores simplices Drma α y Φ c a , quot habuerat dimensones. Cum enim Functio sit homogenea, posito 3 - transibit in productum ex in Functionem quandam ipsius u integram . quae Functio propterea in Factores simplices sermae citi Φ cresolvi poterir. Multiplicentur sin Nii Factores hi per eritque uniuscujusque forma incr-α y in ob us - y. Propter multiplicatorem autem , tot hujusmodi Factores nascentur quot exponem n contineat unitates , Factores autem Disitirco by Cooste
88쪽
hi fimplices erunt vel reales vel imaginarii ; hoc est , coeni- CAp. V. cientes α & c erunt vel reales veta maginarii. . 'Ex hoc itaque sequitur Functionem duarum dimensionum
aYy-habere Factores simplices formae αγ- - Functio autem ay' in by'r in cy ' in habebit tres
Factores simplices formae αγ Φ ; sicque porro Functionum homogenearum integrarum , quae plures habent dimensiones,
9 I. Quemadmodum ergo haec eXpressio αν - - continet formam generalem Functionum integrarum unius dimensionis ,
integrarum duarum dimensionum : atque in hac forma l Cr) γy ε δ y - - si continebuntur omnes Functiones integrae trium dimonsionum , sicque omnes Functiones integrae homogeneae per producta ex tot hujusmodi Factoribus αν ε ρ rex hiberi poterunt, quot Functiones illae contineant dimensio
nes. Hii autem Factores eodem modo per resolutionem aequationum reperiuntur, quo supra Factores simplices Functionum integrarum unius variabilis invenire docuimus. Ceterum haec propri2tas Functiomim homogenearum duarum variabilium non extenditur ad Functiones homogeneas trium pluriumve varia
hilium : forma enim generalis hujusmodi Functiomim duarum tantum dimcnsionum , quae est cyy in byr Φ cyx H- dxy Φexx ε f generaliter non reduci potest ad hujusmodi pro-
minus Functiones plurium dimensionum ad hujusmodi producta revocari possunt. 91. Ex his , quae de Functionibus homogeneis sunt dicta , simul intelligitur , quid sit Functio heterogenea : in cujus scilicet terminis non ubique idem dimensionum numerus deprehenditur. Polsunt autem Functiones heterogeneae subdividi pro multiplicitate dimensionum , quae in ipsis occurrunt. Sic Functio bifida erit . in qua duplex dimensionum nunterus Occurrit, eritque adeo aggregatum duarum Functiomim hoeno-l 2Disiti sed by GOrale
89쪽
LIB. I. genearum , quarum numeri dimensionum disserunt; ita γ' ε' et γ' Φ yy εχ erit Fonetio bifida , quia partim quinque , partim duas continet dimensiones. Fundito autem trifida est, in qua tres diversi dimensionum numeri insunt , seu quae iatres Funetiones homogeneas distribui potest , uti γ' in γ' ' Α- Praeterea autem dantur Functiones heterogenere fractae vel irrationales tantopere permixtae, quae in Functiones homo geneas resolvi non possunt , cujusmodi sunt . ε V s οφ
93. Interdum Functio heterogenea ope subsEtutionis id neae , vel loco unius vel utriusque variabilis factae, ad homo geneam reduci potest ; quod quibus casibus fieri queat, non tam sacile indicare licet. Suffciet ergo exempla quaedam attulisse , quibus ejusmodi reductio locum habet. Si scilicet haee propo
nem apparebit, eam ad homogenei atem perduci, posito ν xae: prodibit enim γ' in x y Φ γ' - - Funetio homogeneas dimensiouum ipsarum x & y- Deinde haec Functio 3 Φy' x H- γ' - Φ y' x ' in ad homogeneitatem reducitur ponendo x - , prodit enim Functio unius dimensionis y εα -L Multo dissiciliores autem sunt casus ia
quibus non per tam simplicem subsEtutionem ad homogenei talem perienire licet. 9 . Tandem inprimis notari meretur Functionum sntegrarum feeundum ordines divisio satis usitata , secundum quam ordo definitur ex maximo dimensionum numero qui in Functiondi inest. Sic o yy N π - est Functio secundi ordianis , quia duae dimensiones occurrunt. Et γ' - Π' - ay' Dissiliet Orale
90쪽
abyr - aan Φ y pertinet ad Functiones quarti ord is. Ad CAp. V hanc divisionem potissimum in do strina de lineis cursis respici solet ; unde adhuc una Funmonum integrarum divisio com
ys. Superest scilicet divisio Funissionum integrarum in complexas atque incomplexas. Functio autem complexa est, quae in Factores rationales resolvi potest , seu quae est productum ex duabus Pluribusve fimctionibus rationalibus ; cujusmodi est γ' - ν' - χaf - - 2ab y - bbra , quae est
productum ex ta duabus Functionibus n in ra-Φ by
tyy - rs ε - θ . Ita vidimus omnem Functionem integram homogeneam, quae tantum duas variabiles complecta tur, esse Functionem complexam , quoniam tot Factores simplices formae αy' habet, quot continet dimensiones. Functio igitur integra erit lacomplexa, si in Factores rationales resolvi omnino nequeat; uti yy --- ω . cujus nullos dari Factores rationales faciis intelligitur. Ex inquisitione Divi sorum patebit , utrum Functio Proposita sit complexa an Ἀ- compleXais
De Quantitatibus exponentialibus ac Logarithmis. 96 Q υ seu, Μ notio Functionum transcendentium in calculo integrali demum perpendetur: tamen antequam eo per veniamus , quasdam species magis obvias , atque ad plures investigationes aditum aperientes , evolvere conveniet. Primum ergo considerandae sunt quantitates exponentiales, seu potestates , quarum Exponens ipse est quantitas variabilis. Perspia cuum enim est hujusmodi quantitates ad Functiones algebraicas referri non posse , cum in his Exponentes non nisi constantes locum habeant. Multiplices autem sunt quantitates expone Diqiti Orale