Leonhardi Euleri *Institutionum calculi integralis Volumen primum in quo methodus integrandi a primis principiis usque ad integrationem aequationum differentialium primi gradus pertractatur

72쪽

CAPUT ILScholion a

xx s. Circa has reductiones primo obseruandum est , formulam priorem algebraice spe integrabilem, si coeffciens posterioris evanescat. Ita st

Deinde etiam casus notari merentur, quibus coefficiens postremae sormulae fit infinitus; tum enim reductio cessat, et prior formula peculiare habet integrale seorsim euoluendum. In prima hoc euenit si et formula feri η δ Θ x a se, H , posito a -- δx x' a', seu at α - , abit in κ' - , P - θ , cuius integrale per caput primum definiri debet. In secunda euenit s m zn, et formula I σ-bx' ν, posito a -- h x Σ sev x

73쪽

In tertia euenit, si T 2-I, et sormula

per se est rationalis. In quinta idem euenit, si μ m o. In sexta autem, si mzn, et sormula fra a ba Dν ,

Exemplum I.

74쪽

CAPUT IL

Ρro numeris imparibus:

Pro numeris paribus

75쪽

CAPUT II.

I, habebimus hoc

mus breuitatis gratia integrale :

Corollarium 2.

ut integrale evanescat posto x m O.

76쪽

si in a, sormula f ς-i οῦ facta substitutione I - x x ' et r. abit in cuius integrale est

vnde duplicem seriem integrationum elicimus:

Hinc erit, ut in binis praecedentibus corollariis

tam Diqili od by Corale

77쪽

tam pro omnibus numeris m, quam pro imparibus μ assignari poterunt. Reductiones autem nostrae generales ad hunc casum accommodatae sunt: π δ I -x r xx )η δ

78쪽

Scholion 2.

xas. Pro aliis formulis irrationalibus magis complicatis vix regulas dare licet, quibus ad formam simpliciorem reduci queant: et quoties uiusmodi formulae occurrant, reductio, si quam admittunt, plerumque sponte se offert. Veluti si sormula suerit huiusmodi siue n sit numerus integer sue

unsimplicior aestimatur reduci potest. Cum enim sit

unfractus, semper ad aliam huius formae

quae utique Diuiti by Corale

79쪽

men rem in exemplis tentando, mox perspicietur negotium semper succedere. Assumo autem hic, Ρ et Q esse functiones integras , ac talis quoque semper pro R erui poterit. Si sorte eueniat, Vt c RH-TΘx o, formula proposita algebraicum habebit integrale , quod hoc modo reperietur; contra autem haec forma ulterius reduci poterit in alias, ubi denominatoris exponens continuo unitate diminuatur; ac si n sit numerus integer, negotium tandem reducitur ad huiusmodi rmam , quae sine dubio est simplicissima. Quamouem cum in hoe capite vix quicquam amplius proferri possit, ad integrationem formularum irrationalium iuuandard, methodum easdem integrationes per sortes infinitas perficiendi exponamus.

ADDITA MENTUM.

re eius integrale.

Solutio.

80쪽

CAPUT II.

Isideoque eius integrale

Corollarium I.

Patet etiam hanc formam latius patentem ΘF fx - έ x -- x x J' X Θ x hoc modo integrari posse , dummodo X suerit functio ration lis ipsius x. Posito enim x ' - - , pro X prodit functio rationalis ipsius x, quae sit U , hincque fit Θν α ή U u' ' Θu uu-- I , quae sermula vel est rationalis, si v si numerus integer, vel ad rationalitatem facile reducitur, si n sit numerus fractus.

Corollarium a.

tatum x et C. Facto enim x ' l, functio X abit in

uti I

Exemplum.