장음표시 사용
291쪽
Ρ- Θ x a a -- xx Θ x et X a a x - I x , unde integrale oritur ut ante. .. Scholion. s . In his exemplis licuit, integrale fΡΘx actu exhibere, indeque eius differentiale V Θs sumta sola a varia bili assignare. Quodsi autem hoc integrale fΡΘx euolui nequeat, haud lis uel quomodo inde differentiale Vis elici possi, quandoquidem sormula fΡΘx in se spectata constantem quamcunque, quae etiam 3 in se implicet, complectitur. Τum igitur quomodo procedendum si, videamus. Ponamus Z IPδx-HY, et cum quaeratur V, ob fPὸx
V fῖ xj , quare quantitas V inuenitur per integratio nem huius formulae fΘx V , in qua I ut constans specta tur, postquam in valore inueniendo sola r variabilis esset assumta. Verum cum hic denuo constans cum F implice tur, hinc illa functio Y quam quaerimus non determinatur. Ratio huius incommodi manifesto in ambiguitate integralium yPΘx et fΘx est sita, dum utraque functiones arbitra rias ipsius y recipit. Remedium ergo afferetur, si Vtrumque integrale certa quadam conditione determinetur. Ita quando integrale fΡΘx ita accipi ponimus, ut evanescat posito x subi quidem constantem f pro lubitu accipere licet, tum ea
dem lege alterum integrale fΘx eapiatur. Quo fasio erit Q-fδx ) iunctio ipsius a tantum, et aequationi P Θ x -- u Θs o, integrale erit
292쪽
ui constans tractatur, ita determinentur, Ut evanescant, dum in utraque ipsi x idem valor f tribuitur. Quare hinc istam colligimus regulam
Regula pro integratione aequationis per se integrabilis P Θx- - Θymo, in qua s8. Quaerantur integralia fP dx etfὸx D, spectando ' Vt constantem, ita ut ambo euanescant, dum ipsi x certus quidam Valor, puta xms tribuitur. Tum erit Q
fis x D functio ipsius y tantum, quae sit m Y, et integrale quaesitum erit fΡ Θ x --f Y δν Const. Vel quod eodem redit, quaerantur integralia fQῖν
et spectando x vi constantem, ita Vt ambo evanescant , dum ipsi ν certus quidem valor , puta g , tribuitur: tum P fΘ3 'R) erit functio ipsius x tantum, qua posita m X, erit integrale quaesitum L QΘs-fXῖ x-Const.
Veritatem huius regulae ex praecedentibus perspicere licet, si cui sorte precario assumsisse videamur, ambas formulasIPῖx et fΘx P eadem lege determinari debere, Ut dum
ipsi x certus quidam valor puta x f tribuitur, ambae evanescant. Sed ne forte quis putet, alteram integrationem pari iure secundum aliam legem determinari posse, hanc demonstrationem addo. Prima quidem integratio ab arbitrio nostro pendet, quam ergo ita determinari assumamus, ut integrale f Ρ Θ x evanescat posito x f, quo facto dico, alterum integrale Ida P necessario per eandem conditionem determinari opor-N n a tere. Dissiligoo by Gorale
293쪽
tere. Sit enim fΡΘx Z, eritque Z eiusmodi lanctio ipsi, Tum x et F, quae evanescit posito x f; habebit ergo factorem 1 -x, vel eius quampiam potestatem positivam f- x λ, ita ut sit Z f-x T. Nunc quia fΘx exprimit
manifestum est hoc integrale etiam evanescere posito xita ut huius integralis determinatio non amplius arbitrio nostro relinquatur. Hoc posito erit utique aequationis per se
integrabilis Ρ Θ x -- Q ΘΙ ' o integrale fΡ Θ a: --fY Θ Const. existente Y m Q - nam posito fPΘx zzz Z, quatenus scilicet in hac integratione a pro constante habetur, ut habetur haec aequatio Z - - Y ΘΙ Const. quam esse int grais quaesitum vel ex ipsa differentiatione patebit. Cum enim sit
erit aequationis inuentae differentiale sed V m Q - unde prodit Ρ Θ x - - Q 31 o quae est ipsa aequatio differentialis proposita. Quod autemst Q - functio ipsius I tantum, inde sequitur, quo niam aequatio differentialis per se est integrabilis.
39. Pro omni aequatione , quae per se non est in tegrabilis semper datur quantitas, per quam ea multiplicata redditur integrabilis.
Sit ΡΘa -- Θν o aequatio differentialis, et con cipiamus eius integrale completum , quod erit aequacio quae dam Diuitigod by Corali
294쪽
dam inter x et J, in quam constans quantitas arbitraria ingrediatur. Ex hac aequatione cruatur haec ipse constans arbitraria , ut prodeat huiusmodi aequatio Const. functioni cuidami arum X et y, quae differentiata praebeat O T M 9 x - - Ν Θst, quae aequatio iam a constante illa arbitraria per integrationem ingressa est libera , ideoque necesse est ut haec aequatio differentialis conueniat cum proposita, alioquin integrale suppositum non esset Verum. Oportet ergo i Vt relatio inter Θ x et ΘFVtrinque prodeat eadem, Unde erit ideoque ΜΣLΡet N α L Q. Sed quia Μ Θ x N os est verum differentiale ex differentiatione cuiuspiam lanctionis ipsarum x et a ortum,
dabitur certo quidam multiplicator L, ut sit R), seu ut aequatio per L multiplicata fiat per se integrabilis.
datur eiusmodi functio L, ut sit c Z in ) , ideoque
quae iunctio L si fuerit inuenta, aequatio differentialis L Ρ Θ x--L Qὰθ o per se erit integrabilis.
6 I. In aequatione proposita loco tuto unitatem scribere licet, quia omnis aequatio hac sorma P Θ x - - Θs orepraesentari potest. Hinc inuentio multiplicatoris L, qui eam reddat per se integrabilem , pendet a resolutione huius aequa
295쪽
6a. Quoniam hic quaeritur functio binarum variablislium x et 3, quarum relatio mutua minime spectatur, quam inuoluit aequatio ΡΘx- - Θymo, haec inuestigatio in nostrum librum secundum incurrit, ubi huiusmodi functio ex data quadam differentialium relatione indagare debet. In hac enim inuestigati me non attendimus ad aequationem propositam, qua formula ΡΘx-- Θa nihilo aequalis reddi debet, sed absolute quaeritur multiplicator L, per quam formula ΡΘx- - δ' multiplicata abeat in verum differentiale cuiuspiam functionis finitae, quae sit Z, ita ut hahetur ΘΖ LΡΘx--L Θ3. Quo multiplicatore L inuento tum demum aequalitas Ρὰx Qd y o spectatur, indeque concluditur functionem Z quantitati constanti aequari oportere. Cum igitur minime expectari queat , ut methodum tradamus huiusmodi multiplicatores pro quavis aequatione differentiali proposita inueniendi, eos casus percurramus, quibus talis multiplicatur constat, undecunque sit repertus. Interim tamen ad ple orem vim huius methodi notasse iuvabit, statim atque unum multiplicatorem pro qua piam aequatione differentiali cognouerimus, ex eo facile innumerabiles alios deduci posse, qui pariter aequationem propos tam per se integrabilem reddant.
63. Dato uno multiplicatore L qui aequationem P δx-- Q δ ν o per se integrabilem reddat, inuenire innumera biles alios multiplicatores, qui idem officium praestent.
296쪽
Cum ergo L Ρ Θ x - - Q 33 sit differentiale verum
cuIuspiam functionis Z, quaeratur per superiora praecepta haec sunctio Z, ita ut sit L Ρ Θ x -- Θ3 Θ Z: et nunc mansesestum est, hanc formulam Θ Z integrationem etiam esse admissuram, si per functionem quamcunque ipsius Z quam ita si : Zindicemus, multiplicetur. Cum igitur etiam integrabilis sit haee
plicator aequationis propositae P Θx-- Θ ν o, qui eam reddat integrabilem. Quare inuento uno multiplicatore L, quaeratur per integrationem Z fL P Θ x- Q δ ν , ac tum e pressio L cd: Z, ubi pro cl : Z functio quaecunque ipsius Z a sumi potest, dabit infinitos alios multiplicatores idem ossicium
6 . Tametsi lassiciat pro quavis aequatione differen sali unicum multiplicatorem cognouisse, tamen occurrunt casus, quibus perquam utile est, plures imo infinitos multiplicatores in promtu habere. Veluti si aequatio proposita in duas partes commode discerpatur, huiusmodi ΡΘ-QM -- RΘx--S M noatque omnes multiplicatores constent, quibus Vtraque pars se
inde interdum communis multiplicator utramque integrabilem reddens concludi potest. Sit enim L p : Z expresso generalis pro omnibus multiplicatoribus sormulae ΡΘx- ρν et Μ cp: Vexpressio generalis pro omnibus multiplicatoribus formulae R Θ x -- S Θs, et quoniam : Z et : V sunctiones quascu que quantitatum Z et V denotant, si eas ita capere liceat, ut fiat L O : Z M O V habebitur multiplicator idoneus pro aequatione P Θx--Qυ--Rὰπ - S 33mo. Intelligitur autem hoc iis tantum casibus praestari posse , quibus multipli-O o calor Disiti reo by Corale
297쪽
aso calor pro tota aequatione , etiam fingulas eius partes seorsim sumtas integrabiles reddat. Quare cauendum est, ne huic methodo nimium tribuatur, et quando ea non succedit, aequatio pro irresolubili habeatur, e senire enim utique potest, ut tota aequatio habeat multiplicatorem, qui singulis eius partibus non conueniat. Ita proposita aequatione P Θx-Qῖν mo, multiplicator partem P Θ x seorsim integrabilem reddens manifesto est ri , denotante X sunctionem quamcunque ipsius x, et multiplicator partem alteram Q 3I integrabilem reddens est Stetiamsi autem neutiquam fieri possit, ut sit Z S seu α - X, nisi casibus per se obuiis, tamen tota sermula ΡΘx - 33 eerto semper habet multiplicatorem, quo ea integrabilis re
6s. Inuenire omnes multiplicatores, quibus formula αν Θ x g x Θs integrabilis redditur. Primus multiplicator sponte se offert 4 , qui praebet cuius integrale est α I x--βI I x 3'. Huius ergo functio quaecunqne φ : x 3μ in i ducta, dabit multipliscatorem idoneum, cuius itaque serma generalis est 4 φ : x .Functio enim quantitatis x' etiam est functio togarithmi eiu dem quantitatis. Nam si P suerit iunctio ipsius p, et II functio ipsius P, etiam II est functio ipsius p et vicissim.
466. Si pro functione sumatur potestas quaecunque x formula α' Θ x β x Θa integrabilis redditur, si multiplicetur per at g 'I 'μ' , quo quidem casu integrale sponte patet, est enim x a R
298쪽
46τ. Invenire omnes multiplicataras, ps have formulam Integrabilem X3 3 x -- ΘF reddam. Primus multiplicator sponte se offert, unde cum sitI XΘx v mfXΘx - is λ ιμ' - I, omnes functio nes huius quantitatis, seu huius μ' ' a per a diuisae: dabunt
multiplicatores idoneos. Unde expresso generalis pro omniabus multiplicatoribus erit zzz-: Ies . s.
68. Pro sormula XyΘx--δa multiplicator quoque est μη - , qui est iunctio ipsius x tantum; quo ergo cum a triarusormula T d a , denotante ae functionem quamcunque ipsius xj integrabilis reddatur, . ille muItiplicator etiam huic formulat
69. Proposita aequatione 3 -Xs 3 x m aE 3 x, laqua X et ae sint sunctiones quaecunque ipsius x, inuenire multiplicatorem idoneum, eamque integrare.
Cum alterum membrum E a x per functionem quam cunque ipsius x multiplicatum fiat integrabile, dispietatur num etiam prius membrum Θ y -- XF Θ x per huiusmodi multipli- rem integrabile reddi possit. Quod cum praestet multiplicatore1 - , hoc adhibito habebitur aequatio integralis quaesita H - 3 - fef - ae 3 x, siue F - e I - 1 ef - ae dae, in iam supra inuenimus. et . OP a Comu
299쪽
quia per a' diuisa abit in it --- Ε Θ x , ubi posito
generalis sit , φ : μ - a, sumta loco functionis potestate, multiplicator idoneus erit integrale praebens Essiciendum ergo est, ut etiam idem multiplicator alterum membrum γ' EΘx reddat integrabile; quod
ius membri integrale fit fe i - ΕΘ x, ita ut aequatio inte gratis quaesita obtineatur:
300쪽
quae cum modo inuenta prorsus congruit.
6 3. Proposita aequatione differentialiaIΘx--βxΘa m x a' ,3 Θ x - δ x Θs , inuenire multiplicatorem idoneum, qui eam integrabilem rod dat, ipsumque integrale assignare.
Consideretur utrumque membrum seorsim; ac pro pri ri vidimus ast Θ x -- β x Θs omnes multiplicatores idoneos contineri in hac forma δε φ : H. Pro altera parte
primus multiplicator est ra ' , quo prodit a ' -- LAI, x aeuius integrale est I x I : ergo forma generalis pro eius murutiplicatoribus est
. cp : H . Quo nunc hi duo multiplicatores pares reddantur, Ioco functionum sumantur potestates, fiatque
unde statui oportet μαα2 νγ - m et m-- n; hincque colligitur: