장음표시 사용
201쪽
litteras conflantes A , A , B, B determinari oportet. χo7. His positis , debebit ista expressio
esse Functio integra , & hanc ob rem numerator divisibilis erit per denominatorem. Primum ergo haec expressio II AZ - ΑZr divisibilis esse debet per D - fp seqqj; qui cum sit casus praecedens , eodem quoque modo litterae A & A determinabuntur.
Hisque faelis secundum regulam supra datam , erit
χo8. Inventis ergo hoc modo A & A , fier. ' Functio integra , quae sit - P ; atque
superesst ut P - B Z - B Z divisibile evadat per ν a. pq r. f. p qqh, quae expressio cum similis sit praece denti , si
202쪽
2o9. Hinc iam generaliter concludere licet quomodo resolutio institui debeat, si denominator Functionis propositae Factorem habeat - 2pq .cofp --: sit enim N n - a pq r. cos. p Φ qq Z , resolvendast Functio fracta M
203쪽
Q, atque posito cos. np , sit Q Q,
204쪽
Hocqiue modo progrediendum est donec ultimae framonis , Ccujus denominator est ρο - cof p Φ qqi , nume
Sit ista proposita Functio fracta
205쪽
Quamobrem fractiones quaesitae sunt hae
2Io. Hac orgo methodo simul innotescit fractio complementi , quae cum inventis conjuncta producat fractionem pr positam ipsam. Scilicet si fractionis
inventae fuerint omnes fractiones partiales ex Factore In 3pq r. cos. φ - - qqῖi oriundae , pro quibus formati sunt valores Funetionum P, Q, R, S, T, si harum litterarum
Series ulterius continuetur , erit ea , quae ultimam , qua OpuSest ad numeratores inveniendos, sequitur, numerator reliquae
Damonis denominatorem Z habentis ; nempe , si I , erit reliqua fractio si et , erit reliqua fractio ; si h -3, erit ea & ita porro. Iuventa autem hac reliqua fractione denominatorem Z habente , ea per has regulas ulterius resolvi poterit.
206쪽
DE SERIEBUS RECURRENTIBUS. 1 s
De Seriebus recurrentibuS. hoc Serierum genus , quas M O I V R AE U S recum. rentes vocare solet, hic refero omnes Series quae ex evolutione Functionis cujusque fra star per divisionem actualem instituta nascuntur. Supra enim jam ostendimus has Series ita esse comparatas , ut quivis terminus CX aliquot praecedentibus secun dum legem quandam constantem determinetur , quae lex a denominatore Functionis fractae pendet. Cum autem nunc Functionem quamcunque fractam in alias simpliciores resolvere docuerim , hinc Series quoque recurrens in alias simpliciores resolvetur. In hoc igitur Capite propositum est Serierum recurrentium cujuLvis gradus resolutionem in simpliciores eXponere. χΙχ. Sit proposita ista Funistio fracita genuinais hi Φ-- ilr' - &c.
quae per divisionem evolvatur in hanc Seriem recurrentem
cujus Coeiaicientes quemadmodum progrediantur , supra est ostensum. Quod si jam Funetio illa fiaeta resolvatur in fractiones suas simplices, & unaquaeque in Seriem recurrentem evolvatur , manifestum est summam omnium harum Serierum ex fractionibus partialibus ortarum aequalem esse debere Seriei
207쪽
Series partiales , quarum indoles ob simplicitatem facile perspicitur ; omnes autem Series partiales junctim sumtae producent Setriem recurreutem Propositam ἔ unde & hujus natura penitius cognoscetur. 1 13. Sint Series recurrentes ex singulis fractionibus partialibus ortae hae.
Ilinc , si singularum Serierum ex fractionibus partialibus ori rum definiri queant coen cientes Potestatis , horum summa dabit coessicientem Potestatis in Serie recurrente A ΦΒ ΗΦ
208쪽
C C ; D ; &c. . Hoc autern dubium ficile tolletur , C A p. si perpendamus hanc aequalitatem subsistere debere quemcun- ique valorem obtineat variahitis Sit igitur r o , atque manifes ini est sore A A. His ergo terminis aequalibus utrinque sit hiatis , ac reliqua aequatione per i divisa , habebitur
unde sequitur sore B - B : simili autem modo osteiidetur bine C - C ; D - D , & ita porro in infinitum. 2Is. Contemplemur ergo Series, quae ex fractionibus par tialibus , in quas fractio quaepiam proposita resolvitur , oriuntur. Ac primo quidem patet fractionem --- dare Seriem A H- Αps Φ Ap'i -- Ap'r' Η- &c. , cujus terminus generalis est Αρ' ' ; haec enim expresso vocari solet te
minus generalis , quoniam ex ea , loco Π numeros omnes successive substituendo, omnes Seriei termini nascuntur. Deinde ex fractione i ii Series Α-ΡΣApr ε 3 Ap'r'H-qAp' ' - - &c. , cujus terminus generalis hin nΗ- 1 Ap'i'. Tum ex fractione hi se oritur Series A H- 3 Ap r - -6Ap'r' - - IOAp'r' ε &c. , cujus terminus generalis Al
t ' A pq '. Generatim autem fractio
ipsa autem Seriei progressione colligitur hic idem terminus
3 Euteri Introduci. in Anal. insen.
209쪽
L in. I. expressio illi esst aequalis , id quod eliminatis denominatori hus patebit, fiet enim , 1.2.3 n n F 0--I .. E-a hΦn-i quae est aequatio identica.2i6. Quoties ergo in resolutione Fiinctioniam fractarum ad hujtismodi si actiones partialc s
Seriei recurrentis ex illa Funinione fracta ortae A ΦΓs in C ' H-D ' - &c., terna laus generalis alliginari poterit , quippe quierit summa terminorum generalium Serierum, quae ex traci C-nibus partiali, us nascuntur. EXEMPLUM I. Invenire terminum generalem Seriei recurrentis , quie ex hac
- - &c. . Ad cocssicientem potes latis generalis γ' inveniendum , fractio 'G resoliatur in, in prir , , unde oritur terminus generalis qutasitus - - I - - . Σ r r , ubi signtim in valet si n sit numerus par, signum - si ii sit impar.
210쪽
qua Oritur ex evolutione 1 actionis i APer resolutionem oriuntur hae duae fractiones :