Leonhardi Euleri *Institutionum calculi integralis Volumen primum in quo methodus integrandi a primis principiis usque ad integrationem aequationum differentialium primi gradus pertractatur

221쪽

a I CAPUT VIII. Corollarium I. 1 6. si simili modo alia sormula sit Q n B,

posito x , at breuitatis gratia scribatur Q pro 1 - x' , habebimus

Corollarium α

Corollarium I.

222쪽

x Is

223쪽

reduci posse. Ponatur enim m et

integrale ita determinari debet, ut evanescat posito x Oideoque Σ O: tum vero posito x F, hoc est a m eia, dabit valorem, quo hic utimur. MOX autem ostendemus ValO

- per angulos exprimi posse, quorum Va- I -xI nlorea hie statim apposui. Deinde etiam notari meretur

haec transformatio oriunda, posito

-- Ita Integranda, ut

224쪽

Scholion 2.

aso. Hinc etiam formularum magis compositarum I tegralia pro casu arm I, per stries concinnas exprimi possunt. Cum enim in reductione superiori, posito m -- si seu - m , sit

225쪽

Vicissim ergo proposita hac serie

eius summa aequabitur huic formulae integrali

Problema 62.

as I. Integralis huius sormulae --- ita determi-

natum, ut posito x zz: O evanescat, valorem casu x as signare

Solutio.

IIuius sormulae integrale iam supra f. πτ. exhibuimus, et quidem ita determinatum, ut posito x o evanescat, quod posto breuitatis gratia E m ω , ita se habet:

ubi λ denotat maximum numerum imparem exponente u misnorem, ac si n fuerit ipse numerus impar, insuper accedit Pars Diuitired by Cooste

226쪽

pars 1 I 1 - , prout m fuerit vel numerus Impar, vel par; illo scilicet casu signum hoc vero signum - valet. Hic igitur quaeritur istius integralis valor, qui prodit posito x eo. Primo ergo partes logarithmos implicantes expend mus, et quia ob x cui est I KI-ax cos.λ ω - x x) l x-cosλ tu I x -- I r Ufes lx , ob o; unde partes Iogarithmicae praebent:

Ponamus hanc seriem cosinuum

At propter m numerum integrum, est sin. metr o, unde hae partes evanescunt. Sin autem sit n numerus impar, est λ n - 2, et summa partium logarithmicarum fit

at sin. 9-I m ω sin. m π- m tu α -- sin. m tu, ubi signum superius valet, si m sit numerus impar, contra vero inferius, quod idem de altera ambiguitate est tenendum, ita ut habeamus P . - y o. Perpetuo ergo partes logarithmicae se mutuo tollunt; quod etiam inde est perspicuum, quod alioquin integrale foret infinitum, cum tamen manifesto debeat esse finitum. iE e a Relin-Diuitigoo by Gorale

227쪽

Relinquuntur ergo soli anguli, quos in unam summam

quas seorsim in uestigenaus, ac pro posteriori quidem cum ante habuissemus

si angulum ta ut Variabilem spectemus, differentiatio praebet

ergo

Pro altera serie seup sin. m ω - sin. a m tu in sin. s m ω - . . . . H- sin. λ m is, multiplicemus utrinque per a sin. mae, fietque

228쪽

CAPUT VIII.

unde summa Omnium angulorum

quae ob n to 'r reducitur ad . Sive ergo exponens n sit positivus siue negativus, posito x habemus

229쪽

CAPUT VIILCorollarium I.

Vnde sequitur sore etiam sormulam , cui hanc aequari oste dimus:

Corollarium 2.

3sa. Percurramus casus simpliciores, pro utroque sor-n gel

iere, posito et in

230쪽

CAPUT VIII.

Corollariumas . Cum st

etc.

et loco E scribendo π - E erit quoque

Scholion.

ass. Pro formulis quantitates transcendentes continentibus supra iam praecipuos valores, quos integralia dum Variabili certus quidam valor tribuitur, recipiunt, euoluimus, ita It non opus sit huiusmodi formulas hic denuo examinare. Hinc autem intelligitur, eos valores integralis LX Θ x prae reliquis esset notatu dignos, ac plerumque multo succinctius exprimi posse , qui eiusmodi valoribus variabilis x respondent, quibus functio X vel fit infinita vel in nihilum abit. Ita integralia

sormularum ι -- et I - , Valores prae reliquis 1-x T 1--Σ memorabiles recipiunt, si fiat x ra x et x eo, ubi illius denominator evanescit, huius vero fit infinitus. Caeterum omni attentione dignum est, quod hic ostendimus, sormulae integra

ris i

Valorem casu a m c a tam concinue exprimi, t