Leonhardi Euleri *Institutionum calculi integralis Volumen primum in quo methodus integrandi a primis principiis usque ad integrationem aequationum differentialium primi gradus pertractatur

81쪽

cuius integrale est:

82쪽

DE INΤECRATIONE FORMULARUΜ DIFFERE TIMIUM PER SERIES INFINITAS. Problema II.

Si X suetit iunctio rationalis stacta ipsius x, formulae disserentialis ΘΙ X Θ x integrale per seriem infinitam exhibere.

Solutio.

Cum X sit functio rationalis fracta , eius valor semperita euolui potest, ut fiat

ubi coemeientes A, B, C, etc. seriem recurrentem constituent, ex denominatore fractionis determinandam. Multiplicentur ergo singuli termini per dat, et integrentur, quo facto integralea per sequentem seriem exprimetur

ubi si in serie pro X occurrat huiusmodi terminus inde in integrale ingredietur terminus Μ I x.

xa v. Cum integrale LX Θ x, nisi sit algebraicum, per Iogarithmos et angulos exprimatur, hinc valores logarithmorum et angulorum per series infinitas exhiberi possunt. Cuiusmodi series cum iam in Introductione plures sint traditae, K a non Disiti od by Corale

83쪽

non solum eaedem , sed etiam infinitae aliae hic per integrationem erui possunt. Hoc exemplis declarasse iuvabit, ubi potissimum eiusmodi sormulas euoluemus, in quibus denominator est binomium; tum vero etiam casus aliquot denominatore tri- nomino vel multinomio praeditos contemplabimur. Imprimis autem eiusmodi eligemus , quibus fractio in aliam , cuius denominator est binomius, transmutari potest.

Exemplum I.

erit eadem lege integrale definiendo:

via de colligimus, uti quidem iam constat: I a v mla in L - - - L - - ' -- cte.

Corcilarium I.

Corollarium 2.

13 o. Hae posteriores series eruuntur per integratiouem formularum: Disiti od by Corale

84쪽

ita ut iam his formulis per series integrandis 1 uper. edere pos

simus a

Exemplum Q.

III. Formulam disserentialem per seriem inte

grare.

angulus serie infinita exprimetur. Quia enim habemus :

x - α -- etc. erit integrando :

132. Integralia harum formularum ista et per feries exprImere.

85쪽

CAPUT III. At est cos. Ivnde fit

integralibus ut serie bus ita sumtis, ut evanescant posito x o.

Corollarium I.

Corollarium I.

qua serie illis adiecta, omnes potestates ipsius x Occurrent.

Exemplum 6.

mere. Cum sit I

86쪽

Exemplum

et a G. Integrati hoc a per feriem expri

mere.

Corollarium I.

87쪽

Corollarium 2.

Is 8. si hic capiatur n - 1, binos angulos in unum colligendo, fit

quae fractio per I - x x - - H diuidendo, reducitur ad quae est tang. tripli anguli x pro tangente habentis, ita ut sit ἱ Arc. tang. α Arc. tang. x, quod idem series inuenta manifesto indicat.

Exemplum I

bebitur

Haec ergo series per S. 8a. aggregatum aliquot arcuum ci cularium exprimit, quos ibi videre licet.

Corollarium.

1 O. Eodem modo proposita formula -

ob Disilired by Cc oste

88쪽

cuius valor S. 8 . est exhibitus.

Exemplum I.

I x. Hanc formulam d) -, per feriem in

tegrare.

Primo integrale est manifesto a m I r -- x -- x x ; ut autem in seriem conuertatur, multiplicetur numerator et denominator per I-x, Vt fiat δI Q o. Cum

Corollarium I.

Corollarium

' a. At Dactio . . . . per striem recurrentem

89쪽

8 CAPUT III.

unde per integrationem eadem series Obtinetur, quae ante

Exemplum 8.

integrare. Per f. 6 . ubi A r, B zzz O, a m S, et δ zzz x, est huius 'formulae integrale Arc. iang. a. At Perseriem recurrentem reperimus -- 1 - 2 .at cos. Z cos. - Σ) x x-- Scos. - cos.ζ) a ' -- a 6 cose 12 cos.' -r a -- a a cos. - a 2 cos. ζ' -- 6 cos. ζ) xε - - etc. qua serie per Θ x multiplicata et integrata, obtinetur quaesitum Potestatibus autem ipsius cos. ζ, in cOsinus angulorum muli plorum conuersis peritur :

Corcillarium I. 14s. Si ponatur' 'HArta B, erit per f. 630

90쪽

CAPUT mi Corollarium z

Problem2 12.

1 I. Formulam disserentialem arrationalem Θ U Θx a -- b x . per seriem infinitam integrare.

Solutio.

t sit a x ι, erit Θν zzz cx Θω 1 - - at )ν, ubi quidem assumimus a non esse quantitatem imaginariam. Cum igitur sit

quae stries in infinitum excurrit, nisi sit numerus integer positivus.