Leonhardi Euleri *Institutionum calculi integralis Volumen primum in quo methodus integrandi a primis principiis usque ad integrationem aequationum differentialium primi gradus pertractatur

191쪽

IS ac si in genere sit x , erimi limites:

quorum hic illum superat excessu -; unde patet si numerus

m sumatur infinitus, utrumque limitem verum integralis r

x ' δ esse praebiturum Valorem.

Corollarium I.

numerus z.

Corollarium α

192쪽

KIo x T, proxime exhibere. Erit ergo a m x et b m o , unde si ab a ad x inter vallum progressionis statuatur m α, erunt indices

et termini seriei

qui, quo maior accipiatur numerus m, eo propius ad valoremini gratis accedunt. Notandum autem

193쪽

as CAPUT VII. Corollarium I.

Corollarium 2.

axo. Cum prior progressio maior sit quam posteriot,

I Ierit

194쪽

CAPUT VII:

Corollarium S.

III. Ponatur 2 mo, et habebimus sequentis seriei summam proxime expressiam:

unde si O m I, erit proxime

Corollarium q-

a Ia. Hinc nascitur regula, logarithmos quantumuis magnorum numerorum proxime assignandi , dum series vulgares tantum pro numeris parum ab Vnitate differentibus, valenti, Scribamus enim u pro x - v, et habebimus

195쪽

CAPUT VII.

Vnde Iu eo accuratius definitur, quo maior sumatur nume

rus m.

Exemplum I.

a XI. Integrale F f ἔ-isa sumtum , ut evanescas posito x o, proxime exprimere. Hoc integrale ut nouimus, est y Ang. tang. ἴ , ad quem Valorem proxime exhibendum, est a m o, et b O ; si ergo valor ipsus x ab o per differentiam constantem α crescere statuatur, ob X ---, erunt eius Valores

pro indicibus o α 2 α

. . .

cuius terminus ultimum praecedens est X Σα

Quare integralis nostri a Ang. tang. - Valor Prori- me est

alter Vero proxime minor, quia hic est nimis magnus, est

Inter quos si medium capiatur , ibi α. I, hic Vero α. p λ- adiiciendo, propius erit

Pro hoc ergo angulo Valorem proxime Verum habemus

qui eo minus a veritate discrepabit, quo minor fuerit α numerus Diuitigoo by Gorale

196쪽

idque eo exactius, quo maior capiatur numerus c.

Corollarium I.

a1 . Si ponamus I, quo casu error insignis esse debet, fiet

Sit ora 1, erit Ang. tang. 1 - , - l hincque π m. a, quod non multum abhorret a vero; si ponamus ς a , prodit

sicque π si m 3, 1, propius accedens.

Corollarium 2.

ars. Sit c 6, eritque

197쪽

CAPUT VII.

Corollarium 3.

ax6. Sin autem ibi statim ponamus v m 1, erit. 6 GV -- - - -- πι - - -- εν -- ναὶ - ἔ, unde fit π 3, 13696 multo propius veritati ; plurium scilicet terminorum additio propius ad Veritatem perducit.

Problema M.

si . Methodum ad integralium Valores appropinqua di ante expositam, persectiorem reddere, ut minus a veritate

aberretur.

Solutio.

Sit γ fX 3 x formula integralis proposita, cuius Ualorem iam constet esse 1 h, si ponatur x a, siue is sit datus per ipsam integrationis conditionem, siue iam per aliquot operationes inde derivatus; ac tribuamus iam ipsi x valorem parum superantem illum a , cui respondet ' b, tum vero fiat X A, si ponatur x a. In superiori autem methodo assiimsimus, dum x parum supra a excrescit, manere X constantem mA, ideoque fore fXδx A x- a). At quatenus X non est constans, eatenus non est j X Θx in X se'

et si iam Ρ quamdiu x non multum a excedit, Vt co

valor iam propius ad veritatem accedit, etsi pro X et Ρ ii v IOres capiantur, quos induunt vel posito x a, vel posito a --α, maiore scilicet valore, ad quem hac operationex crescere statuimus: ex quo hinc prout vel x a vel x zzza --α ponimus, geminos limites obtinebimus, inter quos veritas subsistit. Simili autem modo ulterius progredi poteri

198쪽

CAPUT VII.

- R , - a ' - - S x-a β - ete. quae series vehementer convergit, fi modo x non multum saperet a, atque adeo si in infinitum continuetur, verum Valorem ipsius y exhibebit, siquidem in . sumstionibus X, P, Q,

R, etc. Valor eXtremus x a -F- α substituatnr. Nisi autem eam Priem in infinitum extendere velimus, praestabit per interualla procedere tribuendo ipsi x successive valores a , a , ari ari a V, etc. ac tum pro singulis valores litteris X, P, Q, R, S, etc. conuenientes quaeri oportet, qui sint, ut sequuntur rsi fuerit x a, H. a' a' aF, a , etc.

etc.

tum vero sit

quibus constitutis erit, ut ex antecedentibus colIigere licet :

199쪽

etc. etc.

quae expressiones eousque eontinuentur, donec pro valore ipsius x quantumuis ab initiali a discrepante, valor ipsius y obistineatur.

Corollarium I.

sI8. Haec igitur approximandi methodus eo utitur Theoremate, cuius veritas iam in calculo differentiali est demonstrata, quod si F eiusmodi fuerit functio ipsius x, quae posito x a, fiat b, ac statuatur

Corollarium ru

sis. Si hanc seriem in infinitum continuare vellemus, non opus esset, Valorem ipsius x parum tantum ab a diuese sum assumere. Verum quo ista sortes magis convergens re datur, expedit saltum ab a ad at in interulla dispesci, et pro singulis operationem hic descriptam institui. Corol. Diuitiam by Cooslu

200쪽

E APUT 'Corollarium 3.

asto. si valores ipsius x ah a per differenti εs eun- stantes α ς scere ues mus, sique Titimus o 4- η α x , ita ut si fuerit x m as

etc.

Scholion I.

aar. Demonstratio theorematis Coroli rio x. me morati, cui haec methodus approximandi innititur, ex natura differentialium ita instruitur. Sit ν iunctio ipsus x, quae po- sit . Festatas, fiat a zzzb; et quaeramus valorem ipsius y, si xvi cunque exced t a: incipiamus a Valore ipsius maximo, qui est x. st per gifferentisia descendamus; atque ex differentialibus patet: