Leonhardi Euleri *Institutionum calculi integralis Volumen primum in quo methodus integrandi a primis principiis usque ad integrationem aequationum differentialium primi gradus pertractatur

91쪽

Sin autem casu, quo ν numerus par, a fuerit quantitas negativa, expressio nostra ita est repraesentanda , .

erit integrando

Si a et b sint numeri positivi, utraque euolutione Uti licet.

Exemplum I.

I 8. Formulam δ) per feriem integrare. γΡrimo ex supcrioribus pa et esse I Arc. sin. x qhi ergo angulus etiam per striem infinitam exprimetur. Cum enim sit

x -ήx . . erit

utroque valore ita definito, ut evanescat posito x o. 1 9.

Corollarium I.

Si ergo sit x I, ob Arc. sia. 1 I, erit

92쪽

a. 4. 23. s a. 4. 6. s. 4. e. a. s. s

cuius seriei decem termini additi dant o,saas 98 , cuius sexintuplum a , I Issa 6 a tantum in octava figura a veritate discrepat.

Corollarium a.

ergo I a Arc. sin. u m. a Arc. sin. x. Tum vero per seriem erit:

93쪽

gg CAPUT III.

hincque integrando: λ. t , I. r

Corollarium I.

xsa. Integrale facilius inueniri potest, ponendo x ma - v, unde fit et per reductionem tertiam

Corollarium 2.

unde Diuiti do by Corale

94쪽

vnde colligitur

erit idem integrale per seriem expressum:

1ss. Formulam da . Gii per feriem integrare. Integratio dat Iralsa μέ xx - I J quod evanescit

posito x I. Iam ob

Corollarium.

Is 6. Posito fit

95쪽

vnde integrando habebitur

r. s. N u . a. 2 2. 4. s. 4 . s. s. N a. q. v. l. 1

Exemplum s

1s . Formulam Θa per seriem integrare. 1 - x Per integrationem fit

Iam vero per seriem est

unde idem integrale ita exprimetur:

Hinc autem quoque manifesto fit n- I m

Scholion.

Is 8. Haec autem eum snt nimis obuia, quam ut iis fusus inhaerere sit opus, aliam methodum series eliciendi e ponam magis absconditam , quae saepe in Analysi eximium usum afferre potest.

96쪽

CAPUT III.

Problema II.

xss. Proposita formula differentiali .

Solutio.

unde singulis terminis nihilo aequalibus positis, coeffcientes Μ a - ficti

97쪽

ficti per sequentes sormulas definientur:

sicque quilibet coefficiens sacile ex praecedente reperitur. Tum vero erit: 3 - ω - hae Ax B x ' - - Cx 'λ Dx in . . etc.

Solutio 2.

Quemadmodum hic seriem secundum potestates ipsius xascendentem assumsimus, ita etiam descendentem constituere licet: Σ - Α x B x C x D H etc. ut sit Az -n A a - - m a n) B x ' - - m an C η' etc. quibus serie bus substitutis prodit:

98쪽

Corollarium I.

x6o. Prior series ideo est memorabilis, quod casibus, quibus m -- in ν--n s. o, seu - si abrumpiatur, atque ipsum integrale algebraicum exhibet. Posterior vero abrumpitur , quoties m - in o seu P i, denotante inumerum integrum positivum.

Corollarium 2.

I SI. Vtraque Vero series etiam incommodo quodam laborat, quod non semper in usum vocari potest. Quando enim vel m O, Vel m -- i n o, priori uti non licet: qua do vero m - i n) ν -- n μ O , seu - usus posterioris tollitur, quia termini fierent infiniti.

Corollarium 3

I62. Hoc vero commode usu venit, ut quoties altera applicari nequit, altera certo in usum vocari possit, iis tantum casibus exceptis, quibus et - et E. --ξ sunt numeri integri positivi. Quia autem tum est v x, hi casus sunt rationales integri, nihilque difficultatis habent.

Corollarium ψ.

16a. Possunt etiam ambae series simul pro et coniungi hoc modo: Sit prior series Ρ, posterior Vero Q, Vt capi possit tam et Ρ, quam et Binis autem coniungendis, erit et ' α P - β Q, dummodo sit α - β I.

Scholion.

164. Inde autem, quod duas series pro et exhibemus, minime sequitur, has duas series inter se esse aequales, neque enim necesse est , ut valores ipsius a inde orti fiant aequales , dummodo quantitate constante a se inuicem differant. Ita si prior series inuenta per Ρ, posterior per Q indicetur, quia eX

Μ a illa

99쪽

lta ut prodeat

Exemplum I.

16s. Formulam Θa hoc modo per seriem integrare. Comparatione cum forma generali instituta, fit a ' 1, , - - I, tu I, n a, tu. I, ν a: Vndo posito I -

100쪽

unde colligimus: F x - - , P -- x etc. έ 1 - x x , quod integrale evanescit posito a To, est ergo Arc. sin. x. Altera methodus hic frustra tentatur, ob I.

Corollarium 1.

I- xx) m o: at perpendendum est, fieri hoc casu seriei infinitae summam infinitam, ita ut nihil obstet, quo minus My j. Si ponamus x fit 3 ao' ideoque

. . a. s. 4 2. 4. εa. s. r. 4

Corollarium 2.

16 . simili modo proposita sormula 33 α reperitur: I m-------- etc. a --x at

estque a m I bc - ν 1 - x x J. Exemplum ta

x68. Formulam ΘΙ - . - per seriem integrare. Est ergo m Ο, n Σ, μ. zz I, ν Σ, a I , eth - 1, utendum igitur est altera serie sumendo

fitque