장음표시 사용
201쪽
Ponamus nunc '- n3x a, erit u fT 8, ideoque mi mein rus infinitus; tum Vero Valor pro I resultans per hypothesin esse debet . b, quamobrem habebimus
s b- X x- - Ρ ae a ' -- ἰ Q ,-a - . . R ,-a '- est. Vnde patet, si x quam minime superet a, sum cere statui h--X x-a , quod est fundamentum approximationis primum propositae, illius scilicet limitis, quo X ex valore maiore ipsus x definitur.
asta. Quemadmodum hoc ratiocinium nobis alterum tantum limitem supra assignatum patefecit, ita ad alterum limitem hoc ratiocinium nos manu ducet. Scilicet, uti aute ab x ad a descendimus, ita nunc ab a ad x ascendamus Diuiligod by Corale
202쪽
Sit iam a n Θ a at, . seu n f, et valor ipsius h fiet r. Sint autem A, B, C, D, etc. Valores superiorum sunctionum X, P, Q, R etc. si loco x scribatur a , eritque pro
praesenti casu A A ; B '; C m ; etc. Quocirca
habebimus b-- A x --ay--IC x-Q'-- etc. quae series superiori praeter signa omnino est similis; ac si xt parum excedat a, vi b - A x - a) satis exacte valorem ipsius a indicet, hinc alter limes supra assignatus nascitur. Quodsi autem progressiam ab a ad x, ut supra f. a 2 o. in interualla aequalia secundum differentiam α dispescamus, et termini in singulis serie bus vltimos praecedentes notentur per X, Ρ, Q, R, etc. habebimus pro F quasi alterum limitem
ita ut etiam in hac methodo emendata binos habebimus limites, inter quos verus valor ipsius a contineatur. Propius e go alorem assequemur, si inter hos limites medium arithme-B b a ticum Disitirco by Gorale
203쪽
c APUT VILticum capiamus; unde prodibit
Atque hinc superiores approximationes tantum addendo me brum ἰ α' B - P , non mediocriter corrigentur.
asta. Logarithmum cuiusvis numeri x proxime exprimere. Hic igitur est quod integrale ita capitur, Ut evanescat posito x I: erit ergo ara I, b o et X I, Sumamus iam, ab unitate ad x per interualla 'α ascendi, et cum sit Ρ α 'Am - α; R L ;
204쪽
ast . si hae progressiones in infinitum continuentur, erit postremarum partium summa
Primarum vero ra I I m : unde cum sit
quae expressio adeo, si in infinitum continuetur, verum ValO- rem log. φ prae t.
a et s. Arcum circuli reius tangens es ' hac methodo proxime exprimere.
Quaestio igitur est de integrali 3 f ό, Em , qRod pQ
205쪽
quae sormae in infinitum continuatae dant
206쪽
tantnm illustrationis causa afferro, non Vt approximatio fac, lior, quam aliae methodi suppeditant, inde expectetur.
et pars e ' x evanescit, posito x o. Quaeramus ergo in-
tegrale et se φδx, quia eo inuento habetur a e x-z; ac supra iam ob ruauimus, alias methodos approximandi in hoc exemplo frustra tentari. Cum igitur, posito x Ο, eua
m -- etc. . quae series parum coniuergit, quicunque valor ipsi x tribuatur. Per interualla igitur a o usque ad x ascendamus, pomnendo Diuiligeo by Corale
207쪽
nendo pro x successive o, α, 2α, a α, etc. ubi notandum sore Amo, B m o, Cm o, D p, eici ac xegula nostra praebet:
Si hinc valorem ipsius a pro casu determinare veli. mus, et pro α stactionem paruam assumamus, habebimus:
Si hie pro u sumatur numerus mediocriter magnus vel ni Esi, valor ipsius et ad partem millionesimam Vnitatis exactus reperitur, ac vicies exactior prodiret, si pro n sumeremus 2o.
128. Hoc e emplum lassiciat eximium usum huius methodi approximandi ostendisse. Interim tamen Occurrunt easus, quibas ne hac quidem methodo uti Iicet, etiamsi t tam spatium, per quod variabilis x crescit, in minima intervalla diuidamus. Euenit hoc, quando functio X pro quopiam interuallo, dum variabili x certus quidam valor tribuitur, in infinitum excrescit, cum tamen ipsa quantitas integralis
3 ifX Θ x hoc casu non fiat infinitar veIuti si fuerit 3 mfoma, Mi quae posito fit infinita, in
208쪽
IIoc autem semper Usu venit, quoties huiusmodi factor a xin denominatore habet exponentem Unitate minorem, tum enim idem factor in integrali in numeratorem transit; sin autem eiusdem factoris exponens in denominatore est unitas, vel adeo unitate maior, tum etiam ipsum integrala casu x ast infinitum, quo casu quia approximatio cessat, hic tantum de iis sermo est, ubi exponens unitate est minor; quoniam tum approximatio reuera turbatur. Verum huic incommodo facile medela afferri potest, cum enim differentiale eiusmodi
seu et o , non amplius fit infinitum. Vel quod eodem redit, pro iis interuallis, quibus lanetio X fit infinita, integratio seorsim reuera instituatur, ponendo x maritis, tum enim formula XΘx satis fiet simplex ob tu valde paruum, Ut in tegratio nihil habeat dissicultatis. Veluti si valorem ipsius
per interualla ab x O Vsque ad x a - α, iam simus consecuti, pro hoc ultimo interuallo ponamus x a- ω, et integrari oportebit '. m. quod
quod si ad plures terminos continuetur, non solum pro vitimo interuallo sed pro duobus pluribusue postremis, ponendo ω a α vel ω aα adhiberi potest. Ρro quibus enim interuallis denominator iam fit satis paruus, praestat hac methodo Vti, quam ea quae ante est exposita.
209쪽
Interdum etiam illud incommodum occurrit, Vt duobus casibus evanescat, veluti si fuerit 3 , ubi variabilis x semper inter limites h et a
contineri debet, ita Vt cum a b ad a creuerit, deinceps iterum ab a ad b decrescat; interea autem integrale a continuo crescere pergat, cuius igitur valor per interualla commode determinari non potest. 'Hoc ergo casu in subsidium vocetur
quae nullo amplius incommodo laborat, cum angulum o continuo ulterius aequabiliter augere licet. Hoc etiam ad casus patet, ubi bini factores in denominatore non eundem habent expo-
210쪽
UALORIBUS INTEGRALIUΜ QUOS CERTIS TANTUM CASIBUS RECIPIUNT.
ntegralis j --- valorem , quem posito x m I recipit, assignare , integrali scilicet ita determinato, ut evanescat
Pro casibus simplicissimis , quibus m o Vel in m I , habemus posito x I, post integrationem
I; 1 - x x m--I I - xx unde a simplicissimis ad maiores exponentis m valores progre cliendo obtinebimus: