Leonhardi Euleri *Institutionum calculi integralis Volumen primum in quo methodus integrandi a primis principiis usque ad integrationem aequationum differentialium primi gradus pertractatur

151쪽

unde concluditur

Corollarium I.

ass. Prioribus membris ad communem denominatorem reductis obtinebitur

qua reductione semper ad calculum contrahendum uti licet, nisi vel μ. I vel ν I. Sch Diuiligod by Corale

152쪽

Scholion.

IIuiusmodi formulae

etiam hoc D. sin. Ο cos. φ' modo maxime obuio ad simpliciores reduci possunt; dum ni merator per sin. Φ'-- cos. φ' I multiplicatur, unde fit

sin. in col. I sin. Ο cos. φ I sin. φ' cos. O quae eo usque continuari potest, donec in denominatore unica tantum potestas relinquatur. Ita erit .

subsia Ouodsi proposita sit haec formula I v v v I sin. φ' cos. O'dium vocari potest, esse sn. o cos. φ ή sin. a p, unde habe- posito ut m a p, quae sormu-

sin. et φ' I sin. Ei la per superiora praecepta resoluitur. His igitur adminiculis obseruatis circa sormulam Θ o sin. Ο cos. o', si quidem m etn fuerint numeri integri siue positivi siue negativi, nihil amplius desideratur: sin autem fuerint numeri fracti, nihil admodum praecipiendum occurrit, quandoquidem casus, quibus inistegratio succedit, quasi sponte se produnt. Quemadmodum autem integralia, quae exhiberi nequeunt, per series exprimi conueniat, in capite sequente accuratius exponamus. Nunc vero formulas stactas consideremus, quarum denominator esta -- b cos. O ciusque potestas, tales enim formulae in Theoria Astronomiae frequentissime occurrunt.

Problema 29.

153쪽

Haec inuestigatio commodius institui nequit, quam visormula proposita ad formam ordinariam reducatur, ponendocos. φ ', ut rationaliter fiat sin. Ο --, hincque

a -- θ cos. O 'A' '' , erit formula nostra m. - Ι b' quae prout fuerit a b vel vel anguis tum vel logarithmum praebet. Casu a γ δ reperitur

casu a Q b vero est

Nunc vero est

qua restitutione Dista, cum sit

ocirca pro casu a b adipiscimur:

154쪽

At casu b m re, integrale est tang. Io, unde fit

uae integralia evanescunt susto si o.

Corollarium I.

262 Formulae autem πι μειν integrale est II ἀ-3 , ata sumtum, ut evanescat posito φ o ; sicque habebimus:

Corollarium λ

263. Formula autem transformatur in M- unde integrale per solationem problematis exhiberi potest:

Scholion I.

x64. Integratione hac inuenta, etiam huius formulae ---- integrale inueniri potest, existente n numero a cos. printegro ; quod fingendo integralis sorma commodissime praestari videtur: ponatur

. Porro fingatur

reperiturque

155쪽

similique modo inuestigatio ad maiores potestates continuari potest, labore quidem non parum taedioso. Sequenti autem modo negotium facillime expediri videtur.

Consideretur scilicet formula generatior

156쪽

Is a

Scholion 2.

26s. Occurrunt etiam eiusmodi formulae, in quas insuper quantitas exponentialis angulum ipsum o in exponente gerens, ingreditur, quas quomodo tractari oporteat, ostendendum videtur, cum hinc methodus reductionum supra exposta maxime illustretur. Hic enim per illam reductionem ad formulam propositae similem peruenitur, Vnde ipsum integraIecolligi poterit. In hunc finem notetur esse se Φ Θ Ο e φ.

Problema So.

tegrale inuestigare. . . '

Solutio.

Quare hanc postremam formulam cum prima coniungendo, elicitur:

157쪽

13 2

atque ad hos sequentes omnes, ubi n est numerus integer unitate maior, reducuntur.

Corollarium I.

26 . Ita si n m a, acquirimus hanc integrationem

Corollarium I.

26s. Si igitur determinatis hoc modo integralibus, statuatur a cl - eui, ut re φ evanescat, erit in genere

158쪽

CAPUT QCorollarium 7.

a G. Quare si proponatur haec series infinita

Problema 3I.

2 o. Formulae differentialis e*φ ὰφ cos integrale inuestigare.

Solutio.

Simili modo procedendo Vt ante , erit φ Θ φ eos. φ' l . φ cos. -- D'φ Θ o sin. φ eos. φ' r

Hinc ergo casus simplicissimi sunt

159쪽

ad quos sequentes omnes, ubi n est numerus integer positivus,

reducuntur.

Scholion.

a 't. Casib ns simplicissimis notatis, alia datur via Integrale sormularum propositarum , quin etiam huius magis patentis e*φ Θ o sin. π cos. φ', eruendi. Cum enim productiuns n. φ' eos. φ' resolui possit in aggregatum plurium sinuum vel cosinuum , quorum quisque est huius sormae Μ sin. λ . vel Μ cos. λφ, integratio reducitur ad alterutram harum formularum e*φ Θ Q sin. λῖ vel e φ ὸ φ eos. λ φ. Ponamus ergo λο ω, ut habemus φ δ φ eos. λ φ e λ μ δ ω sin. tu, etfφ ὰφ cos. λο α δ Θ ω cos. ω, quarum integralia per superiora ita dantur: f ολ Θωsin. Σπ

Vnde tandem colligimus:

160쪽

EVOLUTIONE INTEGRALIUM PER sERIES, SEcUΝ- DUM SINUS COSINUSUE ANGULORUΜMULTIPLORUΜ PROGREDIENTES. i

Problema 3a

ntegrale formulae per seriem, secundum sinus angulorum multiplorum progredientem, exprimere.

Solutio

Cum sit more consueto per seriem I - ncos p-- a cos. φ' - . cos. mcOLφ'- etc. potestates eosinus in eosinus angulorum multiplorum conuem tantur ope formularum in introductione traditarum: ac primo