Introductio in analysin infinitorum. Auctore Leonhardo Eulero... Tomus primus secundus

221쪽

ryo DE SERIEBUS

LIB. I. &c., qui multiplicatores α, ε c, εγ a Morvnno scalam relationis constituere dicuntur. Lex ergo progressionis posita est in scala relationis , atque scala relationis thatim praebet den minatorem fractionis , ex cujus resolutione proposita Series

recurrens Oritur.

11s. Ad terminum ergo generalem , seu coessicientem P testatis indefinitar ' , inveniendum , quaeri debent denominatoris I - - γ Factores vel simplices vel duplices , si imaginarios vitare velimus. Sint primo Factores smplices omnes inter se inaequales & reales hi I--qῖ i-rr ς atque fractio generans Seriem propositam resol-

generalis erit A11' ε in C '. Si duo Factores

fuerint aequales nempe ρ ρ , tum terminus generalis hujus

modi erit An in B si' - C r' , si insuper fuerit

tum terminus generalis erit AP - - --- -q .

Cum igitur , positis pro n successive numeris O, I, 2, prodire debeant termini A, C s', hinc valores litterarum A, B, C

determinabuntur.

116. Sit scala relationis bimembris , seu determinetur quisque terminus per duos praecedentes , ita ut sit C - α B - CA; D - α C - CB ; E AD - CC, dcc., atque manisellum eis Seriem hanc recurrentem , quae st

222쪽

RE CUR REI TIB S. I9 I

χυ7. Hinc deduci potest modus quemvis terminum ex unico praecedente formandi , cum ad hoc per legem progressionis duo requirantur. Cum enim sit

erit

multiplicentur hae expressiones in se invicem ; eritque

EA A e A - insignis Proprietas Senerum recurrentium , quarum quisque terminus per duos praecedentes det minatur. At cognito quovis termino P , erit

223쪽

r 91 DE SERIEBUS

LIB. I. feri , tamen semper est rationalis , propterea quod termini irrationales ha Serie non occurrunt. 228. Ex datis porro duobus terminis contiguis quibusvis commode assignari potest terminus multo magis remotus Ponatur enim

unde

Simili

224쪽

RECURRENTIBUS. 193

Σ19. Simili modo , si statuantur termini sequentes

erit

Sit proposita ista Series recurrens

cujus cum quilibet coeffciens sit summa duorum praecedentium , erit denominator Dactionis hanc Seriem producentis 1 - ἔ ἰ ideoque οι I ; c - - I ; A I ;

orietur primum Q - - η - - -

γε V ' O , signum superius valet , si n sit numerus par, inserius si impar. Sic, si ri - , ob P- II , erit Euleri Introduct. in Anal. ivin. B h

C A P. XIII.

225쪽

I8. Si ciens termini sit X, erit x ergo Potestatis coefficiens erit -- --

23o. Simili modo in Seriehus recurrentibus, quarum quilibet terminus ex tribus antecedentibus determinatur, qui x is terminus ex duobus antecedentibus definiri potest. Sit enim Series hujusmodi recurrens

cujus scala relationis sit α, - c, ε γ , seu quae oriatur exfra mone cujus denominator I-α sinci' - γ '. Quod

226쪽

Pendet ergo inventio termini R ex duobus praecedentibus P& Q a resolutione aequationis cubicae. 23 I. His de terminis generalibus Seriertim recurrentium notatis , superest ut earumdam Serierum summas investigemus. Ac primo quidem manifestum est summam Seriei recurrentis in infinitum extensae aequalem esse fractioni ex qua oritur :cujus frae ionis cum denominator ex ipsa progressionis lege pateat , reliquum est ut numeratorem definiamus. Sit itaque proposita haec Seritis

cujus lex progressionis praebeat hunc denominatorem I - αῖ Φε δ . Sumamus fraetionem summae Seriei in intani tum aequalem esse --, EX qu. R

228쪽

RECURRENTIBUS. I97. 233. Quod si ergo scala relationis fuerit bimembris α, - C; Seriei A - - - ,

summa potest exhibeti.

229쪽

LIB. I.

CAPUT XIV.

De mutijEeatiture ac divisione An ulorum. 23 . . FIT Angulus , vel Arcus , in Circulo cujus Radius - I , quicunque i , ejus Sinus - x , Cotinus y& Tangens t ; erit xx Φ yy I & t - - . Cum igitur , uti supra vidimus . tiam Sinus quam Cossinus Angulorum 3i ; ψῆ ς 3 ῖ ς', constituant Seriem recti rentem cujus scala relationis ech 2y, - I ; primum Sinus horum Arcuum ita se habebunt :

230쪽

t AC DIVISIONE ANGULORUM. 199

hi enim Sinus omnes sunt inter se aequales. Hinc obtinemus plures valores pro x , qui erunt

qui ergo omnes aequationi inventae aeque conveniunt. Tot autem prodibunt diversi pro x Valores , quot numeruS ncontinet unitates , qui propterea erunt radices aequationis inventae. Cavendum ergo est , ne valores aequales pro iisdem habeantur , quod fiet dum alternae tantum CXpressiones assumantur. Cognitis igitur radicibus aequationis a posteriori , earum comparatio cum terminis aequationis notatu dignas praebebit proprietates. Quoniam autem ad hoc aequatio , in qua tantum x tanquam incognita insit , requiritur , pro y latis valor V 1 - sui stitui debet ; undu duplex operatio instituenda erit , prout n fuerit Vel numerus Par vel impar.

C A P. XIV.

136. Sit n numerus impar , quia Arcuum - - , ε 3 ,-μ si, &c., disserentia est , hujusque Cosanus I - χxx, erit progressionis Sinuum scala relationis haec Σ - 60,- I. Hinc erit sti. - --x

l. λ. 3. S. 6. P