Leonhardi Euleri *Institutionum calculi integralis Volumen primum in quo methodus integrandi a primis principiis usque ad integrationem aequationum differentialium primi gradus pertractatur

311쪽

quae si hac forma repraesentetur xυ Θx-ix ' Θαι x ' ΘF--ax γυγ' breuenit, ut utrumque integrabile existat, si ducatur in hunc multiplicatorem a b x'3 H--b ' .ad quem inueniendum ex separatione variabilium, adhibeatur haec substitutio non adeo obuia -- v ν , Vnde fit x' --br

x A et hinc aequatio

quae multiplicata per

Exemplum .

9 I. Proposita aequatione disserentiali Θ x --sta 3 x - 'ν oinuenire multiplicatorem, quo ea integrabilis reddatliris

312쪽

secundum f. a 6. ponatur x et ob cix nostra sormula erit 33 - 2 2 a it Θ t, in qua porro statu tur ν ι- ιι et, et prodibit -it ΘΣ--zz δι- a 3t , quae per i r in z - diuisa separatur , ergo et nostra aequatio diuisa per ιι ΣΣ - a r - xa y - δε fiet integrabilis, ex quo multiplicator erit - ά ά Oxaequatio per se integrabilis φ' μ o. Spectetur iam x vi constans, eritque ex Θa natum integrale

pro quo ut valor ipsius X obtineatur , differentietur denuo, ac prodibit

unde

et X - Ι - -- C; quare aequatio integralis completa erit

Scholion.

92. En ergo plures casus aequationum differentialium pro quibus multiplicatores nouimus, ex quorum contemplatio ne haec insignis inuestigatio non parum adiuuari videtur. Quan quam autem adhuc longe absumus a certa methodo, pro quovis casu multiplicatores idoneos inueniendi; hinc tamen fis mas aequationum colligere poterimus , ut per datos multiplicatores integrabiles reddantur; quod negotium cum in hac a dua doctrina maximam utilitatem allaturum videatur, in sequente capite aequationes inuestigabimus, quibus dati multiplicat res conueniant 8 exempla scilicet hic euoluta idoneas multiplicatorum formas nobis suppeditant, quibus nostram inuestigationem superstruere licebit.

313쪽

INUESTIGATIONE AEQUATIONUΜ DIFFERENTI LIUM QUAE PER MULTIPLICATORES DATAE FORMAE INTEGRABILES REDDANTUR.

Problema 65.

493.

Definire functiones P et Q ipsius x, ut aequatio differentiali, P ν δ x - - dy O, per multiplicatorem -- , , bi Μ et N sunt functiones ipsius at, fiat integrabilis.1 . Solutio.

Necesse igitur est, ut factoris ipsius Θ x, qui est

--. differentiala ex variabilitate ipsus ν natum. ae

quale sit differentiali factoris ipsius Θν, qui est

dum sola x variabilis sumitur. Horum valorum aequalium, neglecto denominatore communi, aequalitas dat

unde singulis potestatibus seorsim ad nihilum perductis, nanciscimur primo N Θ Q-QῖN o, seu et ex cuius

314쪽

integratione sequitur Ν α α Q. Tum binae reliquae conditiones sunt,

quae per a α - M ' diuisa et integrata dat

seque pro M sunctionem quamcunque ipsus x sumere licet. Capiatur ergo M a α - X , erit ΡΘx - βXΘ X, et Q π α - X--βXX, atque N α α - α X -- α β X X. Quocirca pro hac aequatione

habemus hunc multiplicatorem

quo ea integrabilis redditur.

Corollarium I

9 . Tribuatur acquationi haec sorma

315쪽

Corollarium 2.

ys. Si hic sumatur V a -x, obtinebitur aequatio similis illi, quam supra f. 88. integrauimus, et multiplicator quoque cum eo, quem ibi dedimus, conuenit. Hic autem multiplicator commodius hac forma exhibetur

Corollarium 3.

496. Si ponamus y -- A Σ, nostra aequatio erit

cui conuenit multiplicator , ἔπe i, ix Vt pφr se integrabilis sit haec aequatio

Scholion.

siue Disiligod by Gorale

316쪽

quo valore in secunda substituto prodit

Verum si hinc vellemus V elidere , in aequationem differentio - differentialem illaberemur. Casus tamen quo n' a eXPediri potest.

Exemplum.

98. Sit in euolutione huius casus u a, τι per se i tegrabilis esse debeat haec aequatio

a III.

Ac primo esse oportet QTT AH-Μ, tum vero

quam ergo aequationem integrare debemus, quae cum in nulla iam tractatarum contineatur, videndum est, quomodo tractabi- Iior reddi queat. Ponatur ergo M Nu, ut fiat

317쪽

Vbi variabilis v unicam habet dimensionem , et hanc ob rem patet, hanc aequationem integrabilem reddi, si diuidatur per

α - Aur, prodibitque

ideoque υ --

quacunque ipsius at, erit

atque m - Α Iam ex tertia aequatione adipi

Quocirca aequatio nostra per se integrabilis est

quae posito Au - a induet hanc formam

Hinc autem posito A α; C R et i zzz inuenimus

318쪽

Corollarium I.

. . .

quae quomodo ad separationem reduci debeat, non statim patet. Est autem multiplicator idoneus

Corollarium I.

scio. Hic multiplicator etiam hoc modo exprimi potest, ut eius denominator in sectores resolvatur . '' α -- β x -- ν x x ν

hoc autem valore substituto prodit aequatio nimis complicata. . . Pro- Dissili do by Gorale

319쪽

Problema 66.

so 2. Inuenire aequationem differentialem huius sormae

sumstio ipsius x.

Solutio.

qua euoluta aequatione erit . 'ti

320쪽

Corollarium I.

multiplicata fit