장음표시 사용
181쪽
ubi numeri az plerumque tam erunt parvi, ut negligi
ΙU. Si haec determinatio non satis exacta Videatur, addantur quatuor eiusmodi expressiones es, B, C, D, sitque
293. EX inuento autem valore A sequens B satis e pedite reperitur, cum sit B α 'iniis A nδη - a A n. Quatenus ergo in A ingreditur membrum x-n eos M', Vel 1 -- nD , dum s omnes illos sinus et cosinus complectitur , inde pro B oritur
182쪽
as . Cognitis autem coessicientibus Aet B, quemadmodum sequentes omnes ex illis derivari possint, supra ostendimus. Iis vero inuentis integratio formulae do 1 - η cos. p 'per se est manifesta.
ass. Integrale formulae Θ φ l x -4- n eos et per sc-rtem secundum sinus angulorum et , a i , a Q, etc. progredia
Cum sitI I -- n cos. ζ n cos. φ - IV eos. Φ,'
τ etc. considerato ergo numero n ut variabili, erit
183쪽
hoc enim modo evanescente n, fit A I I zzz in Tum vero erit
integrali ita determinato ut evanescat posito n O. Quocirca pro binis primis terminis habemus:
ut si A l . At pro reliquis differentiemus aequationem assumtam
184쪽
185쪽
INTEGRALIA QUAECUNQUE PROXIME INVENIENDI.
Cum omnis formula integralis per se si in determinata, ea semper ita determinari solet, ut si variabili x certus quidam Valor, puta a, tribuatur, ipsum integrale F fXΘ x datum Valorem, puta obtineat. Integratione igitur hoc modo determinata, quaestio huc redit, si variabili x alius quicunque valor ab a diuersus tribuatur, valor, ' quem tum integrale νst habiturum, definiatur. Tribuamus ergo ipsi x primo valorem parum ab a discrepantem, puta x a --α, ut a stquantitas valde parua: et quia functio X parum variatur, siue pro x scribatur a siue a - - eam tanquam constantem specta re licebit. Hinc ergo formulae differentialis X Θ x integrale erit Xue -- Const. I; sed quia posito x 'a, fieri debet ' ' b, et valor ipsius X quas manet immutatus, erit Xa -- Const. T b, ideoque Const. ,-Xa, unde consequimur I b--X, - a . Quare si ipsi x valorem a -- α tribuamus, habebimus valorem conuenientem ipsius I, qui sit zzzb--β; ac iam simili modo ex hoc casu definire poterimus ν, si ipsi x tribuatur alius va-IOr parum superans a --α: Posito igitur a --α loco x, valor ipsius Disiti eo by Gorale
186쪽
ubi valores a , es , a, etc. secundum differentias valde Paruas procedere ponuntur. Erit ergo b bia Asa a), quippe in quam abit formula inuenta ' b --X x - a r fit enim X m A, quia ponitur xma, tum vero tribuitur ipsi x alor a , cui respondet b r smili modo erit δ' - ἐκ-- A a' - ; tum δ' - ν -- Α' etc. vii supra posuimus. Restituendo ergo valores praecedentes habebimus r
unde si x quantumuis excedet a, series a , H, am ete. er scendo continuetur ad x, et vltimum aggregatum dabit valorem ipsius y.
298. Si incrementa, quibus x augetur, aequalia sta- rarantur scilicet Iz α, ut sit a m a-α, H a-aα, a a 3 α, etc. quibus valoribus pro x substitutis functio X ab Z a at Diuitigoo by Gorale
187쪽
299. Ualor ergo integralis It per summationem seriei A, A , AV .... X, cuius termini ex formuIa X formantur,
tur. Summa enim illius seriei per disserentiam α multiplicata et ad , adiecta, dabit valorem ipsius y, qui ipsi x m a -- n α respondet.
soo. Quo minores statuuntur differentiae, secundum quas valor ipsius x increscat, eo accuratius hoc modo valor ipsius s definitur. Siquidem termini seriei A, A , M, etc. inde etiam secundum paruas differentias progrediantur, nisi enim hoc eueniat, illa determinatio nimis erit incerta.
3OI. Haec ergo approximatio ex doctrina serierum ita explicatur: Ex indicibus a, a , a G a V . . .. x formetur series A, A , A , A' .... X cuius ergo terminus generalis X ex sormula differentiali Θν- XΘx datur. Tum in hac serie sit terminus ultimum Prae cedens ci, respondens indicib; hincque noua formetur series A sa a ; A a a J; A' aD Ἀ x - x), cuius summa si ponatur 'S, erit integrale F zzzfXΘx αδ--S,
188쪽
so 2. Hoc modo integratio vulgo explicari solet, ut dicatur, esse summatio omnium valorum formulae differentialis XΘx, si variabit x successive omnes valores a dato quodam avsque ad x tribuantur, qui secundum differentiam Θx procedunt, hane differentiam autem infinite paruam accipi oportere. Similis igitur haec ratio integrationem repraesentandi est illi,
qua in Geometria lineae ut aegregare iris 'ἔρ--- ΗMDL 3Tum
coucipI solent, quae idea, quemadmodum si rite explicetur, admitti potest, ita etiam illi integrationis explicatio tolerari potest, dummodo ad vera principia, uti hic secimus, reuocetur, ut omni cauillationi occurratur. Ex methodo igitur exisposita utique patet, integrationem per summationem Vero proxime obtineri posse, neque vero exacte expediri, nisi differentiae infinite paruae, hoc est nullae, statuantur. Atque hoc sonte tam nomen integrationis, quae etiam summatio vocari solet, quam signum integralis L est natum, quae, re ben explicata, omnino retineri potant.
sos. Si pro singulis interuallis, in quae saltum ab aad x distinximus, quantitates A, A , AV, A', etc. reuera essent constantes, integrale fXδx accurate impetraremus. Eatenus ergo error inest, quatenus pro singulis illis interuallis istae quantitates non sunt constantes. Ac pro primo quidem intervallo, quo Variabilis x a termino a ad a procedit, A est valor ipsius X termino a conueniens, alteri autem termino aerespondet A ; unde quatenus non est A A, eatenus error
irrepit: cum igitur in istius interualli initio si X A, in fine autem X A , conueniret potius medium quoddam inter Aot assumi, id quod in correctione huius methodi mox tr denda obseruabitur. Interim hic notasse iuvabit, pari iure pro, Z a quo-
189쪽
quouis interuallo valorem tam finalem quam initialem capi posse, ubi simul hoc perspicitur, si altero modo in excessu
peccetur, altero plerumque in desectu errari. Ex quo hinc binas expressiones eruere licet, quarum altera Valo rem ipsius, a nimis magnum, altera nimis paruum sit praebitura, ita ut illae quasi limites veri valoris ipsius y constituant. Quemadmodum ergo rem repraesentavimus f. 3o I. Valor ipsius 3 zzz XV A is inita hos duos limites continebitur
Io . Iam notauimus interualla illa, per quae x successive increscere assumimus, ideo valde parua statui debere, t Valores respondentes A, A , AV, etc. parum a se inuicem discrepent: atque hinc potissimum 'iudicari oportet, utrum illa interualla af - a, - a aw-a', etc. inter se aequalia an inaequalia capi conueniat. Vbi enim valor ipsius X, mutando x, parum mutatur, ibi interualla, per quae x procedit, tuto maiora constitui possunt; ubi autem euenit, ut ipsi x levi mutatione inducta, functio X vehementer varietur, ibi interualla minima accipi debent. Veluti si sit X L-- , perspicuum est, ubi x proxime ad unitatem accedit, quantumuis paruum interuallum, per quod x augeatur, accipiatur, functionem X maximam mutationem pati posse, quia tandem sumto x I, ea adeo in infinitum excrescit. His igitur casibus ista approximatione pro eo saltem interuallo, in cuius altero termino X fit infinita, uti non licet; sed huic incommodo facile
remedium affertur, dum formula ope idooeae substitutionis in aliam transformatur, vel dum pro hoc saltem interuallo peculiaris
190쪽
pi I Iάη , Pro interuallo ab x I - ω ad x x illa meth do integrale non reperitur: at posito x m X - quia termini ipsius ae sunt o et dii, erit a quantitas minima , unde formula
erit m QR , cuius integrale pro inter loillo praebet partem integralis 6. Quod artificium in omnibus huiusmodi casibus adhiberi potest; ipsam autem metho. dum descriptam aliquot exemplis illastrari opus est.
sos. Integrati s fx' Θ x ira sumtum , ut evanescat posito x o, proxime exhihere. Hic est a o et b o , tum X-at', iam valores ipsius x a o crescant per communem differentiam α, ut sint
et terminus ultimum praecedens est x - M', quare integralis' far' δ x ae limites sunt