Leonhardi Euleri *Institutionum calculi integralis Volumen primum in quo methodus integrandi a primis principiis usque ad integrationem aequationum differentialium primi gradus pertractatur

301쪽

CAPUT It

ubi utrumqpe membrum per se est integrabile ideoque integrale quaesitum - quod conuenit cum eo, quod capite praecedente est inuentum.

Corollarium T.

- . I . Pculis ergo breuitatis gratia aequationis differentialis

Corollarium I.

Scholion.

6. Hinc autem casus excipi ridentur, quo αδ αβγ, quia tum ambo numeri νι et ν fiunt infiniti. Verum si aequatio nostra hanc induit formam

quae cum habeat duos sectores, duplex solutio ex utroque seorsim ad nihilum reducto, derivatur. Ρrior scilicet nascitur ex αγ Θx--βx θI o, cuius integrale est x Coust. aIter

302쪽

assuero factor per se dat aequationem finitam Ι - Τ xυ - o, quarum solutionum utraque satisfacit. Atque hoe in genere tenendum est de omnibus aequationibus differentialibus, quas In sectores resolnere licet, ubi perinde atque in aequationibus finitis singuli factores praebent solutiones. PIerumque autem factores finiti statim, antequam integratio suscipitur, per divisionem tolli solent, quandoquidem non ex natura rei, sed per operationes institutas demum accessisse eensentur, ita ut perinde ac in Algebra saepe fieri solet, ad solutiones inutiles. essent perducturi.

Problema M.

4 π. Proposita aequatione disserentiali homogenea, multiplicatorem idoneum inuenire, qui eam integrabilem reddat, indeque eius integrale eruere.

Solutio.

sit P 3x-QΘs zzz o aequatio proposita, in qua P et

Q sint functiones homogeneae u dimensionum ipsarum x et ν, ac quaeramus multiplicatorem L, qui sit etiam stinctio homogenea, cuius dimensionum numerus sit λ. Cum iam sormula

L P δx-- δ sit integrabilis, erit integrale iunctio λ n I dimensionum ipsarum x et F, quae functio si ponatur

Z, erit ex natura lanctionum homogenearum L Ρ x -- L QI λ -- n --I Z. Quare si λ sumatur - η - r, quantitas L Ρ x -- L Q ν erit vel o, vel constans, unde obtinemus L -- , qui ergo est multiplicator idoneus pro nostra aequatione. Idem quoque ex separatione variabilium colligitur: posito enim y ux, fiet P m x' V et Q x V, existentibus V et Vfunctionibus u ipsius tantum, et ob ΘI uΘx - ὸ utrit Disiti reo by Corale

303쪽

bilis; seu multiplicator idoneus est tio

, unde haec aequa- O, semper per se est integrabilis. Iam ad integrale ipsus inueniendum, integretur formula sippct odo a vi constantem, ac determinetur certa ratione ut evanescat posito x f. Tum posito breuitatis caumsa R, sumatur valor ' , et eadem lege quaeratur integrale fΘx R , spectando iterum s Vt constantem. Tum erit

atque hinc erit integrale quaesitum

Corollarium I.

8. Cum ergo sormu Ia sit per se integraf d x iunctio ipsius a tantum seu

bilis, si breuitatis gratia ponamus

v. I

304쪽

Corollarium a.

I9. Haec aequalitas etiam ex natura lanctionum homogenearum concluditur. Cum enim P et Q sint functionesn dimensionum ipsarum x et F, Ob

Aequalitas autem inuenta est

quae hinc abit in identicam n P Q n P Q.

Corollarium 3.

So. Si aequatio homogenea P 3x-- δyzz o sue rit per se integrabilis, et Ρ et Q sint iunctioncs - 1 dime sonis, erit Ρ x -φ- F numerus constans. Veluti cum

huiusmodi sit aequatio, si Ioco Θx et is scribantur x et F,

Scholion.

8 I. In calculo differentiali ostendimus, si V fuerit functio homogenea n dimensionum ipsarum x et I , ponatur

nes homogeneae n - x dimensionum, integrale statim habetur, erit enim V P x -- Q , nectite ad hoc ulla integratione est opus. Interim tamen videmus hinc excipi opor rere casum quo n o, uti sit in nostra aequatione per mul-

305쪽

tiplicatorem Integrabili reddita '' zM o, ubi δx et δ'

multiplicantur per functiones - I dimens Onis, meque enim hic integrale sine integratione obtineri potest. Ratio autem huius exceptionis in hoc est sta, quod formulae integrabilis

P Θ x in Q dr, in qua P et Q sunt functiones homogeneae

n-x dimensionum, integrale tum tantum sit iunctio homogenea n dimensionum, quando u non est mo, hoc enim solo

casu fieri potest, ut integrale non sit functio nullius dimensionis, quemadmodum fit in hac formula differentiali quippe cuius integrale est ci x x --st y . Quocirca, quod

formula ' ἱρεμ sit integrabilix, hoc peculiari modo demonstrauimus, ex ratione separabilitatis deducto. Interim tamen sue ullo respectu, unde hoc cognouerimus, id in praesenti negotio maxime est notatu dignum, omnes aequationes homogeneas ΡΘx-QΘITTO, per multiplicatorem p Ξ - per se reddi integrabiles. Methodus igitur desideratur, cuius beneficio hunc multiplicatorem a priori inuenire liceret; qua methodo sane maxima incrementa in Analysin importarentur. Quamdiu autem eousque pertingere non licet, plurimum intererit huiusmodi multiplicatores pro pluribus casibus probe notasse; quod cum iam in duobus aequationum generibus praestiterimus, pio reliquis aequationibus, quas supra integrare docuimus, multiplicatores in uestigemus; ipsa autem reductio ad separationem nobis hos multiplicatores patefaciet, uti in sequente problemate docebimus.

Problema 6

82. Proposita aequatione differentiali, parationem variabilium reducere liceat, inuenirerem, per quem ea per se integrabilis reddatur. Solutio. quam ad se- multiplicato , Disilired by Gorale

306쪽

sit Ρ Θ x - - Q 33 o, quae eerta quadam substituistione, dum loco x et 3 aliae binae Variabiles t et u introd cuntur, ad separationem accommodetur: ponamus ergo facta hac substitutione fieri ΡΘx--. ΘFTTRδι-HS c u , nunc autem hanc sormulam Rδι--SΘu si per V diuidatur, separari, ita ut in hac formula py- quantitas L sit functio solius x, et A iunctio solius v. Cum igitur formula ὸt s per se si integrabilis, etiam intcgrabilis erit haec '-- Qquippe illi aequalis, siquidem in V variabiles x et a restituinantur. Hinc ergo ex reductione ad separabilitatem aequationis Ρ Θ x -- Q Θ o discimus, multiplicatorem quo ea i tegrabilis reddatur, esse sicque quas aequationes ad se par tionem Variabilium perducere licet, pro iisdem multiplicato rem, qui illas integrabiles reddat, assignare possumus.

Corollarium I.

8a. Methodus ergo per multiplicatores integrandi aequationes differentiales aeque late patet ac prior methodus , ope separationis variabilium; propterea quod ipsa separatio pro qua uis aequatione, ubi succedit, multiplicatorem suppeditat.

Corollarium 2.

8 . Contra autem methodus per multiplicatores integrandi latius patet altera, si pro eiusmodi aequationibus multiplicatores assignare liceat, quas quomodo ad separatio- .nem perduci debeant, non constet.

Scholion.

8s. Etsi autem ex reductione ad separationem idoneum multiplicatorem elicere licet, tamen nondum intelligitur,

307쪽

quomodo cognito multiplicatore, separatio variabilium institui debeat, quare etiam Ob hanc rationem methodus per multiplicatores integrandi alteri longe praeserenda videtur. Quamvis enim hactenus ipsa separatio nos ad inuentionem multiplicatorum perduxerit, nullum tamen est dubium quin detur via multiplicatores inueniendi, nullo respectu ad separationem h hito, licet haec via etiamnum nobis sit incognita. Ea autem paullatim planior reddetur, si pro quamplurimis aequationibus multiplicatores idoneos cognouerimus, ex quo quos adhuc ex separatione eruere licet, indagemus in subiunctis exemplis.

Exemplum I.

8 6. Proposita aequatione disserentiali primi ordinis pro ea multiplicatorem idoneum assignare. Haec aequatio ad separationem praeparatur ponendo primo εα x--βF--γ m r et δ x -- εFζ m s, ideoque

unde oritur

308쪽

qui restitutis valoribus fit

atque euolutione facta

Quare per se intenabilis erit haec aequatio

existente

8 . Etiamsi forte fiat α ε - β δ o, hic multipliacator non turbatur, cum tamen separatio non succedat hac quidem operatione. Sit enim α. ma, β mb, δ na, εαIn b, ut habeatur haec aequatio

omisso factore communi, multiplicator est

P p a ita

309쪽

ita ut haec aequatio per se sit integrabilis

Exemplum a.

88. Proposta aequatione disserentiali 3 Θ x ς --n - ΘF 3 -- a - b x --n x o, multiplicatorem idoneum inuenire.

Fiat substitutio m Q π u, seu IT

V nde aequatio nostra induet hanc formam

quae ergo separabitur ducta in hunc multiplicatorem

tu m enim prodit

Quo igitur multiplicatorem quaesitum consequamur, ibi locou tantum opus est suum valorem restituere tum autem reperitur multiplicator

qui reducitur ad hanc sormam

310쪽

inuenire multiplicatorem qui eam integrabilem reddat.

separatur. Quare aequationis nostrae multiplicator erit

ideoque noster multiplicator colligitur:

ita ut per se sit integrabilis haec aequatio

euius integrationi non immoror, cum iam supra integrale exhibuerim.

49o. Aliud exemplum memoratu dignum suppeditat haeraequatior Θx - x ΘΙ - - a x I δs γ' -- 8' α o,

quae Diuitigoo by Gorale