Leonhardi Euleri *Institutionum calculi integralis Volumen primum in quo methodus integrandi a primis principiis usque ad integrationem aequationum differentialium primi gradus pertractatur

101쪽

Hinc ergo colligimus:

-- etc. g 1 - x x . At integratio praebet I linoes, qui valores conueniunt, quia uterque evanescit posito

Corollarium I.

I 69. Cum autem haec series non convergat nisi e piatur x , I, hoc autem casu sormula f x - x x) fiat imaginaria, haec series nullius est usus.

. Corollarium 2.

1 o. , Si proponatur δ' m - ,=i F A, eadem pro I se ries emergit per g - 1 multiplicata, eritque

Posito autem x m erit dy et ' C-Arc. sin .u, seu F C- Arc. sin. ubi sumi oportet C o, quia series illa evanescit posito ita ut sit 3 Arc. sin. I, quae cum superiori conuenit statuendo I v.

102쪽

Hie 2utem quoque altera resolutio Ioeum habet, ponendo Σ-Ax' --Bae y DC x D'- ete. existente

unde colligitur :

quarum serierum illa evanescit posito x o, haec Vero p

Corollarium I.

xnet. Differentia ergo harum duarum serierum est constans, scilicet :

Corollarium 2.

2 3. Has ergo binas series colligendo habebimus

ubi quicunque valor ipsi x tribuatur, pro C semper eadem quantitas obtinetur.

Corollarium 3.

103쪽

x s. Haec postrema series signis alternantibus proeedens, per differentias facile in aliam iisdem signis praeditam transformatur, Unde eadem constatis concluditur

I. 3. s. s. Ia . s. s. Υs. s. ra. υ

Scholion.

I 6. Ista methodus in hoc consistit, ut series quaedam indefinita fingatur, eiusque determinatio ex natura rei derivetur. Eius usus autem potissimum cernitur in aquationibus differentialibus resoluendis; verum etiam in praesenti instituto saepe utiliter adhibetur. Eiusdem quoque methodi ope quantitates transcendentes reciprocae, veluti exponentiales et snus cosinusue angulorum, per series exprimuntur, quae etsi iam aliunde sint cognitae, tamen earum inuestigationem per integrationem exposuisse iuvabit, cum simili modo alia praeclara erui queant.

. Problema I .

X . . Quantitatem exponentialem 1 a in seriem

eonvertere.

Solutio.

Sumtis logarithmis, habemus I ν ' x I a, et differentiando D 'Θxta, seu ra Fla: unde valorem ipsius I per seriem quaeri oportet. Cum autem integrale completum latius pateat, notetur nostro casu posito x o, fieri debere F zzz I :quare fingatur haec pro a series : nde sit EzzA- a Ba -- a C a' - - D x -- etc. qui-Disilired by Corale

104쪽

CAPUT III.

quae est ipsa series notissima in Introductione data.

Scholion.

xv 8. Pro sinibus et cosinibus angulorum ad differentialia secundi gradus est descendendum, ex quibus deinceps series integrale reserens elici debet. Cum autem gemina integratio duplicem determinationem requirat, series ita est fingenda, Ut duabus conditionibus ex natura rei petitis satisfaciat. Verum haec methodus etiam ad alias inuestigationes extenditur, quae adeo in quantitatibus algebraicis Versantur, aeuiusmodi exemplo hic inchoemus.

Problema Is.

1 9. Hanc expressionem F fx g 1 -- x x J' Inseriem secundum potestates ipsius x progredientem conuertere.

Solutio.

105쪽

sore 3 r, ac si x infinite paruum, F I --x I - nx. Fingatur ergo talis series: I - n x - A .P - B-- C x' - D - E P - ete. ex qua colligitur :

Facta ergo substitutione adipiscimur :

hincque derivantur sequentes determinationes

ita ut sit

Corollarium I.

et x -- έ I -- x a )J', pro et similis series prodit, in quax tantum negative capitur, hinc ergo concluditur:

etc. et

a. a. 6. δ

Corollarium 2.18 I. Si ponatur a mέ- I. sin. ei, erit I--x x eos. hincque

106쪽

Corollarium 3-

xga. Hae series ad multiplicationem angulorum pertinent, atque hoc habent singulare, quod prior tantum casibus, quibus u est numerus par, posterior vero, quibus est numerus impar, abrumpatur.

Problema Iss.

Iga. Proposito angulo o, tam eius sinum quam co- sinum per seriem infinitam eXprimere.

Solutio.

fietque substitutione Iusta: N a 2. a Diuitia o by Gorale

107쪽

l mo et

unde colligimus :

108쪽

qui valores cum praecedentibus conueniunt. Hinc intelligitur, quomodo saepe duae aequationes simul facilius per series euolvuntur, quam si alteram seorsim tractare velimus.

Problema II.

x8s. Per seriem exprimere valorem quantitatis F, qui satisfaciat huic aequationi , .

Solutio.

Integratio huius aequationis suppeditate

unde deducimus :

constantes h et E ita capiendo, ut sit θλα f. Hinc discimus, si x sumatur evanescens, sore

109쪽

et vicissim V E m ι α Agb- έ a --b A A , atque

- nnb Λ-- nnb B- nnb C - n n b D - etc. Cum ergo A et B dentur, reliquae Iitterae ita determinantur:

seque series pro a erit cognita.

110쪽

CAPUT III.

I 86. Functionem transcendentem cΛ β' per ferient f cundum potesates ipsius x progredienιem exprimere. Ponatur a σε , erit IF I c. Arc. sin. x, et

Vnde reliqui coefficientes ita definiuntur:

Sit breuitatis gratia Ie V, eritque

ο r. a I. a. a I. a. 3. 4

x. a. a. 4. s I. a. a. 4. s. ε