장음표시 사용
251쪽
LLO DE MULTIPLICAT. AC DIVIS. ANGUL.
Ad hoc expediendum juvabit ex praecedenti hus haec Lemmata deprom sisse
Lex , qua hi coefficientes progrediuntur , ex unciis Dinomii ciciari intelligitur , nisi quod numerus ah solutus in Potestatibus . paribus semissis tantum sit ejus , quena unciae praebent.163. Pari modo Potestates Cosinuum definientur
Hic ratione legis progressionis eadem sunt monenga quae circa Sinus notaVimus. Diqitiroo by GOoste
252쪽
DE SERIEBUS EX EVOLUIT FACIT ORTIS. 1 1
De Seriebus ex evolutione Faclarum Ortis. propositum productum eX Factoribus , numero sive 'finitis si, e insinitis , constans hujusinodi
quod , si per multiplicationem actualem evolvatur , det
atque manifestum est coullicientes A, B , C , D , E, &c. , ita formari ex numeris &c. , ut sit A - αε εγ- δνεε ζ - - summae singulorum B si immae Factorum ex binis diversis C suntinae Factorum ex ternis diversis D - summae Factorum ex quaternis diversis E nimae Factorum ex quinis divorsis
donec perveniatur ad productum ex omnibus. Quod si ergo ponatur i I , productum hoc
aequabitur unitati clim Serie numerorum omnium , qui ex his , c, γ , δ , ε, &c., Vel sumendis singulis , vel duobus pluri-husve diversis in se multiplicandis, nascuntiir. Atque si idem numerus duobus pluribusve modis resultare queat, etiam idem his pluriesve in hac numeroriim Serie Occurret. Disitiroo by GOoste
253쪽
. I. 2o5. Si ponatur - I , productu in hoc i-α I -c I- γ I δ I- &c. aequabitur unitati cum Serie numerorum omnium , qui ex liis&c. vel sumendis singulis, vel duohus pluribusve diversis in se multiplicandis , nascuntur ; ut ante quidem , verum hoc discrimine, ut ii numeri, qui vel ex sui gulis , vel ternis , vel quinis , Vel numero imparibus nascuntur, 1int negati, i , illi vero , qui Vel ex lainis , vel quaternis , vel senis vel numero paribus resultant , sint a Trinativi. 267. Scribantur pro α, &c., numeri primi omnc s*, 3, 3, I, II, I 3, &C. , atque hoc productum
aequat itur unitati, cum Serie omnium numerorum vel primo rum ipsorum , vel ex primis diversis per multiplicationem Ortorum. Erit ergo
in qua Serie omnes occurrunt numeri naturales , eXceptis
Potes fati hiis , iisque qui per quamvis Potestatem sunt divisibile . Desunt scilicet numeri ψ, 8, 9, I 2, Is , I 8, &c., quoniam sunt vel Potuitates . ut ψ,8 , 9 , 16 , &c., vel per Potei lates divisibiles ut 12, 18, i c. 168 Simili modo res se habebit, si pro α,, γ, δ, &C. . Potu lates quaecunque numerorum primorum substituantur. Scilicet si ponamus Erit enim multiplicationc instituta :
254쪽
EVOLUTIONE FACTORUM ORTIS. 113
in quibus fractionibus omnes occurrunt numeri praeter illos qui ves ipsi sunt Potestates , vel per Potestatem quampiam divisibiles. Cum enim Omnes numeri integri sint vel primi vel ex primis per multiplicationem compositi , hic ii tantum numeri excluduntur , in quorum formationem idem numerus primus bis vel pluries ingreditur. 269. Si numeri α, c, γ, δ, &c. , negative capiantur , ut ante fecimus , atque ponatura' 3 ue' γ' iiss
r C is ubi iterum, ut ante, Omnes occurrilnt numeri praeter Potes tates ac divisibiles per Potestates. Verum ipsi numeri primi,& qui ex ternis , quinis , numerove imparibus constant , signum habent praefixum - , qui autem ex binis , vel quaternis , vel seni S , Vel numero paribus formantur , signum habent in . Sic in hac Serie occurret terminus - , quia est 3ο - 2.3. 3, Potestatem complectitur, habebit vero hic terminus - signum - , quia 3o est productum ex tribus numeris PrinuS. 27o. Consideremus iam hanc expressionem
quae per divisionem actualem evoluta praebeat hanc Seriem :
255쪽
sequenti modo eX numerHγ, e, &c., componi, ut sit A - summae singulorum B - summae Factorum ex hinis C - summae Factorum ex ternis non ex lusis Factori-
27 I. Posito ergo I , ista expresso
- α 1-c; i-γὶ i- ό 1 - Oaequabitur unitati cum Serie numerorum omnium , qui ex his ς , c, γ, δ, ε, dcc., vel sumendis singulis , vel duobus pluribusve in se multiplicandis, oriuntur, non exesu sis aequali laus. Hoc ergo differt ista numerorum Serius ab illa , quar g. 263 prodiit , quod ibi Factores tantum diversi sumi debebant, hic autem idem Factor bis pluriesve occurrere posIit. Hic scilicet omnes numeri Occurrunt, qui per multiplicationem ex his α, c , γ , δ, &c. , Provenire Possunt. 272. Hanc ob rem Series semper cX terminorum numero infinito constat , sive Factorum numerus fuerit infinitus , sive finitus. Sic Crit
ubi omnes numeri adsunt, qui ex hinario solo per multiplicationem oriuntur , seu o mnes hi narii Potestates. Deinde erit
256쪽
ubi alii numcri non occurrunt, nisi qui ex his duobus Σ & 3 per multiplicationem Originem trahunt; seu qui alios Divisores Praeter 2 & 3 non habeat.173. Si igitur pro α, c , γ , δ , &c., unitas per simgulos Omnes numeros primos diVisa scribatur, ac ponatur
iihi omnes numeri tam primi, quam qui ex primis per multiplicationem nascuntur, occurrunt. Cum autem Omnes numeri vel sint ipsi primi , vel ex primis per multiplicationem oriundi, manifestum est , hic omnes omnino numeros integros in den minatoribus adesse debere. 27 . Idem evenit , si numerorum primorum Potestates quaecunque accipiantur : si enim ponatur ubi omnes numeri naturales nullo excepto occurrunt. Quod si autem in Factoribus ubique signum ε statuatur , ut sit erit
Euleti Introdua. in Anal. iii n.
257쪽
ubi numeri primi habent signum -; qui sunt producti ex duobus primis, sive iisdem sive diversis, signum habent ε; & generatim,
quorum numerorum numerus Factorum primorum est par, signum habent 4- , qui autem ex Factoribus primis numero imparibus constant, habent signum -. Sic terminus , ob et o
2. 2. 2. 2. 3. 3 , habebit signum in , cujus legis ratio percipit ex g. 27o , si ponatur ἔ - - I. 27s. Si haec cum superiori hiis conserantur, nascentur binae Series quarum productum unitati aequatur. Sit enim
258쪽
similique modo habebitur P Q - 1. Cognita ergo alterius Seriei summa, simul alterius innotescet.
277. Uicissim porro ex cognitis summis harum Serierum . assignari poterunt valores Factorum infinitorum. Sit nimirum
259쪽
ex quarum combinatione multae aliae deduci possunt. Ex ΕΜ PLUM I. Sit n I , & , quoniam supra demonstravimus esse ,
260쪽
Τum vero in productis habebitur