Leonhardi Euleri *Institutionum calculi integralis Volumen primum in quo methodus integrandi a primis principiis usque ad integrationem aequationum differentialium primi gradus pertractatur

241쪽

siue

a -- . - .

s. I. I. 14

6 etc.

. s. Ia

siue

D. 1513. Ip

242쪽

c APUT IX.

Exemplum I.

unde sequentes casus speciales deducuntur r

- etc.

m. Ia

243쪽

s. Q

etc.

II. Ir

. lles' etc.

II. II

II. Is

Atque in his et praecedentibus iam casus μ m a et ν est contentus.

a τ . Caeterum hae sormulae, in quas litteras la et ν introduxi, latius non patent quam primum consideratae, series enim pendent a binis Dactionibus et quae cum sem-Per ad communem denominatorem reuocari queant, formuIas ν δ Y Θ xk y Θ x

perpendisse lassiciet. Cum igitur earum Valor casu x zzz I aequetur huic producto

. etc.

244쪽

CAPUT IX.

a s in singulis membris factores numeratorum permutemus, et membra aliter partiamur, idem productum hanc induet sormam

illam formam per hanc diuidendo , erit

cuius omnia membra eadem lege continentur. Hinc autem eximiae comparationes huiusmodi formularum deduci possitnt, quae quo facilius commemorari queant, breuitatis causa sequenti scriptionis compendio Vtar.

Definitio.

a s. Formulae integralis f x' s x r-x n valorem, quem posito x I recipit, breuitatis gratia hoc signo a J indicemus, ubi quidem exponentem n , quem in compseratione plurium huiusmodi formularum eundem esse assumo , subintelligi oportet.

Corollarium I.

a 6. Primum igitur patet esse et Viramque formulam esse

245쪽

CAPUT IX.

quorum membrorum progressio est manifesta , dum snguli factores tam numeratoris quam denominatori S continuo eodem numero n augentur, ita Vt ex cognito Primo membro sequentia facile formentur.

Corollarium 2.

a v. Deinde si sit p m n, ob formulam integrabilem

Qnare valor sormulae absolute assignari potest, quoties fuerit vel p n, vel q η, Vel p - ρ n.

Corollarium 3.

a 8. Quia etiam inuenimus hanc reductionem

Vnde semper numcri p et ρ infra n deprimi possunt.

Problema q6.

246쪽

23 9

Solutio.

Quaerantur ergo numeri a, b, c, d, et p,-r, . , Ut fiat iis quod cum sit

e ueniet, si fuerit

ita ut, cum utrinque sex sint fuctores , singuli singulis sint aequales. Ex quaternis ergo a b c d et p q r s binos ad minimum aequales esse oportet: sit itaque s d essicique oportet

I. Sumatur alter factor r, qui cum ipsi e aequari nequeat, quia alioquin fieret ' - . , statuatur r b, ut fiat

Hic neque p neque q ipsi p - q aequari potest, poni ergo

debet.

247쪽

Corollarium I.

ago. Hac solutiones eodem sere redeunt, indeque tria producta binarum sormularum, ac qualia eruuntur:

Corollarium a.

a 8 I. Si hae sormulae in producta infinita euoluantur, reperietur

248쪽

Corollarium I.

asa. Restituamus ipsas formulas integrales, et sequentla tria producta erunt inter se aequaliat xy' x

283. Hic casus notatu dignus, quo p -- q zzzn , tum haec tria producta fient

a 8 . Triplex ista proprietas productorum ex binis sormulis maxime est notatu digna, ac pro variis numeris loeop, r substituendis obtinebuntur sequentes aequalitates sp ciales:

249쪽

Quae formulae pro omnibus numeris n Valent, ac si numeri maiores quam n occurrant, eos ad minores reduci posse supra vidimus.

38s. Inuenire producta diuersa ex ternis huiusmodi formulis, quae inter se sint aequalia.

Solutio. Consideretur productum t era mira , quod

euolutum praebet:

quo eundem Valorem retinere euidens est, quomodocunque quatuor litterae inter se commutentur. Tum vero eadem euo

Iulio prodit ex hoc producto: 2 ins , ubi eadem

250쪽

I Spermutatio loeum habet. haec producta: Aequalia ergo sunt inter se omnia

Producta alterius sormae ope praecedentis proprietatis hine sponte fluunt: est enim

Deinde vero etiam hoc productum t ira euol tum pro primo membro dat: ρ' - , in quo tam p et r, quam g et s inter se permutare licet, ita ut sit

Scholion.

186. Quantumuis late haec patere videantur, tamen nullas nouas comparationes suppeditant, quae non iam in prae cedenti contineantur. Postrema enim aequalitas

oritur ex multiplicatione harum

Priorum vero formatio ex hoc exemplo patebit,

oritur ex multiplicatione harum