Leonhardi Euleri *Institutionum calculi integralis Volumen primum in quo methodus integrandi a primis principiis usque ad integrationem aequationum differentialium primi gradus pertractatur

141쪽

tegrale insuper ipsum angulum inuoluit, ideoque est iunctio

transcendens.

Corollarium 2.

2 Casibus ergo quibus u est mimerus impar, id imprimis notari conuenit; etiamsi angulus seu arcus o in infinitum crescat, integrale tamen nunquam ultra certum limitem excrescere posse, cum tamen si n sit numerus par, etiam in infinitum eXcrescat.

Quare cum casibus η o, et n I integratio sit in promptu, ad altiores potestates patet progressio :

142쪽

CAPUT V.

i Problema 26.

a 6. Formulae Θ p sin. cos. et ' integrale inuenire.

Solutio.

Quo hoc secilius praestetur, consideremus factum sin. γ cos. φ . quod differentiatum fit μ 3 φ sin. cos. φ'

- νὴ sin. si cos.- Ιam prout vel in parte prioricos cpy x - sin. Ir, vel in posteriori sin. φ' ra I - cos. statuitur, Oritur

Quare formula proposita fῖ φ sin. coc φ' successivo continuo ad simpliciores potestates tam ipsius sin. o quam ipsius cos. sit reducitur, donec alter vel penitus abeat, vel simpliciter adsit, quo casu integratio per se patet, cum sit f ὰ ς sin. et ' eos. O -- . - sin. et f Θ qa sin. p cos. cos. φ ' x.

Exemplum.

143쪽

tramus

istam per posteriorem reductionem tractemus:

hoc modo ulterius progrediamur:

8. Quando autem huiusmodi casus occvrunt, semis per praestat productum sin. π cos. φ' in sinus vel eosinus angulorum multiplorum resoluere, quo Disto singulae partes facillime integrantur. Caeterum hic breuitatis gratia angulum smpliciter littera φ indicaui, nihiloque res foret generalior,s per αφ--β exprimeretur, quemadmodum etiam ante haec expressio, Ang. sin. x aeque late patet, ac sit loco ur, functio quaecunque scriberetur. Contemplemur ergo eiusmodi sormulas, in quibus sinus cosinusue denominatorem Occupant, ubi

quidem simplicissimae sunt

144쪽

rio secunda

ergo

Tertiae et quartae integratio manifesto Iogarithmis conficitur rquare haec integralia probe notasse iuvabit x I L- f Φ-I Ul-ς f φ -l tis

hincque sequitur III. -- IV.

Problema 27. se ἰ Θ o sn. Q 3 o eos π

Solutio.

Primo statim perspicitur, alteram formulam in alteram transmutari, posito Φαso' - ψ, quia tum fit sin. φ cos. Φ, S a et

integra Diuitigod by Gorale

145쪽

nario deprimitur, ita ut tandem perueniatur vel ad j ,-- vel ad

Ia ' λ. - tractanda supersit. Altera autem reductio ibidem

cos. v unde colligitur

s n. v

cos. .' n - x cos. φ' n - 1 j cos. O cuius reductionis ope exponens ipsius cos. φ in denominatore continuo binario deprimitur, ita ut tandem vel ad fΘφsin. vel ad

cos. Operueniatur. Illius integratio iam supra est monstrata, huius vero forma si m , 1, per priorem reductionem tandem vel ad vel ad seM ' reuocatur, illius autem integrale est I tang. s' -- έ M, huius vero - ι cos.

Corollarium I.

Prior reductio non habet Ioeum, quoties est

146쪽

CAPUT V.

m n, hoc scilicet casu formula fi non reduci I cos. potest ad formulam Altera autem reductio-

cos. . ne semper uti licet, etsi enim casus 13 I inde excluditur, eius tamen integratio per priorem essici potest.

Corollarium 2.

quod formula fl

Exemplum I.

asa. Formulae ' φ β' integrale assignare.

cos. NPrior reductio dat:

m - Σ cos. φΗine a casibus per se notis incipiendo, habebimus :

147쪽

ere.

Scholion.

asa. Pro reliquis casibus denominatoris totum nego. tium conficietur his reditistionibus : Θ o sin. sin. Q cos. O' cos. O

etc.

Exemplum

quia

148쪽

CAPUT V.

quis iam easus simplicissimi fὸ φ α φ et

Corollarium I.

Corollarium M

149쪽

quibus reductionibus continuo ulterius progredi licet.

Problema 28.

as . Formulae integrale inuestigare. sin. cos. φ'

Solutio.

η - 1 I sin. ω eos. φ - Cum iam in hoc genere sormae simplicissimae sint:

150쪽

tang. p; hinc magis compositas eliciemus r

fffffff

sicque sormulae quantumuis compositae ad simpliciores, rum integratio est in promtu, reducuntur.

Corollarium I.

as 8. Ambo exponentes ipsius sin. et eos sp simia binario minui possunt: erit enim per priorem reductionum