Leonhardi Euleri *Institutionum calculi integralis Volumen primum in quo methodus integrandi a primis principiis usque ad integrationem aequationum differentialium primi gradus pertractatur

231쪽

adstructa, merito suspicionem excitat, eam via multo faciliorieonfici posse, etiamsi modus nondum perspiciatur. Id quidem manifestum est, hanc demonstrationem ex ratione sinuum a gulorum multiplorum peti oportere; et quoniam in introductione sin. P π per productum infinitorum factorum expressi, mox videbimus, inde eandem veritatem multo facilius deduci posse, etiamsi ne hanc quidem viam pro maxime naturali haberi velim. Sequens autem caput huiusmodi inuestigationi destinaui, quo valores integralium , quos Vti in hoc capite certo quodam casu recipiunt, per producta infinita seu ex innumeris factoribus constantia exprimere docebo; quandoquidem hinc insignia subsidia in Analysin redundant, pluraque alia incrementa inde expectari possunt. CA-Diuitigod by Corale

232쪽

llas

Problema G,

a 36. alorem huius integralis f, quem casu x I re eipit, in productum infinitum euoluere. .

Solutio.

Quemadmodum supra formulas altiores ad simplicem reduximus, ita hic formulam άi continuo ad altiores perducamus. Ita cum posito x in I sit x Θ v m -- x g x δ x- - Ι - , erit

v 1 - x I. a. s. I et i - 1μέ 1 - x x)atque adeo etiam si pro I sumatur numerus infinitus. Nunc simili modo a sormula I ascendamus, reperiemusque

233쪽

rationem aequalitatis esse habituras. Ex reductione enim principali perspicuum est, si in sit numerus infinitus, forec x ' Θx V a d x H Θ Θx

atque adco in genere quai

tumuis magna fuerit differentia inter μ et ν, modo finita. , si ponamus:

Cum igitur si f

unde colligitur spi JΞ;i ' quia producta Μ et N ex aequali factorum numero constant, si primum factorem producti Μ per primum factorem I producti N, secundum ἱ irulius, per secuntum 4 huius et ita porro diuidamus, fiet

vnde obtinemus pro cam x I, per productum infinitum,

Corollarium I.

Is . Pro valore ergo ipsius 'r idem productum infinitum elicuimus, quod olim iam Wallisius inuenerat, et cuius Diuitigoo by Gorale

234쪽

a Ius veritatem in Introductione confirmauimus, diuersissimis viis incedentes, erit itaque

Corollarium 2.

a s 8. Nihil interest, quonam ordine singuli factores in hoc producto disponantur, dummodo nulli relinquantur. Ita aliquot ab initio seorsim sumendo, reliqui ordine debito disponi possunt; veluti

I. sa

etc. vel etc. vel etc. velete.

quasi limites contineatur, qui cum sint inter se aequales, ne eesse est omnes formulas intermedias iisdem quoque esse ae F f a quales

235쪽

Cum enim sit

I - ae nhae sormulae posito m -sunt aequales; unde illarum quoque aequalitas casibus , quibus α. n , vel α a n , Vel α an etc. perspisitur; sin autem α medium quempiam v Iorem teneat formulae, ipsius quoque Valor medium quoddam tenere debet inter valores aequales, ideoque ipsis erit aequalis. Hoc igitur principio stabilito sequens problema resoluerapoterimuS.

Problema 4

asso.. Rationem horum duorum Integralium

Solutioia

Cum sit

rasu aerar, valor istius integralis ad integrale infinite remotum reducetur hoc modo :

ubi i numerum infinitum denotare assumimus. Simili autem modo Diuitiam by Corale

236쪽

CAPUT M.

2 2smodo pro altera formula proposita erit

atque hae postremae formulae integrales ob exponentes infinitos, aequales erunt, non obstante inaequalitate numerorum m et 11: tum Vero bina haec producta infinita pari facitorum numero constant. Quare si singuli per singulos, hoc est primus per primum, secundus per secundum dividantur, ratio binorum integralium propositorum ita exprimetur:

Corollarium L

a s r. si differentia numerorum m et μ. aequetur mulintipto ipsius η, in producto inuento infiniti factores se destruunt, relinqueturque factorum numerus finitus, Uti si μ. m--n habebitur :

quod reducitur ad

Corollarium 2.

362. Valor autem illius producti necessario est finitus, id quod tam ex sormulis integralibus, quarum rationemo primit, patet, quam inde, quod in singulis factoribus nu-F s a mera. Diuili od by Cooste

237쪽

meratores et denominatores sunt alternatim maiores et mi

Corollarium 3.

supra autem inuenimus productum harum binarum sormularum esse m I.

Problema 63-

a Valorem huius integralis fx ' Θx I-x ) n , quem Posito x I recipit, per productum infinitum expri

mere.

Solutio.

Cum in problemate praecedente ratio huius integralis ad

hoe alterum fa x n per productum infinitum sit assignata, in hoc exponens la ita accipiatur, Vt integrale e hiberi possit. Capiatur ergo μ n, et integrale sit 'hita determinatum, Ut posito x o evanescat: ponatur nunc, Ut conditio postulat, x r, et quia hoc integrale erit I, habebimus sormulae propositae integrale casu x I, ita ex pressum

quod singulos factores partiendo ita repraesentari potest

238쪽

Corollarium I.

16s. Cum in hac expressione litterae m et E sint per mutabiles, sequitur etiam, haec integralia posito x I. inter se essu aequalia :fx 'δ Θ x x - x ) n f Θ x r - x di quam aequalitatem iam supra f. 3 9. elicuimus.

Corollarium Q.

Quod productum etiam hoc modo exponi potest

etc. etc.

quod ergo etiam 'exprimit valorem ipsius

Corollarium 3-a6 . Vel si simp)iciter ponamus h In - m, set

239쪽

Scholion I.

quae reducitur ad hanc formam

et pro h suo valore restituto

unde manifesto pro

idem reperitur productum, quod valorem nostrorum integralium exprimit, sicque nouam habemus demonstrationem pro Theoremate illo eximio supra permultas ambages euicto, emcrx Θx ix δ x tz 'HΣ Θ Σ

240쪽

Scholion 2.

a G. Quo nostra formula latius pateat, ponamus L - E seu h Est, et nanciscemur fae Θ x x - x

in qua expressione litterae nr, n et μ, ν sunt permutabiles, praeterquam in primo factore, qui cum reliquis lege contianuitatis non connectitur; ac si per n multiplicemus, permuta bilitas erit persecta, unde concludimus forenyx ' Θae r VfH' x x α'

quae aequaIitas casu ν n ad supra obseruatam reducitur. Caeterum iuuabit casus praecipuos perpendisse, quos ex Valoribus μ et ν desumamuS.

Exemplum I.

ete.

quae expressio ita commodius repraesentatur:

inde sequentes casus specialissimi deducuntur