Leonhardi Euleri *Institutionum calculi integralis Volumen primum in quo methodus integrandi a primis principiis usque ad integrationem aequationum differentialium primi gradus pertractatur

111쪽

CAPUT III.

os quaesitae initium. Nunc autem est

r88. Quia haec serie M tantum casibus, quibus n est numerus impar abrumpitur, pro paribu& notandum est, seriem commode exprimi posse per productum ex sin. cp in aliam seriem, secundum cosinus ipsius cla potestates progredientem. Ad quam inueniendam ponamus cosi sitque sin. - Σ sin. φ Σ x - v v nd Ob Θ et pia - ά ά. Rr x differentiando - n 3 uDiuitiaco by Gorale

112쪽

CAPUT III.

seu - n Θ u cos. n ip Θ Σ 1 - u Q - et u Θ u, quae sumto Θu constante denuo differentiata dat: -

113쪽

INTEGRATIONE FORMULARUΜ LOGARITHMICARUM ET EXPONENTIALIUΜ. Problema I 8.

Si X designet iunctionem algebraicam ipsius x, inuenire integrala formulae X Θ x I x.

Solutio.

Quaeratur integrala fXΘx, quod si Z, et cum quantitatis Z l x differentiala sit ' Θ Z I x - - , erit Z l x -fΘZIx f -: ideoque fΘZII IXΘxlx Z lx -I'. Sicque integratio sormulae propositae reducta est . ad integrationem huius η , quae , si Z suerit fiunctio algebraica ipsius ec, non amplius logarithmum inuoluit, ideoque per praecedentes regulas tractari poterit. Sin autem fXΘx algebraice exhiberi nequeat , hinc nihil subsidii nascitur , expedietque i dicatione integralis fXῖ xlx acquiescere , eiusque valorem per approximationem inuestigare. Nisi sorte sit X I, quo casu manifesto dat f lx ή Ix ' -- C.

Corollarium I.

xso. Eodem modo, si denotante V functionem quamcunque ipsius at, proposita sit sormula X Θ x I V, erit existentefXδx Z, eius integrala ZIV- sicque ad formulam algebraicam reducitur, si modo Z algebraice detur.

114쪽

Corollarium 2.

19 I. Pro casu singulari l x notare licet, si posito Ix u, fuerit V functio quaecunque algebraica ipsius u, integrationem huius formulae non fore dissicilem, quia ob I - Θu abit in UΘu, cuius integratio ad praecedentia capita

refertur.

Scholion.

Isa. Haec reductio innititur isti fundamento, quod cum sit Θ. xI 3 x -- x Θs, hinc vicissim fiat xy fyΘx--f xΘI, ita ut hoc modo in genere integratio formulae a d x ad integrationem formulae x δa reducatur. Quod si ergo, proposita quacunque sormula V Θ x , functio V in duos factores, puta V m P Q, resolui queat, ita ut intcgrale fΡ Θ τ S asin

nem usum affert, cum sormula fSΘQ simplicior merit quam proposita d x , eaque insuper simili modo ad simpliciorem reduci queat. Interdum etiam commode euenit, ut hac methodo tandem ad sormulam propositae similem perueniatur, quo casu integratio pariter obtinetur. Veluti si ulteriori reductione inueniremus f S δ T -- η IV δ x, soret utique LV Θ x m S - T - ηfV Θx, hincque I Udx - . Tum igitur talis reductio insignem praestat Vsu in , cum vel ad formulam simpliciorem, vel ad eandem perducit. Atque ex hoc principio praecipuos casus, quibus formula Xδ vix vel integrationem admittit, vel per seriem commode exhiberi potest,

euoluamus.

19 a. Formulae disserentialis x' 3 x x integrale inuenire, denotanιe n numerum quemcunque.

115쪽

CAPUT IV. Cum sit Ix' Θ x

ideoque

Sicque haec formula absolute est integrabilis.

Corollarium I.

Corollarium a. '

gularis, iam supra annotauimus, sequitur vero etiam ex reductione ad eandem sormulam. Namque per superiorem reductionem habemus

Exemplum I.

I96. Formulae in I x integrale per seriem exprimere. Reductione ante adhibita parum lucramur, prodit enim:

116쪽

CAPUT IR

Cum autem sitI - x -- I x' -- ό x --ἔ x' -- ete. erit f l m x -- x ἡ-ἱ at' -- 4 H -- is x -- ete. ideoque et I x Ito . Ix-x--ἀH-; H - re quod integrale evanescit casu x zz o, etsi enim I de tum in infinitum abit, tamen I x -- ὲ x' - - . x etc. ita evanescit, ut etiam si per I ae multiplicetur, in nihilum abeat, est enim in genere x' I x o posito x m O, dum n numerus positivus.

Corollarium L

as . Si ponamus 1-x v, fit

ideoque s s: I x-C -- u -- . u' -- , u Η- re u --., u -- etc. quae, ut etiam casu x o seu u I, evanescat, capi debet

Corollarium α

Corollarium I.

117쪽

Corollarium q.

zoo. Si ponamus et u ἔ, erit huius seriei

2o I. Formulae l x integrale inuenire, idemque in

seriem conuertere. :

Cum sit si , m ι , erit

m at ob -m , fit fommix-HI; , unde colligimus integrales of I x -- ita sumtum, ut evanescat posito x C. Iam pro serie commodissime inuenienda, statuatur 1-x'u, et nostra formula fit

118쪽

II aquae expressio ut etiam evanescat, facto x o seu a m 1 , Oportet sit: ς O G etc. T. Quare Ob x I -u, obtinebimus:

Corollarium I.

At quia per seriem ΘΙ N. u-Iuu--ἰu - - - etc. erit etiam

Corollarium I.

Ios. Si ergo multiplicemus per adipiscimur:

119쪽

Per reductionem supra monstratam sit

Quo modo si ulterius progredimur, haecque integralia capere liceat

obtinebimus integrale quaesitum :

Exemplum I.

. et

-- : Vnde colligimus

quod integrale evanescit posito x o, dum sit m -- I O.

Corollarium I.

120쪽

Corollarium 2.

Eo . At si sit m - 1, ut habeatur I .ri erit eius integrale f I x ' ἱ υ x qui solus casus ex sormula generali est excipiendus.

S : Vnde integrale quaesitum fit

quod integrale evanescit, posito x O, dum si m o.

Corollarium I.

stos. Quod si integrali ita sumto, ut evanescat posito

Corollarium 2.

2Io. Casu autem m o, erit intcgrale

quod ita determinari nequit, Vt cvanescat posito xα ο; opor tet enim constantem infinitam adiici. Hoc autem integrale evanescit posito x I. P a Ex-Disitiroo by Gorale