Leonhardi Euleri *Institutionum calculi integralis Volumen primum in quo methodus integrandi a primis principiis usque ad integrationem aequationum differentialium primi gradus pertractatur

341쪽

Quare habetur Q m -- α, et X α - ἴ . sumtodo θx constante est Θ A , unde fieri oportet

cuius integratio praebet PR LU-C, hine R α βα- λ

Ponamus ΡαSS, H S sit iunctio quaecunque ipsius x, obtinebimusque

quibus sumtis valoribus, per se integrabilis erit haec aequatio

sas. Haec solutio commodius institui poterit, si mu tiplicatori tribuatur haec forma vi fieri debeat

vbi ex sngulis commode definitur scilicet

342쪽

Ad eius integrale inueniendum, sumantur Q et S constantes ,

ideoque

Ex quo aequationis nostrae integrale est

343쪽

CAPUT III. Corollarium I

sao singularis est casus, quo R Q, fit enim

uear. Sumto ergo Q negativo, ut habeamus hanc aequationem

haec integrabilis redditur, per hunc multiplicatorem

ubi V est functio ipsius x, ad quam definiendam, differentietur sumta γ constante

Corollarium 3.

sast. Proposita ergo aequatione

a A.

344쪽

Θ Σ w -- - i η' y - o. in qua ut bini priores termini In unum contrahantur, ponatur reperieturque

uae eum sit separata integrale erit I ἰ ἰfem, ubi est

Aequatio autem In ipse Iutione inuenta δ' - Ι Θ x - ς f - m O, bi S est. iunctio quaecunque ipsius x, et ' δώ-m2gis ardua videtur, dum per se fit integrabilis, si diuidatur pec

At sumto de constante integrale reperitur - Arc. tang. .=-- V m Coast.

345쪽

nunc ergo ad functionem V inueniendam, sumatur differengare posita ' constante, quod est c

et aequari debet alteri parti Ergo

integrari poterit haec aequatio

Integrale enim erit

Supra autem inuenimus hanc aequationemra D.

346쪽

Θν--33 3 x C x Θ x o, ad separationem reduci posse, quoties fuerit m - , iisdem ergo casibus iunctionem S assignare licebit, ut fiat 9 m C P ; quod cum ad aequationes differentiales secundi gradus pertineat, hic non attingemus.

Problema 69.

sa . Definire functiones P et Q ambarum variabilium x et F, ut aequatio differentialis P Θ x- ῖa o, divisa per P x -- Θ fiat per se integrabilis.

Solutio.

Cum formula Gy α - debeat esse integrabilis, statuamus Q PR, ut habeamus ZE M., sitque -- N ΘF. Quare fieri oportet

cum debeat esse integrabilis, necesse est sit Μ γ iunctio ipsius ς, quia γ δ I Θ . ς; atque ex hac integratione prodit R sp r , seu quod eodem redit, R erit functio nullius dimensionis ipsarum x et F. Quocirca cum 2 zz R, manifestum est huic conditioni satisfieri, si P et Q fuerint functiones homogeneae eiusdem dimensionum numeri ipsarum acet F; hoc ergo modo eandem integrationem aequationum homogenearum sumus assecuti, quam in capite superiori docuimus.

Corollarium Ι.

347쪽

ubi littera cpi denotat functionem quamcunque quantitatis suf

fixae.

Corollarium 2.

mula

haec formula qZ erit per se integrabilis, quaecunque functio sit X ipsius x, et Y ipsius I.

Corollarium 3.

sa . Quare si quaerantur functiones P et Q, ut haee aequatio ΡΘx-- Θamo fiat integrabilis, si diuidatur per ΡX- QY, existente X funictione quacunque ipsius x et Y ipsius a, debet esse

Corollarium 6.

sas. Quare si sgna O et vi iunctiones quascunque indicent, sueritque

haec Disilired by Gorale

348쪽

say. Hinc ergo innumerabiles aequationes proferri possunt, quas integrare licebit, etiamsi alioquin dissicillime pisteat, quomodo eae ad separationem Variabilium reduci que ant. Verum haec inuestigatio proprie ad librum secundum Calculi Integralis est reserenda, cuius iam egregia specimina hic habentur; definiuimus enim functionem R binarum vari bilium x et 3 ex certa conditione inter M et N proposita scilicet Μοζ-Nγ m o sev x LR --I o, hoc est ex eerta differentialium conditione.

349쪽

INTEGRAΤIONE PARTICULARI AEQUATIONUM DIFFERENTI ALIUM.

Desinitio.

s O. Integrale particulare aequationis differentialis est relatio variatabilium aequationi satisfaciens, quae nullam nouam quantiatatem constantem in se complectitur. opponitur ergo integrali completo, quod constantem in differentiali non contentam in- . voluit, in quo tamen contineatur necessis est.

Corollarium I.

merabilia integralia particularia exhiberi possunt, prout constanti illi arbitrariae alii atque alii valores determinati trib

untur.

Corollarium a.

riabiles x eta, omnes functiones ipsius x, quae loco I substitutae aequationi satisfaciunt, dabunt integralia particularia, nisi sorte sint completa.

Corollarium 3.

mam reuocetur, existente V sunctione quacunque ipsarum x et F, si eiusmodi constet relatio inter x et ν, unde Pro Disiligod by Gorale

350쪽

c APUT IR

a Ipro 27 et V resultent valores aequales, ea pro integrali particulari erit habenda.

s . Interdum facile est integrale particulare quasi dia vinatione colligere; veluti si proposita sit haec aequatio a a 33 -FF Θ x a a Θ x-H xy Θ x. Statim liquet ei satisfieri ponendo F x, quae relatio eum non solum nullam nouam constantem, sed ne eam quidem a , quae in ipsa aequatione differentiali continetur, implicet, Vtique est integrale particulare: unde nihil pro integrali completo colligere licet. Saepe numero quidem cognitio integralis particularis ad inuentionem completi viam patefacit, quemadmodum in hoc ipso exemplo usu venit, in quo si statuamus

quae aequatio posito et abit in hanc

- e μμ multiplicata sit integrabilis, et dat

e 'c Olfe G Θx, seu O m e φ φ se φ φ Θx, quod ergo est maxime transcendens, cum tamen simplicissimum illud particulare inuoluat: scilicet si constans integratio-

ne fe '' Θx inuecta sumatur infinita, si v et a m O, Vnde x. Interdum autem integrale particulare parum iuvat ad completum inuestigandum, veluti si habeatur haec aequatio