Leonhardi Euleri *Institutionum calculi integralis Volumen primum in quo methodus integrandi a primis principiis usque ad integrationem aequationum differentialium primi gradus pertractatur

281쪽

gradu inferior est censendus.

Corollarium 3

qui casus denuo uno gradu inferior est.

Corollarium 4.

6 O. OmneS ergo casus separabiles hoc modo inuenti, Pro exponente m dant numeros negati uos intra limites oet contentos, ac si i sit numerus infinitus, prodit casus m - 2, qui autem per se constat, cum aequatio ΘΙ-Θ

Scholion I.

I. Aequatio haec ΘΙ --II 3 x a x 3 x vocari solet Riccatiana ab Auctore Con ite Riceati, qui primus caius separabiles proposuit. Hic quidem eam in forma simplicissima exhibui, cum eo haec ΘF - - A a 3 ι' δ ι B ιδ δ ι, ponendo A ιμ δ ι -δ x et A μ --I at, statim reducatur. Cae terum etsi binae substitutiones, quibus hic sum usus, sunt simplicissimae, tamen magis compositis adhibendis nulli alii casus separabiles deteguntur: ex quo hoc omnino memorabile est visum, hanc aequationem rarissime separationem admittere, tametsi numerus casuum, quibus hoc praestari queat, reuera sit infinitus. Caeterum haec inuestigatio ab exponente ad siπplicem Disiligoo by COOste

282쪽

quae ergo aequatio, quoties fuerit En far, seu numerus par tam positivus, quam negativus, separabilis reddi potest, ita ut haec aequatio Θα --Σ Σ Θ ι a Θ tsemper sit integrabilis. Si praeterea Ponatur et u Doritur δυ--uwΘCra a δ ι- les LGILSet pro casibus separabilitatis m , habebitur Θu-uvδι - σὸ ι -- ' i. Vberiorem autem huius aequationis euolutionem, quandoqui dem est maximi momenti, in sequentibus docebo; ubi integratione aequationum differentialium per series infinitas sum actitrus, hinc enim sacilius casus separabilcs eruemus, simulque integralia assignare poterimus.

Scholion 2.

q. a. Ampliora praecepta circa separationem variabilium, quae quidem usum sint habitura, vix tradi posse videntur, Vnde intelligitur in paucissimis aequationibus differentialibus hanc methodum. adhiberi posse. Progrediar igitur ad aliud principium explicandum, unde integrationes haurire liceat, quod multo latius patet, dum etiam ad aequationes differentiales altiorum graduum accommodari potest, ita Vt in eo Ve-M m a rus Diuitigoo by Gorale

283쪽

rus ae naturalis sons omnium integrationum eontineri videa. tur. Istud autem principium in hoc consistit, quod proposita quacunque aequatione differentiali inter duas variabiles, seminper detur functio quaedam, per quam aequatio multiplicata fiat integrabilis. Aequationis scilicet omnia membra ad eandem partem disponi oportet, ut talem sormam obtineat ΡΘat .Qὸν o; ac tum dico semper dari laninionem quandam vriabilium x etF, puta V, ut facta multiplicatione, formula VPδa --V QΘF integrabilis existat, seu ut verum si disserentiala ex differentiatione cuiuspiam functionis binarum variabilium x et Inatum. Quodsi enim haec lanistio ponatur S, ut sit δS T

ΘS o, ideoque S Const. quae ergo aequatio erit integrale idque completum aequationis differentialis P Θx Qδ. O. Totum ergo negotium ad inuentionem illim multiplicatoris V redit.

284쪽

ropositam aequationem differentialem examinare virum per se sit integrabilis nec ne 8

Solutio.

Dispositis omnibus aequationis terminis ad eandem par tem signi aequalitatis, ut huiusmodi habeatur sorma P Θx Qῖy m O, aequatio per se erit integrabilis, si formula ΡΘx- - ΘΙ suerit verum differentiale functionis cuiuspiam binarum variabilium at et F. Hoc autem euenit, uti in calculo differentiali ostendimus, si differentiale ipsius P, sumta sola svariabili, ad ΘI eandem habeat rationem, ac differentiale ipsus Q, sumta sola x variabili, ad Θ x: seu adhibito signandi modo, quo in Calculo differentiali sumus usi, si fuerit o G . si Z sit ea functio, cuius differentiale est ΡΘx- ΘΙ, erit hoc signandi modo Pra et hinc ergo sequitur et ). At

est mi unde colligitur ) m bb. Quare

proposita aequatione differentiali P δ x -F- Q 33 o, utrum ea per se sit in te qrabilis nec ne 8 hoc modo dignoscetur:

Quaerantur per differentiationem valores et qui si Μ m a fuerint

285쪽

2 8suerint inter se aequales, aequatio per se erit integrabilis; sin autem hi valores sint inaequales, aequatio non erit per se in. tegrabilis.

Corollarium I.

. omnes ergo aequationes differentiales, in quishus variabileg iunt a se inuicem separatae, per se sunt integrabiles: habebunt enim huiusmodi formam Xδx - - Yυ o, ut X sit .sunctio solius x et Y solius eritque propterea

riabiles in ea erunt separatae; littera enim P erit functio tantum ipsius x et Q tantum ipsius a. Vnde aequationes separatae quasi primum genus aequationum per se integrabilium constituunt.

Corollarium I.

4 6. Euidens autem est, fieri posse, ut si g α M,

etiamsi neuter horum valorum sit nihilo aequalis. Dantur ergo aequationes per se integrabiles, licet variabiles in iis non sint separatae

4 π. Criterium hoc, quo aequationes per se integrabiles agnoscimus, maximi est momenti in hac, quam tradere suscipimus, methodo integrandi. Quodsi enim aequatio deprehcndatur per se integrabilis, eius integrale per Praecepta iam exposita inueniri potest; sin autem aequatio non fuerit per se integrabilis, semper dabitur quantitas, per quam si ea multiplicetur, fiat per se integrabilis; unde totum negotium

286쪽

CAPUT II.

a seo reuocabitur, Ut proposita aequatione quacunque per se non integra bili, inueniatur multiplicator idoneus, qui eam reddat per se integrabilem; qui si semper inueniri posset, nihil amplius in hac methodo integrandi esset desiderandum. Verum haec inuestigatio rarissime succedit, ac vix adhuc latius patet,

quam ad eas aequationes, quas ope separationis variabilium iam tractare docuimus; interim tamen non dubito hanc me thodum praecedenti longe praeserre, cum ad naturam aequationum magis videatur accommodata, atque etiam ad aequationes differentiales altiorum graduum pateat, in quibus separatio variabilium nullius est usus.

4 8. Aequationis disserentialis, quam per se integrabilem esse constat, integrale inuenire.

Solutio.

piam iunctionis binarum variabilium x et F, quae si Z, Vt sit ΘΖ ΡΘx- - ΘF. Cum ergo habebimus hanc aequationem ΘΖ o, erit integrale quaesitum Z C. Totum negotium ergo huc redit, ut ista iunctio Z eruatur, quod cum sciamus esse ΘΖ ΡΘx- - Θ ' haud difficulter praestabitur. Nam quia sumta tantum x variabili, et altera I ut constante spectata, est ΘΖ ΡΘae, habemus hic formulam differentialem simplicem unicam variabilem x inuoluentem, quae Per praecepta superioris sectionis integrata dabit Z fΡΘx-Const. ubi autem notandum est, in hac constante quantitatem hic pro constanti habitam a utcunque inesse posse; Unde eius

- loco scribatur Y, ut sit Z fΡ Θ x --Y. Deinde simili modox pro constante habeatur, spectata sola I ut variabili, et cum sit

287쪽

stans autem quantitatem x inuoluet, ita ut sit sumstio ipsius x, qua posita X, erit Z QΘΙ - X. Quanquam autem neque hic Ditistio X neque ibi functio Y determinatur, tamen quia osse debet fΡΘx-Ymf Θν- X, hinc utraque deinterminabitur. Cum enim sitfΡΘx-f δ' X Y, haee quantitas fΡ Θ x -fQ Θs semper in eiusmodi binas partes distinguetur, quarum altera est functio ipsius at tantum, et altera ipsius I tantum, Vndo Fatores X et Y sponte cognoscun

tur.

Corollarium I.

M. Cum sit det: LI , duplici integratione ne opus quidem est. Inuento enim integrali f P Θ x, id iterum differentietur, sumta sola a variabili, prodeatque V θI, Vnde ne

so. Aequationum ergo per se integrabilium ΡΘx-Qὸν o integratio ita perficietur. Quaeratur integrale fΡΘxspectata ' constante, idque rursus differentietur spectata sola I variabili, unde prodeat V Θa: tum Q V erit functio ipsius 1 tantum; Vnde quaeratur Y f Q - Π ΘΙ, eritque aequa tio integralis LP Θ x -- Y m Const.

Corollarium 3.

32. Vel quaeratur m dy spectata x constante, quod integrale rursus differentietur sumta x variabili, F autem con stante, Unde prodeat Uδat: tum certe erit Ρ -U sunctio ipsius x tantum; AEnde quaeratur X f Ρ-U)δat, eritque aequatio

integralis quaesita IQΘΙ - - X m Const.

288쪽

Corollarium s

sa. Ex rei natura patet, perinde esse Vtra via pro cedatur, necesse enim est ad eandem aequationem integralem perueniri, si quidem aequatio differentialis proposita per se fuerit integrabilis. Tum autem certe eueniet, ut priori casu

Q - U sit iunctio solius ', posteriori autem P - U functio

socius x.

Scholion.

sa. Haec methodus integrandi etiam tentari posset, antequam exploratum esset, num aequatio integrabilis existat; si enim vel in modo Corollarii a. eueniret, ut Q - V es, set lanctio ipsius a tantum, vel in modo Corollarii a. ut Ρ - V esset functio ipsius x tantum, hoc ipsum indicio so-ret, aequationem esse per se integrabilem. Verum tamen praestat ante omnia scrutari, an aequatio integrabilis sit per se nec ne; seu an sit d y quoniam hoc examen sola differentiatione absoluitur. Exempla igitur aliquot aequatio num per se integrabilium afferamus, quo non solum methodus integrandi, sed etiam insignes illae proprietates, quas commemorauimus, clarius intelligantur.

Exemplum I.

s . Aequationem per se integrabilem

integrare.

qua aequalitate integrabilitas per se confirmatur. Quaeratur N n ergo

289쪽

Exemplum 2.

Aequationem per se integra bilem

, seu

pro charactere integrabilitatis per se cognoscendo est

seu Diuitigoo by Gorale

290쪽

Exemplum 3.

36. Aequationem per se integrabilem

unde max et quae aequalitas integrabiliatatem per se innuit. Tum vero est fΡ Θ x a a x --- x xy -μέ x et V ΘI m x x33, unde T d as -- a G ΘI et Y αἰ ἱγy - a ar. Ergo integralea a x - - x xa , x -- ό γ - a ay Const.' Altero modo est