장음표시 사용
271쪽
22. Dum ergo rmula ΡΘx integratur, sufficit eiusmtegrale particulare sumi, id coque constanti ingredienti eius-ni odi valorem tribui conuenit, ut integralis serma fiat simplieissima.
23. En ergo aliud ac quationum genus non minus late patens quam praecedens homogenearum, quod ad sep lationem variabilium perduci, 'hocque modo integrari potest. rede autem in Analysin maxima utilitas redundat, cum hic litterae Ρ et Q sinctiones quascunque ipsus x denotent. Hoc ergo modo manifestum est, tractari posse hanc aequationem ΚΘx--P33a zz QΘx, si etiam R functionem quamcunque ipsius x denotet, facta enim diuisione per R mrma proposta prodit, modo loco P et Q. scribatur et L, ita ut integrale futurum sit
Ad huius problematis illustrationem quaedam exempla adiicia
272쪽
23. Si ergo constans C sumatur m o , habebitur inintegrale particulare 3 x -n x - - η n - I) xη - η γ - I γ - 2 x - - etc. quod ergo est algebraicum , dummodo n sit numerus integer positivus.
e 6. Si integrale ita determinari debeat, ut posito x O, Valor ipsius a evanescat, constans C aequalis sumi debet ultimo termino constanti sgno mutato, unde id semper
et . Proposita aequatione differen tali 1 - atae 3F-x Θ x a Θ x eius integrale inuenire. Aequatio ista per x - x x diuisia ad hanc formam rein ducitur Θa -- La ita ut sit Ρ α φ - ; O m --- :hinc fΡΘx - IV I - x M, et.' - φ m , ex quo integrale reperitur:
273쪽
28. Proposita aequatione disserenitali ΘF - - a Θ x, eius integrale inuenire.
274쪽
separationem variabilium reducere et integrare.
Haec aequatio posito et statim ad formam modo
tractatam reducitur, nam ob - - , aequatio nostra pera diuisa , scilicet v P d x Q ν' Θ x, statim abit in -
Tractari autem potest ut praecedens, quaerendo eiusmo di lanctionem X, ut sacta substitutione I m. X u prodeat ae quatio separabilis: prodit autem X Θ u - - u Θ X - - Ρ X u Θ x - X Q Θ x. Fiat ergo Θ X - -- Ρ X δ x o, seu Xα σέ φ, eritque
275쪽
ao. Hic ergo casus a praecedente non differre est censendus, ita ut hic nihil noui sit praestitum. Atque haec duo genera sunt sere sola , quae quidem aliquanto latius pateant, in quibus separatio variabilium obtineri queat. Caeteri casus, qui ope cuiusdam substitutionis ad variabilium separationein praeparari possunt, plerumque sunt nimis speciales, quam ut insignis usus inde expectari possit. Interim tamen aliquot casus prae caeteris memorabiles hic exponamus.
a I. Proposita hac aequatione differentiali αγ δ x -- β x da -- x' γ' PF Θ x -- δ x Θs) o, eam ad separationem Variabilium reducere , ct integrare.
Tota aequatione per xa diuisa, nanciscimur hanc so
unde statim has substitutiones xμα ι et x u insignivsu non esse carituraq, colligimus: inde enim sit
hincque aequatio nostra -- x I' . o. At ex substit tione sequitur xαε - β γ - et Y β γ - Q ι' , ideoque
276쪽
Vn - δm αn - gmVbi tantum superest ut restituantur valores t et uix F . Caeterum notetur, si fuerit vel γ n-δm o vel αn - β m o, loco illorum membrorum vel Iι vel tu scribi debere.
32. Ad aequationem propositam ducit quaestio, qua eiusmodi relatio inter variabiles x et a quaeritur, ut fiat D d x m a xa - - b x γ' - ν; ad hanc enim resoluendam differentialia sumi debent, quo Prodita Θx-axυ -- Θx--bx m--Σ ΙΘx--γ-- I)xDI, qua aequatione cum nostra forma comparata, est α - a - I, β T a, VT m 1 b, et δ α n -- a ' ergo
a 3. Proposita hac aequatione disserentialia Θ3 - - 33 a -- h x -- n x x) 'I Θ x e-n x , eam ad separationem variabilium reducere, et integrare.
277쪽
. tentetur haec. Cum hinc sit 'l ae κακ
quae per c H-nx - u multiplicata manifesto est separabilis, proditque
cuius ergo integratio per togarithmos et angulos absolui potest. Casu autem hic vix praeuidendo euenit, ut haec substitutio ad votum successerit, neque hoc problema magnopere iuvabit.
a . Propositam hanc aequationem differentialem
'I kδε - - καὶ 'ad separationem variabilium reducere, et integrare.
Ob irrationalitatem duplicem vix ullo modo patet, cuiusmodi substitutione uti conueniat. Eiusmodi certe quaeri conuenit, qua eidem fgno radicati non ambae variabiles simul implicentur. Ad hunc scopum commoda videtur haec substitutio Diuitigoo by Cooste
278쪽
loribus in nostra aequatione substitutis, prodit - uΘx I--uu --uΘu ἶ--xx nΘx I-uu I --uέ, quae manifesto separationem variabilium admittit: colligitur scilicet
quae aequatio posito 1 - uu G, concinnior redditur
et ope positionis ι sublata irrationalitate,
cuius integratio nulla amplius laborat dissicultate.
4as. In hoc casu praecipue substitutio a fi
tari meretur, qua duplex irrationalitas tollitur: unde operae pretium erit videre, quid hac substitutione generaliori praestari possit a UMI ; inde autem sit
ac iam saci Ie perspicitur, in cuiusmodi aequationibus haec substitutio usum afferre possit; eius scilicet beneficio haec duplex irrationalitas reducitur ad hanc simplicem μ' hquam porro facile rationalem reddere licet. Atque hic sere sunt casus, in quibus reductio ad separabilitatem locum inuenit, quibus probe perpensis, aditus facile patebit ad reliquos casus, qui quidem etiamnum sunt tractati; unicam vero adhuc
279쪽
2 2 investigationem apponam circa casus, quibus haec aequatio Θ ν--yy Θx ax Θx separationem variabilium admittit, quandoquidem ad huiusmodi aequationes frequenter peruenitur, atque haec ipsa aequatio olim inter Geometras omni studio est agitata.
36. Pro aequatione ΘΙ --F 1 Θ x a x Θ x valores exponentis in definire, quibus eam ad separationem vari bilium reduce licet.
Primo haec aequatio sponte est separabilis casu m o, tum enim ob δ) Θ x a -FI , fit δ x . --Τ-ς Omnis ergo in uestigatio in hoc versatur, ut ope substitutionum alii
casus ad hunc reducantur.' Ponamus 1 α L, et si - bΘΣ -- bbΘx ax zzΘx, quae sorma vi propositae similis euadat, statuatur x ' I,
quae sumto h - , ad similitudinem propositae propius ac-
cedit, ut sit 3 Σ - - Σ Σ Θ t Θ t. Si ergo haec esset separabilis, ipsa proposita ista substitutione separabilis fieret et vicissim; unde concludimis, si aequatio proposita separationem admittat casu m n, eam quoque esse admissuram casu m Hinc autem ex casu m O alius non reperitur. Pona Diuitigoo by Cooste
280쪽
st nune x f et fit 3 α -- α α δ t a ι ' Θ t, quae eum propositae sit similis, discimus, si separatio succedat casu mzn,
a . Quodsi ergo fuerit vel ni' .es, vel mzaequatio ΘΙ--FFῖx a x' δ x per aliquot substitutiones repetitas tandem ad formam δα - uuὸς cῖο, cuius separatio et integratio constat, reduci potest.