Introductio in analysin infinitorum. Auctore Leonhardo Eulero... Tomus primus secundus

211쪽

εhinc

terminus Teneralis erit -

--- I ; ex quo omnium Serierum recur rentium , quarum quilque terminus per duas praecedentes determinatur, termini generales expedite definiri poterunt. Ex EΜPLUM U. Invenire terminum generalem hujus Seriei I - 2 ε χχ'Φ1χ'

Quanquam lux progressionis primo intuitu ita est manifesta ut explicatione: non indigeat, tamen fractiones per resolutio

num generalem -- nΦI ' - - - Ι - , ubi signum superius valet sil n fuerit numerus par , inserius si n fuerit impar 2I7. Hoc pacto omnium Serierum recurrentium termini generales exhiberi possunt, quoniam omnes fractiones in huiusmodi fractiones partiales simplices resolvere licet. Quod si autem expressiones imaginarias vitare velimus , saepenumero ad hujusmodi fractiones partiales Pervenietur Diuiti sed by GOoste

212쪽

RE CURRENTIBUS. 381

Vero ex hac

213쪽

1 Ad terminum generalem inveniendum, si denonaurator fractionis suerit Potestas , ut I - f. , comeniet hanc fractionum resolvi in duas etsi imaginarias

b - ' , eritque haec expressiosi, i su ' Vn o . - ' kT Is cosn p Φ g. DG o pterminus generalis Seriei , quae oritur ex his fractionibus

214쪽

RECURRENTIBUS.

ponatur a

22 i. Sit 3 , eritque Seriei ex hac fractione oriae

215쪽

I 8 DE SERIE BUS

- , seu ex hac Deinde Seriei ex fractione .-

216쪽

RECURRENTIBUS.

Ex his autem expressionibus facile intelligitur, quemadmodum formae terminorum generalium pro altioribus dignitatibus progrediantur. Ad naturam Vero harum eXpressionum pentiatius inspiciendam notari convenit esse Euteri Introducr. in Anal insin.

C A P.

217쪽

18s DE SERIE BIS

223. Cum igitur hoc paelo omnes funditones fraehae in Dac tiones partiales reales re hi queant, simul omnium Serierum recurrentiam termini generales per eXpressiones reales exhiberi poterunt. Quod quo clarius appareat , exempla sequentia adjuncta sunt. EXEΜPLUM LEY fractionet 1 - a - Η ) ι - , oritur ista Series recurrens 1 - ῆ - U

cujus terminus generalis desideratur. Fraetio proposita secu dum Faccores ordinata sit -

quae resolvitur in has fractiones

218쪽

REc RRENTIBUS. I 8

Ouinta vero - αδ-t comparata cum forma

Α - - - & B - - v, unde oritur terminus generalis

gantur hae expressiones Omnes in unam summam , ac prodibit

Seriei propositae terminus generalis quaesitus l

silperiora valent si n numerus par , inseriora si n impar. Ubi notandum est si fuerit n numerus formae 3 m sere n π su- , Πε I seu n - 3m a. , erit ista expressio prout n fuerit numerus vel par vel impar. Ex his natura Seriei ita explicari potest , ut Φ - et si fuerit n

219쪽

Sic , si fuerit n - so , valet se a n - 6 in Φ χ . eritque terminus Seriei - 23 Ex EMPLUM II. Ex fractione - α oritur haec Series recurrenu

cujus terminum generalem invenire oportet. Fractio proposita ad hanc formam reducitur p i - O in i quae propterea resolvitur in has fractiones partiales

220쪽

RECURRENTIBUS. 189B - - ; unde fit terminus generalis - sin. - κ n - i colligendo erit te

so, valebit n in Φ 2 , eritque terminus 224. Proposita ergo Serie recurrente, quonIam illa fractio unde oritur , facile cognoscitur , ejus terminus generalis secu dum praecepta data reperietur. Ex lege autem Seriei recumrentis , qua quisque terminus ex praecedentibus definit di, statim innotes denominator fractionis , hujusque Factores praebe-b' it Armam termini generalis, per numeratorem enim tantum coefficientes determinantur. Sit nempe proposita haec Series

recurrens

cujus lex progressionis, qua unusquisque terminus ex aliquot praecedentibus determinatur , praebeat hunc fractionis denominatorem I - - γr'. Ita ut sit D - α C Φ