장음표시 사용
261쪽
variabilem de, alter solam ' contineat. Si enim sit V et XY, inde prodit aequatio separatu Q - XΘx.
or. Posita differentialium ratione in hac sectione eiusmodi relationem inter x , γ et p considerare instituimus, qua p aequetur functioni cuicunque ipsarum ae et r. Hic igitur primum eum casum contemplamur, quo ista sunctio in duos factores resoluitur, quorum alter est sumitio tantum ipsius x et alter ipsius I, ita Vt . aequatio ad hanc so mam reduci possit XΘx Yῖν, in qua binae variabiles a se inuicem separatae esse dicuntur. Atque in hoc casu sormulae simplices ante tractatae continentur, quando Y I, ut sit XΘx, et a fXΘx, ubi torum negotium ad integrationem formulae X Θ x reuocatur. Haud maiorem autem habet dissicultatem aequatio separata X Θ x Y Θ quam perinde ac formulas simplices tractare licet, id quod in sequente problemate ostendemus.
ciet. Aequationem differentialem, in qua variabiles sunt separatae, integrare, seu aequationem inter ipsas variabiles inuenire.
Aequatio separationem variabilium admittens sempor ad hane sormam Y 33 X Θx reducitur; ubi Xδx tanquam disinferentiale iunctionis cuiusdam ipsius x et Y Θ a tanquam differentiale funistionis cuiusdam ipsius y spectari potest, cum igitur differentialia sint aequalia eorum integralia quoque aequa lia eme, vel quantitate constante disserre necessie est. Integrentur ergo per praecepta superioris sectionis seorsim ambae foris mulae, Diuitiam by Corale
262쪽
2ssmulae, seu quaerantur integralia fY et LXδx, quibus inventis erit utique s Y ΘF f X d x His Const. qua aequationeralatio finita inter quantitates x et I exprimetur.
o a. Quoties ergo aequatio differentialis separationem variabilium admittit, toties integratio per eadem praecepta, quae supra de formulis simplicibus sunt tradita, absolui potest.
o . In aequatione integrali fYυ :fXΘx - - Const. vel ambae iunctiones fYΘ3 et 1 XΘx sunt algebraicae, vel
altera algebraica, altera vero transcendens, vel ambae transcendentes, sicque relatio inter x et a vel erit algebraica, vel transcendens.
os. In separatione variabilium a nonnullis totum sundamentum resolutionis aequationum differentialium constitui soritet, ita ut cum aequatio proposita separationem variabilium non admittit, idonea substitutio sit in uestiganda, cuius beneficio nouae variabiles introductae separationem patiantur. Totum ergo negotium huc reducitur, ut proposita aequatione differentiali quacunque, eiusmodi substitutio seu nouarum vari bilium introductio doceatur, ut deinceps separatio variabilium locum sit habitura. Optandum utique esset, ut huiusmodi methodus pro quouis casu idoneam substitutionem inueniendi aperiretur; sed nihil omnino certi in hoc negotio est compe tum, dum pleraeque substitutiones, quae adhuc in usu suerunt, nullis certis principiis innituntur. Deinde autem vari bilium separatio non tanquam verum iundamentum omnis integrationis spectari potest, propterea quod in aequationibus differentialibus secundi altiorisve gradus nullum usum praestat; insta Diuisigod by Corale
263쪽
insta autem aliud principium latissime patens sum expositurus. In hoe capite interim praecipuas integrationes ope separatio nis variabilium administratas eXponere operae pretium videtur; quandoquidem in hoc arduo negotio, quam plurimas methodos cognoscere, plurimum interest.
o6. Aequationem differentialem P Θ ae zz Q Θ1, in qua P et Q sint functiones homogeneae eiusdem dimensionum numeri ipsarum x et , ad separationem variabilium reducere, eiusque integrale inuenire.
Cum Ρ et Q sat functiones homogeneae ipsarum x et ' eiusdem dimensionum numeri, erit L sunctio homogenea nullius dimensionis, quae ergo positos ux abit in functionem ipsius v. Ponatur igitur Fz ux, abeatque in V sunctionem ipsius u , ita ut sit Θ3 UΘτ. Sed ob γ ux, fit 33 u Θ x -- x Θ u, qua substitutione nostra aequatio induet hanc sormam uΘx--xΘu UΘx, intex binas variabiles x et u , quae manifesto sunt separabiles. Nam dispositis terminis Θ x continentibus ad Fnam partem , habeturae 3 u U - u) δ x, ideoque , quae integrata dat Ix festa, ita ut iam ex variabili u determinetur x, Vnde Porro cognoscitur I v x.
O . Quodsi ergo integrale f - etiam per Iogarithmos exprimi possit, ita ut Ix aequetur togarithmo sunctionis cuiuspiam ipsius u , habebitur aequatio algebratae inter x et v, ideoque pro u posito valore Z, aequatio algebraica
inter x et D Diuitigoo by Gorale
264쪽
o S. Cum sit F ux, erit II I u -- I x, ideoque cum sit I x f -- , erit quibus integralibus in unum reductis, fit Ir f Verum hic notandum est, non in utraque integratione pro I x et is constantem arbitrariam adiicere licere; statim enim atque alteri integrali est adiecta, simul constans alteri adiicienda definitur, cum eme debeat IF I x --- I u.
ob hoc posterius membrum per togarithmos integrabile, erit
ro. Quoniam haec methodus ad omnes aequationes homogeneas patet, neque etiam ob irrationalitatem, quae sorte in functionibus Ρ et Q inest, impeditur, imprimis est aestimanda, plurimumque aliis methodis anteferenda, quae tantum adaequationes nimis speciales sunt accommodatae. Atque hinc etiam discimus omnes aequationes, quae ope cuiusdam substitutionis ad homogeneitatem reuocari potant, per eandem me thodum tractari posse. Veluti si proponatur haec aequatio δα-Σ Σ Θ x 'H, statim patet posito z eam ad hanctiomogeneam - fa, seu xx - ara reduci. Caeterum non dissiculter perspicitur, utrum aequatio proposita huiusmodi substitutione ad homogeneitatem perduci
265쪽
assqueat ' Plerumque, quoties quidem seri potest, lassicit ha
positiones x Q et 3 O' tentasse, ubi facile iudicabitur, num exponentes m et n ita assumere liceat, ut ubique idem dimensionum numerus prodeat, magis enim complicatis substitutionibus in hoc genere vix locus conceditur, nisi sorte quasi sponte se prodant. Methodum autem integrandi hic expositam aliquot exemplis illustrata iuuabit.
266쪽
I a. Proposita aequatione disserentiali homogenea
ubi iidem casus, qui ante, sunt considerandi, prout scilicet Κλ a den
267쪽
eius integrale invenire. Hic ergo est P et posto F ux, Pro. dii ti Θ x - x δ u I - a u uo Θ at, ideoque - - u aet Ix f---, cuius euolutioni non opus est im
Is. Proposita aequatione Merentiali homogenea
268쪽
IG. Huc etiam functiones transcendentes numerari possunt, modo afficiant functiones nullius dimensionis ipsarum x oty, quia posito F v x simul in functiones ipsius u abeunt. Ita si in aequatione P dxta Θ , praeterquam quod Pet Q sunt functiones homogeneae eiusdem dimensionum numeri, insint huius m odi formulae
methodus exposita pari successu adhiberi potest, quia posito I ux ratio aequatur lanctioni solius nouae variabilis α
I . Aequationem differentialem primi ordinis
ad separationem variabilium reuocare et integrare.
269쪽
2 6aquae cum si homogenea et cum exemplo O. 41 a. conueniat, integratio iam eli expedita. Verum tamen casus existit, quo haec reductio ad homogencitatem locum non habet, cum fuerit βζ- γε o, quoniam tum introductio nouarum variabilium t et u tollitur. Hic ergo casus peculiarem requirit solutionem, quae ita instituatur; quoniam tum aequatio proposita eiusmodi formam est habitura
, ubi variabiles manifesto sunt sepa-δαις - '- cuius integratio lo-
garithmos inuoluit, nisi sit γ- -ng O, quo casu algebraice
I 8. Aequatio ergo differentialis primi ordinis, uti Vocatur, in genero ad homogeneitatem reduci nequit, sed casus, quibus γε, inde excipi debent, qui etiam ad aequationem separatam omnino diuersam deducunt.
Corollarium 2. x s. si in his casibus exceptis sit n o, seu haec proposita si aequatio δ 3 d x α -- β x -- PF , posito β x--ν Σ, ob I, haec Oritur aequario Θx --, cuius integrale est v x - I ' η - I ' H β γ - γ , seu
270쪽
2 o. Proposita aequatione differentiali huiusmodi: ΘΙ - ΡΙΘ de Truda in qua P et Q sint lanctiones quaecunque ipsius x, altera autem variabilis a cum suo differentiali nusquam plus una habeat dimensionem, eam ad separationem variabilium perducere et intcgrare.
Quaeratur eiusmodi functio ipsius x, quae sit X, ut ficta subiti tutione F zzz X u aequatio prodeat separabilis: Tum
quam aequationem separationem admittere euidens est, si fuerit ΘX PXΘat m o, seu P - PΘae, unde integratio dat IXα-fΡΘx et X e 1y- ; hac ergo pro X sumta functione, aequatio nostra transformata erit X Θ u QΘx, seu δu QΘx, unde cum P et Q sint functiones datae ipsius se, erit u feI' - Q Θ x Quocirca aequationis propositae integrale est 3 α 'I'- fe/y- QΘx.
21. Resolutio ergo huius aequationis 33 --Ρ ν δ κα QΘx duplicem requirit integrationem alteram sermulae fPδx, alteram formulae fef' - QΘx. Sufficit autem in posteriori constantem arbitrariam adiecisse, cum valor ipsus νPlus una non recipiat. Etiamsi enim in priori loco I P daescribatur IP ῖ x -- C , formula pro I manet eadem. Corou