Leonhardi Euleri *Institutionum calculi integralis Volumen primum in quo methodus integrandi a primis principiis usque ad integrationem aequationum differentialium primi gradus pertractatur

131쪽

seriem resoluendo, statim sne aliis subsidiis formulae H X Θ x integrale per seriem exhiberi potest, erit enim

stribi debere I x.

Exemplum I.

2ao. Formulae G integrale per seriem infinitam ex-

primere. Per priorem solutionem obtinemus, ob

Aliae series reperiuntur, si vel a , vel fractio -; in seriem euoluatur. Commodissima autem videtur, quae seriem finge do eruitur: breuitatis gratia pro a sumamus numerum e , Vti e I, ac statuatur ΘF - --- seu

Iam Diuitigoo by Cooste

132쪽

Iam pro F fingatur haec series

Problema 22.

aar. Formulae disserentialis υ ae' vesigare, ac per seriem in iram exprimere.

Solutio.

Commodius hoc praestari nequit, quam ut formula exponentialis x in seriem infinitam conuertatur, quae est Θ x integrale in-

Quare si hae series substituantur, et secundum potestates ipsus I x disponantur, integrale quaesitum exprimetur per has innumerabiles series infinitas: Disit iroo by Gorale

133쪽

etca

etc. quod integrale ita est sumtum, Ut enanescat, posito x O.

Corollarium.

zaa. Hac ergo lege instituta integratione, si ponatur x I, Valor integralis fx'φΘx huic seriei aequatur x - -Y - ' - - - G H- etc. quae ob concinnitatem terminorum omnino est notatu digna.

Scholion.

233. Eodem modo reperitur integrale huius formulae: 'φx Θx j x Θx I --n xlx--- 'l./--- etc. erit enim singulis terminis integrandis:

Quod si ergo integrale ita determinetur , Ut evanestat post x o, tum vero statuatur ae I, pro hoc casu Valor sormulae integralis I x'' x' δ x exprimetur hac serie satis memorabili :

quae Disiligod by Gorale

134쪽

CAPUT IV.

ceto quae uti manifestum est, Iocum habere nequit, quoties m est numerus integer negativus. Alia exempla formularum exponentialium non adiungo, quia plerumque integralia nimis inconcinne eXprimuntur, methodus autem eas tractandi hic suffcienter est exposita. Int rim tamen singularem attentionem merentur sormulae integrationem absolute admittentes, quae in hac forma continenturr ΘΡΗ-ΡΘx cuius integrale manifesto est Ρ. Huiusmodi autem casibus dissicile est regulas tradere integrale inueniendi , et coniecturae plerumque plurimum est tribuendum.' x Θ x Veluti si proponeretur haec formula - , sacile est suspi- 1-- er Σ

cari integrale, si datur, talem formam esse habiturum

I --x 'comparatum dat ΘΣ 1--x --xa δ eri xΘar, ubi statim patet esse Σ I, quod nisi per se pateret, ex regulis dissicu ter cognosceretur. Quare transeo ad alterum genus formuI rum transcendentium iam in Analysin receptarum, quae vel angulos vel sinus, tangentesve angulorum complectuntur.

135쪽

CAPUT V.

INΤEGRAΤIONE FORMULARUΜ ANGULOS SINUSUE ANGULORUΜ IMPLICANTIUM. Problema 23.

Ρroposita formula differentiali X Θ x Ang. sin. x , eius integrale inuestigare.

Solutio.

Cum sit 3 . Ang. sin. x p ii ἴΞΞi, sormula proposita , ita in factores discerpatur, Ang. sin. x κ X Θ x. Si iam XΘx integrationem patiatur, sitque I XΘx P, erit nostrum integrale fXΘx Ang. sin. v P Ang. sin. x - ; itaque opus reductum est ad integrationem sormulae algebraicae , pro qua supra praecepta sunt tradita. Caeterum si fuerit X manifestum est integrale fore fi Ang. sin. x ὲ Ang. sin. xy; quo solo casu quadratum anguli in integrale ingreditur.

Exemplum I.

136쪽

Exemplum 2.

137쪽

rao CAPUT R

quod integrale evanescit posito x α o.

Scholion.

ag. Simili modo integratur sormula δ' Xδx Ang. cos. x. Cum enim sit d. Ang. cos. x in h. , si ponamus dxta P, erit γ Ρ Ang. cos. x - f. Quin etiam si proponatur formula 33 X δ x Ang. tang. x, quia est δ. Ang. tang. x--- , posito LX dx P, erit hoc integrale: IX Θ x Ang. tang. x m. Ρ Ang. tang. x Quoties ergo IX Θ x algebraice dari potest, toties integratio reducitur ad inrmulam algebraicam, sicque negotium consectum est habendum. Cum igitur in his sormulis angulus , cuius sinus, cosinus, vel tangens erat . a , inesset, consideremus etiam eiusmodi formulas , in quas quadratum huius anguli, altiorue potestas ingreditur.

Problema 2

a 39. Denotet Q angulum , cuius sinus tangensve est functio quaedam ipsius x, unde fiat δῖ uΘx, propositaque sit haec sormula da X θ x. π quam integrare oporteat.

Solutio.

138쪽

133Ηoeque modo potestas anguli q) continuo deprimitur, donec tandem ad formulam ab angulo liberam perueniatur: id quod semper eueniet, dummodo a sit numerus integer positivus, et haec integralia continuo sumere liceat fXΘx zzzP, I Puῖ rem , f Qv Θ x R, etc. quae integrationes, si non succedant, frustra integratio suscipitur.

Exemplum.

Erit ergo X m. 1,

. . .

integralibus ita determinatis, ut evanescant posito x m O.

Scholion.

a T. Si sit X Θ x u Θx - formulae φ δφ integrale est cp' ' ; similique modo, si fuerit Q functio quaecunque anguli ci , sormulae thuΘx mi Θ p integratio nihil habet difficultatis. Multo latius patent formulae sinus, cosinus Ue angulorum et tangentes implicantes, quarum integratio Per R a inuer

139쪽

inuersam Analysin amplissimum habet usum; cum praecipue Theoria Astronomiae ad huiusmodi formulas sit reduicta. Prima autem fundamenta peti debent ex calculo differentiali, cum sit: p. sin .n Q n ὰφ eos tr o ; θ. cos. ηφ - n Θosin. n p;ῖ. tang. n o m ; δ. col. n φ .

nanciscimur has integrationes elementares:

cosinusue resoluuntur.

α a. Formulae Θ φ sin. φ' integrale inuestigare.

140쪽

qua integratio ad hanc formulam simplici rem δ φ sin. Ο reuocatur. Cum igitur casus simplissimi constent,

hinc via ad continuo maiores exponentes n paratur:

Corollarium I.

a 3. Quoties η est numerus impar, integrale per so lum sinum et cosinum exhibetur, at si n est numerus par, in tegrale DiuitiZoo by Cooste