Leonhardi Euleri *Institutionum calculi integralis Volumen primum in quo methodus integrandi a primis principiis usque ad integrationem aequationum differentialium primi gradus pertractatur

121쪽

II 6

Exemplum I.

etc. Hinc integrale quaesitum prodit

Corollarium I.

2Ist. Si m o integrale assignatum evanescit, posito x o: deinceps ergo si sumatur x I, erit integrale

ibi signum -- valet, si n si numerus par, inserius Vero -s n impari

Corollarium a.

223. Haec ergo ambiguitas tollitur, si loco I x scribatur - tum enim integratione eodem modo instituta, positoque x I, fiet

2I . Si exponens n si numerus fractus, integrale inventum per seriem infinitam exprimitur, veluti si sit η reperitur j xm Diuitigoo by Coos e

122쪽

I. I. s

si exponens n sit negativus, etsi integer, tamen integrale inventum in infinitum progreditur: verum hoc casu alia ratione integrationem instituere licet, qua tandem reducitur ad huiusmodi sormulam fL , cuius integratio nullo modo simplicior reddi potest. Hanc ergo reductionem sequenti problemate do

ceamus.

Problema IO.

2Is. Integrationem huius formulae ΘFm continuo ad formulas simpliciores reducere.

Solutio.

123쪽

- etc.

donec tandem perueniatur ad hanc integralem

ita ut quoties v suerit numerus integer positivus, integratio tandem ad huiusmodi sormulam perducatur.

Exemplum I.

Exemplum 2.

integrale investigare casibus, quibus n es numerus integer postilius. Cum Diuili do by Cooste

124쪽

Corollarium.

Scholion.

2I9. Hae ergo integrationes pendent a formula

--- , quae posito x et, ob ae Θ x - : δ x et I x reducitur ad hanc simplicissimam formam fu, cuius integrale si assignari posset, amplissimum usum in Analysi esset allaturum, verum nullis adhuc artificiis, nequc per togarithmos, neque angulos, exhiberi potuit: quomodo autem per seriem exprimi possit, insta ostendemus S. aa . . Videtur ergo Disitiroo by Gorale

125쪽

ergo haec formula f singularem speciem lanctionum transcendentium suppeditare, quae utique accuratiorem euoluti nem meretur. Eadem autem quantitas transcendens in integristionibus formularum exponentialium frequenter occurrit, quas in hoc capite tractare instituimus, propterea quod cum togarithmicis tam arcte cohaerent, ut alterum genus facile in alterum conuerti possit: veluti ipsa formula modo considerata posito I g x, ut fit Σ , et Θ Σ eφ δ x, trans se matur in hanc exponentialem cuius ergo integratio aeque est abscondita. Formulas igitur tractabiles euoluamus et eiusmodi quidem, quae non obuia substitutione ad formam algebraicam reduci possunt. Veluti si V fuerit lanctio quaecunque ipsius O, sitque sormula V Θ e, ob ω - iv et Θx abit in Tra quae ratione variabilis o est alae.

quippe quae braica. Huiusmodi ergo sormulas

posito a v, nihil habent difficultatis, hinc excludimus.

Problema II.

adio. Formulae differentialis a Xὰ x, denotante X functionem quamcunque ipsius x, integrale inuestigare.

Quod si ulterius ponamus 3X α ΡΘx, ut sit

126쪽

prodibit haec reditistio

sicque ulterius ponendo Θ Q ΚΘx, ΘR SΘae, etc. progredi licet, donec ad formulam vel integrabilem, vel in suo genere simplicissimam perueniatur.

Solutio 2.

veniamus.

Corollarium I.

aa I. Priori solutione semper uti licet, quia su notioncs P, Q, R, etc. per differentiationem functionis X eliciuntur, dum et

127쪽

c APUT IV Corollarium I.

asta. Altera solutio locum non Inuenit, nisi formu-Iae X Θ x integrale P assignari queat; neque etiam eam' continuare licet, nisi quatenus sequentes integrationes fPδx Q, f d x R, etc. succedunt.

Exemplum I.

asta. Formulae a x' Θ x integrale de ire , denotante nnumerum integrum postiuum. Cum sit X ae , solutione prima utentes habebimus fa Θ x α α . x fa x 'η δ x; hine ponendo pro n successive numeros O, I, 2, 3, etc. quia primo casu integratio constat, sequentia integralia eruemus:

Vnde in genere pro quouis exponente n concludimus

ad quam expressionem insuper constantem arbitrariam adiici oportet, ut intcgrale completum obtineatur.

Corollarium.

et et . Si integrale ita determinari debeat, posito x o, erit Vt evanescat

128쪽

Exemplum a.

22s. Formulae integrale investigare , s quidem n

denotet numerum integrum postivum. Hic commode altera solutione utemur, ubi eum sit X erit Ρ m

i I x

. 2.1 Iunde in genere colligimus

129쪽

Corollarium I.

hanc sormulam a x δ x integrare poterimus, siue exponens in fuerit numerus integer positivus, siue negativus. Illis quidem casibus integratio ab ista noua quantitate transcendente non pendet.

Corollarium a.

diar. At si m fuerit fractus numerus, neutra solutio negotium conficit, sed utraque seriem infinitam pro integrali exhibet. Veluti si sit m - I, habebimus ex priore

I. a. setc.

ex posteriore autem ;

I. a. b. II. a. setc.

130쪽

Hinc quantitas transcendens

I. a I. a. a

erit

Ac si pro a sumamus numerum, cuius Iogarithmus hyperbolicus est unitas, quem numerum littera e indicemus, habebimus

' a. a. 3. 4

quod integrale si debeat evanescere, sumto et o, constans C sit infinita, unde pro reliquis casibus nihiI concludi potest. Idem incommodum locum habet, si evanescens reddamus casu et I, quia ilΣ lo sit infinitum. Caeterum patet, si integrale sit reale, pro valoribus ipsius et unitate minoribus, ubii et est negativus, tum pro valoribus unitate maioribus fieri imaginarium, et vicissim. Hinc ergo natura huius sumatonis transcendentis parum cognoscitur.

Scholion 2.

229. Quando vel integratio non succedit, vel series ante inuentae minus idoneae videntur, hinc quantitatem a' in

Q a se item