장음표시 사용
91쪽
LIB. I. tiales , prout vel solus Exponens est quantitas variabilis, vel praeterea etiam ipsa quantitas elevata ; prioris generis est a' , hujus vero'; quin etiam ipse Exponens potest esse quan-
estas exponentialis uti in his formis P . γ' i P .
Hujusmodi autem quantitatum non plura constituemus genera, cum earum natura satis esare intelligi queat, si primam tantum speciem a' evolverimus. 9 . Sit igitur proposita hujusmodi quantitas exponentialisnet , quae est Potestas quantitat s constantis a , Exponentem habens variabilem Cum igitur ille EX ponens omnes numeros determinatos in se complectatur, primum patet si locor omnes numeri integri affirmati i successive substituantur, loco a' hos prodituros esse valores determinatos a' ; a ; a' ; a' ;a'; a ; &c. Sin autem pro r ponantur successive numeri negativi - I , - Σ , - 3 , &C. Prodibunt Γῆ ς - , ac , si fuerit o , habebitur semper a I. Quod si loco
orientur illi valores va ; a; Vaa; va ; ρa' ; &c. , qui in se spectati geminos pluresve induunt valores cum radicum cxtractio semper valores multiformes producat. Interim tamen hoc loco valores tantum primarii , reales scilicet atque affir. mativi admitti solent; quia quantitas a' tanquam Functio uniformis ipsius spectatur. Sic medium quemdam tenehit Iocum inter a' & a' , eritque ideo quantitas ejusdam generis ;
& quam . is valor a' sit aeque - - aa v a , ac in ara V a , tam En posterior tantum in censum venit. Eodem modo resse habet, si Exponens valores irrationales accipiat, quibus casibus cum difficile sit numerum valorum involutorupa conchDisitirco by Cooste
92쪽
EXPONENTIALIBUS AC LOGARITHMIS. 11
pere, unicus tantum realis consideratur. Sic erit valo, capdeterminatus intra limites a & a' comprehensus. 98. Maxime autem valores quantitatis CXponentialis a maganitudine numeri constantis a pendebunt. Si enim fuerit a - 1 semper erit cly I, quicunqtie Valores Exponenti tribuantur ;sin autem fuerit , I , tum Valor ipsius eo erit major, quo major numerus loco i substituatur , atque adeo , possito
m , in infinitum excroscit; si suerit o, fiet , & , si sit o valores fient unitate minores , quoad positor - - eo fiat o. Contrarium evenit si sit a Q I , verum tamen quantitas assirmativa ἔ tum enim valores ipsius
decrescent, crescente i supra O ; crescent Vero, si pro r numeri negativi substituantur. Cum enim sit a V I , erit I posito ergo b ; erit ', unde posterior casus ex
priori dijudicari poterit. 99. Si sit a - o , ingens saltus in valoribus ipsius deprehenditur , quamdiu enim fuerit i numerus amrmativus seu major nihilo , erit perpetuo O : si sit o erit a' ita I ; sin autem fuerit g numerus negati Vus , tum obtinebit vat rem infinite magnum. Sit enim - 3 ; erit - Ο bis, ideoque infinitum. Multo majores autem saltus occurrent, si quantitas constans a habeat Valorem negativum , puta - 2 ; tum enim ponendis loco numeris integris valores ipsus alternatim erunt assrmativi & negativi, ut ex hac
93쪽
Praeterea vero si Exponenti valores tribuantur fracti, Pote tas - χ mox reales mox imaginarios induet valores : erit enim a V - 2 imaginarium ; at erit - - Σ - - v a. reale : utrum autem , si Exponenti r tribuantur valores irrationales , Potestas exhibeat quantitates reales an imaginarias , ne qu dem deaairi licet. Ioo. His igitur incommodis numerorum negativorum loco a substituendorum commemoratis , statuamus a esse numerum amrmativum , & unitate quidem majorem , quia huc quoque illi cinis , quibus a est numerus affirmati, us unitate minor , facile reducuntur. Si ergo ponatur ay - y , loco i substituendo Omnes numeros rςales , qui intra limites ε in & - ω continentur , y adipiscetur omites valores assirmativos intra limites in m & o contentos. Si enim sit 7 erit y - ; si s o erit y I , & si s - - net y o. Uicissim ergo quicunque valor assirmativus pro y accipiatur, dabitur quoque valor realis respondens pro r ita ut sit P - y ; sin autem ipsi y tribueretur valor negati, us, Exponens s Valorem realem habere non poterit.
Io I. Si igitur fuerit y - y Funimo quaedam ipsus , quemadmodum y a r pendeat, ex natura Potestatum facile intelligitur ; hinc enim quicunque valor ipsi r tribuatur , valor ipsius y determinatur. Erit autem yy - ; y' - :& generaliter erit γ' - ; unde sequitur fore V y - ι
94쪽
EXPONENT TALIBUS AC LOGAIUTILVIS.
Si fuerit a Io , ex Arithmetica , qua ut mur, denaria in promtu erit valores ipsius y eta hibere , si quid in pro numeri integri ponantur. Erit unim Io' - Io ; IO' Ioo ; Io Io oo; Io Io Coo ; & Io' I ; item Io o , I ;Io φ - - - o, CI; IO i o , oo I : sin autem pro r Fractiones ponantur, Ope radicum extractionis valores
ipsius y indicari pos uni: sic erit Io' - UIO - 3 , I 62277 ,
ΙΟΣ. Quemadmodum autem , dato numero a , ex quo iis valore ipsius r reperiri potest valor ipsius y , ita vicissim , dato valore quocunque affirmativo ipsius y , conveniens dabitur valor ipsius r , ut sit - y ; iste autem valor ipsius y , quatenus tanquam Funelio ipsius y spectatur , vocari solet LOGARITU. Mus ipsius y. Supponit ergo do strina Logarithmorum numerum certum constantem loco a substituendum , qui propterea vocatur basis Logarithinorum ; qua assiimia erit Logarithmus cujus que numeri y Exponens Potestatis , ita ut ipsa Potestas aequalis sit numero illi y ; indicari autem Logarithmus numeri y solet hoc modo ly. Quod si ergo fuerit a -y, erit ly : ex quo intelligitur, basin Logarithmorum, etiamsi ab arbitrio nostro pendeat , tamen esse debere numerum unitate majorem .liincque nonnisi numerorum affirmativorum Logarithmos reali, ter exhiberi posse, Io3. Quicunque ergo numerus pro basi Logarithmica a accipiatur , erit semper i I o ; si enim in aequatione-- y, qua convenit cum hac ly, Ponatur y I , erit r o. Deinde numerorum unitate majorum Logarithmi erunt a rmativi, pem dentes a valore basis a , sic erit la I ; laa - α; la' - 3 ;Luteri Introduci. in Anal. in in. KDigiti ou by Cooste
95쪽
L in. I. Ia I &c., unde a posteriori intelligi potest , quantus nu- merus pro basi sit assumtus , scilicet ille numerus , cujus I ogarithmus est I , erit basiis Logarithmica. Numerorum autem
unitate minorum , assirmativorum tamen , Logarithmi erunt negativi; erit enim I - I ,l- - - Σ; . - - 3 ,&c. ; numerorum autem negativorum Logariti. mi non crunt
reales, sed imaginarii, uti jam notavimuM. Io . Simili modo si fuerit ly r ; erit Ira ς γ' - 3 r; & generaliter ly' - nr , seu IU nly , ob r - ly. Logarithmus igitur cuiusque Potestatis ipsius yaequatur Logarithmo ipsius y per Exponentem Potestatis mul
- - Th& porro : unde ex dato Logarithmo cuiuiaque numeri inveniri possunt Logarithmi quarumcunque ipsi Potestatum. Sin autem jam inventi sint duo Logarithmi, nempe
merorum aequatur summae Logarithmorum Factorum; simili vero modo erit I r - x ly - lv ; hincque Logarithmus Fractionis aequatur Loga illimo Numeratoris dempto Logarithmo Denominatoris: quae regulae inserviunt Logarit mis plurium numerorum inveniendis , ex cognitis iam aliquot Logarithmis. Ios. Ex his autem patet aliorum numerorum non dari Logarithmos rationales , nisi Potestatum baseos a ; nisi enim ni merus alius b fuerit Potestas hasis a , ejus Logarithmus numerorationali exprimi non poterit. Neque vero Etiam Logarithmus
ipsius b erit numerus irrationalis ; si enim foret I b - vj, tum esset b; id quod fieri nequit, si quidem numeti a dc b
96쪽
rationales statuantur ; solent autem imprimis numerorum ratio- CAP.VI. - nalium & integrorum Logarithini desiderari, quia ex liis Logarithmi Fractionum ae numerorum surdorum inveniri possunt. Cum igitur Logarithmi numerorum , qui non sunt Potellates hasis a , neque rationaliter neque irrationaliter exhiberi queant, merito ad quantitates transcendentes reseruntur , hincque Logarithmi quantitatibus transcendentibus annumerari solent. Io6. Hanc ob rem Logasethmi numerorum vero tantum Proxime per Fractiones decimales exprimi solent, qui eo minus liveritate discrepabunt , quod ad plures figuras suerint exacti. Atque hoc modo per solam radicis quadratae extractionem cujusque numeri Logarithmus vero proxime determinari poterit.
si numerus propositus b contineatur intra limites a ' dc a' , qu rum Logarithmi sunt et & 3 , quaeratur valor ipsius seua a , atque b vel intra limites a & vel Sc a continebitur , utrumvis accidat, sumendo medio proportionali, denuo limites propiores prodibunt , hocque modo ad limites per enire licebit, quorum intervallum data quantitate minus evadat, & quibuscum numerus propositus b sine errore confundi possit. Quoniam vero horum singulorum limitum Logarithmi dantur, tandem Logarithmus numeri b reperietur.
Ponatur basis Loga ithmica a Io , quod in tabulis usu receptis fieri solet; & quaeratur vero tantum proxime Logarithmus numeri s ; quia hic continetur intra limites I & Ioquorum Logariti mi sunt o & I ; sequenti modo radicum extractio continua instituatur, quoad ad limites a numero proinposito s non amplius discrepantes perVeniatur.
97쪽
Sic cry o mediis proportionali hus sumenclis tandem pereenturaeli ad Z s , o ooooo , ex quo Logarithmus numeri s qua suus est o, 69897o, possim hasi Logarithmica Io. Quare erit proxime s. Hoc autem modo computatus est canon Logarithmorum vulgaris h BRIGGIo & LACQUIO . quamquam postia eximia inventa sunt compendia , quorum ope multo expeditius Logarithmi supputari possunt. Io7. Dantur ergo tot diversa Logarithmorum systemata quot varii numeri pro hasi a accipi possunt, atque ideo numerus se Dissili Orale
98쪽
tematum Logati thmicorum erit infinitus. Perpetuo autem in C Ap. VI. duobus systematis Logarithmi ejusdem numeri eandem inter se servant rationem. Sit hasis unius systematis a , alterius - b , atque numeri a Logarithmus in priori systemate p , in polleriori q ; erit n Sc b' - n ; unde a - by ; ideoque a - b p. Oportet ergo ut Fractio odia iatantem obtineat valorem , quicunque numerus pro ii fuerit assumtus. Quod si ergo pro uno systemate Logarithmi omnium numerorum suerint computati , hinc facili negotio per regulam auream Logarithmi pro quovis alio syslamate reperiri possunt. Sic , cum dentur Logariti mi pro basi Io , hinc Logarithmi pro quavis alia hasi , puta 2 , inveniri possunt; quaeratur enim Logarithmus numeri n pro basi et, qui sit - q, cum ejusdem numeri nI Ogarithmus sit - p pro basi Io. Quoniam pro hasi 1 cicli l Σ - Ο , 3o Io 3oo , & pro hasi 2 , est lχ I , erit O , 3OIo5oo I p : q ideoque q 3 ,32 I9277. p ; si ergo omnes Logarithmi communes multiplicentur Per numerum 3 , 32 I9277 , prodibit tabula Logarithmorum pro basi 2. Io 8. Hinc sequitur duorum numeroram Logarithuros in quo, cunque D lemate eandem tenere rationcm.
Sint enim duo numeri Iu Sc N, quorum pro basi a Loga fithmi sint m dc n , erit M - a ' & N - a' : hinc fiet
a y - M' - N ' , ideoque II N' ; in qua aequationucum hasis a non amplius insit , perspicuum eis Fractionem habere valorem a basi a non pcndentem. Sint enim pro alia basi b numerorum eorundem M & N Logarithmi ita & ν, ,
99쪽
Lin. Ι. in omni Logarithmoruin systemate Logarithmos diversarum ejusdem numeri Potestatum ut ' & γ' tenere rationem Expo
Ioy. Ad canonem ergo Logarithmorum pro basi quacunque a condendum lassicit numerorum tantum primorum Logarithmos methodo ante tradita , vel alia commodiori, supputasse. Cum cnim Logarithmi numerorum compositorum sint aequales summis Logarithinorum singulorum Factorum , Logarithmi numerorum compositorum per i olam additionem reperientur. Sic,
si habeantur togarithmi numerorum 3 & s , erit lis l 3 I s ; l ψs - α ι 3 - - I s. Atque , cum supra pro hasi a Io,
inventus sit i s o, 69897oo , praeterea autem sit i Io I , erit i I a. IIo - i s , ideoque orietur lΣ - Ι - o , 69897oo o , 3 o Io 3OO ; ex his autem numerorum primorum Σ & s Logarithmis inventis reperientur Logarithmi omnium numerorum Ex his a & s compositorum ; cujusmodi sunt isti ψ, 8 , 16, 32, 6ψ, &c ἱ χο , εο,8 O , 23 , so, &c. IIo. Tabularum autem Logarithmicarum amplissimus est usus in contrahendis calculis numericis , propterea quod ex ejusmodi tabulis non solum dati cujusque numeri Logarithmus , sed etiam cujusque Logarithmi propositi numerus conveniens reperiri potest. Sic , si c , d, e, f, g, Λ , denotent numeros quo cunque , citra multiplicationem reperiri poterit valor istius e pressionis hujus expressionis Logarithmus
garithmo si quaeratur numerus respondens, habebitur valor quaestus. Inprimis autem inserviunt tabulae Logarithmicae digni talibus atque radicibus intricatissimis inveniendis, quarum opexationum loco in Logarithmis tantum multiplicatio aut divisio dhibetur. Disitirco by Cooste
100쪽
EXPONENTIALIBUS AC LOGARITHMIS.
Quaeratur valor hujus Potestatis : quoniam ejus Logarithmus est t et , multiplicetur Logarithmus hinarii ex tabulis qui est O, 3o Io3oo per hoc est per in erit.
I 2 δ o , I716oo8, cui Logarithmo respondet numerus
I , 6983.7 , qui ergo proxime exhibet valorem Ex EMPLUM II. Si numerus incolarum cujuspiam provinciae quotannis sui parte trigesima augeatur, initio autem in provincia habitaverint Iciocioci hominum, quaeritur post IOo annos incolarum numerus. Sithrevitatis gratia initio incolarum numerus - n, ita ut sit u IOoOCO , anno elapso uno erit incolarum numerus post duos annos tres annos
unde Ioo I , 62 o 39 , ad quem si addatur laooooo- s, erit Logarithmus numeri incolarum quaesiti 6, 2 Q 39, cui respondet numerus - 26 3687 . Post centum ergo annos numerus incolarum fit plus quam vicies sexies cum semisso major. Disit iroo by GOoste