Leonhardi Euleri *Institutionum calculi integralis Volumen primum in quo methodus integrandi a primis principiis usque ad integrationem aequationum differentialium primi gradus pertractatur

251쪽

Istae autem comparationes praecipue utiles sunt ad valores diaversarum formularum eiusdem ordinis seu pro dato numero uinuicem reducendos, Ut integratio ad paucissimas reuocetur, quibus datis reliquae per eas definiri queant.

Problema 68

κ 1 contentorum reduci queat.

Solutio.

Primo est 4 - , unde habentur hi casus

Deinde est I Vnde omnium harum formu-

Iarum Valores sunt cogniti, quas indicemus:

Verum hi non lassiciunt ad reliquos omnes expediendOS, prae terea tanquam cognitos spectari oportet hos:

atque ex his reliqui Omnes determinari poterunt ope aequationum supra demonstratarum; unde potissimum has notasIeiuvabit:

Ex harum prima posito a b -- I inuenitur

252쪽

Ex tertia posito b-x deduςitur

sicque reperiuntur omnes formulae , et ex his porro ponendo h a in tertia

unde reperiuntur sormae P - , et ita porro omnes R), quippe quae forma omnes complectitur. Labor autem per priores aequationes non mediocriter contrahitur. Inuenta enim

ex secunda vero

similique modo ex inuentis formulis derivantur hae

niuntur

253쪽

Ex aequatione vero in formulae

339. Aequatio

praebet

Corollarium 3.

39o. Tum aequatio

Εxemplum I. Casus in hac forma f ----- m

254쪽

26 eontentos, ubi n m a CH es Manifestum est has sormulas omnes vel algebraice vel per angulos expediri, his tamen reguIis Utentes, quia numerip et q binarium superare non debent, unam formulam a cim culo pendentem habemus ς g α α, unde nostri casus erunt:

Hic casus principales, ad quos ceteri reducuntur, sunt

qua concessa erunt reliqui:

Exemplum I.

255쪽

st S

A circulo pendent hae duae

praeterea Vero Vna transcendente singulari opus est unde reliquae ita determinantur:

Exemplum 6.

contentos, ubi n s, euoluere, ubi es 'SE R). A circulo pendent hae duae formulae :

praetor quas duas nouas inanscendentes assumi oportet

per quas omnes sequenti modo determinantur

256쪽

CAPUT IX.

Exemplum S.

as s. Casus in hac forma I

eontentos, Chi G, euoluere.' A circulo pendent hae tres formulae r

tum vero assumantur hae duae transcendentes:

atque per has omnes sequenti modo determinantve

Scholion.

as S. Has determinationes quousque libuerit, eontinuare licet, in quibus praecipue notari debent casus nouas transcendentium species introducentes; quorum primus occumrit si u a, estque ἰ)-f----, cuius Valorem per Pr

ductum infinitum supra vidimus esse l. . 2'. ' ' etc.

I iquod

257쪽

quod ex formula , ob n a, etiam est

Deinde cx classe n nascitur haec noua forma transcenis dens:

quae aequatur huic producto infinito

Ex classe n s impetramus duas nouas formulas transcendentes f IZ f i . Q. Tin . ' etc. et

sumto a m x x et z ra x . Notandum autem est inter has et primum et f. - m a ἰ relationem dari,

258쪽

PARS PRIMA,

METHODUs INURSTIGANDI FUNCTIONES UNIUs VARIABILIS EX DATA RELATIONE QUACUNQUE DIFFERENTIALIUM PRIMI GRADUS.

SECTIO SECUNDA,

INTEGRATIONE AEQUATIONUM DIFFERENTIALIUM.

260쪽

SEPARATIONE VARIABILIUM

Desinitio.

g. 39 . n. aequatione differentiali separatio variabilium locum habere dicitur, cum aequationem ita in duo membra dispescere licet, ut in utroque unica tantum variabilis eum suo differentiali insit.

Corollarium I.

398. Quando igitur aequatio differentialis ita est comparata, ut ad hanc sormam reduei possit, inqua X functio sit solius ae et Y solius 3, tum ea aequatio separationem variabilium admittere dicitur.

Corollarium I.

ass. Quodsi P et X functiones ipsius x tantum, at Q et Y sunctiones ipsius y tantum denotent, haec aequatio PYΘx QXΘs separationem variabilium admittit, nam per XY diuisa abit in Ma, in qua variabiles sunt separatae.

Corollarium 3.

oo. In forma ergo generali V, separatio V riabilium locum habet, s V eiusmodi fuerit functio ipsarum A Ota, ut in duos factores resolui possit, quorum alter solam I i a Vari