장음표시 사용
351쪽
cuius resolutio haud facilior videtur, quam illius.
s s. In his exemplis integrale particulare statim in oculos incurrit, dantur autem casus quibus dissicilius perspiciatur; et quanquam raro inde via pateat ad integrale completum perueniendi, tamen saepe numero plurimum interest integrale particulare nosse, cum eo nonnunquam totum negotium confici possit. Iam enim animaduertimus in omnibus problematibus, quorum solutio ad aequationem differentialem perduincitur, constantem arbitrariam per integrationem inuectam ex ipsis conditionibus, cuique problemati adiunctis, determinari, ita ut semper integrali tantum particulari sit opus; quare si eueniat, ut hoc ipsum integrale particulare cognosci possit, sine subsidio completi, solutio problematis exhiberi poterit, etiamsi integratio aequationis differentialis non sit in potestate. Quibus ergo casibus sine integratione vera solutio inueniri est censenda; propterea quod proprie loquendo nulla aequatio differentialis integrari existimatur, nisi eius integrale completum assignetur. Quocirca Vtile erit eos casus perpendere, quibus integrale particulare exhibere licet.
s 6. Maximi autem est momenti hic animaduertisse, non omnes Valores aequationi cuipiam disserentiali satisfacientes pro eius integrali particulari haberi posse. Veluti si habeatur haec aequatio δ' Ita , seu a - x), PO-
352쪽
quatio ae a lili differentiali satisfaciat, cum tamen nequaquam eius sit integrale particulare. Integrale namque completum est y m C - a g a - o seu a - x C ', unde quicunque valor constanti C tribuatur, nunquam sequitura - x o. Simili modo huic aequationi
satis secit haec aequatio finita x x γ a a , quae tamen inter integralia particularia admitti nequit, propterea quod in integrali completo C - - έ x x --F γ - a s) neutiquam continetur. Quare ad integrale particulare non susticit, ut eo aequationi differentiali satisfiat, sed in super hanc conditionem adiungi oportet, Vt in integrali completo contineatur; ex quo in uestigatio integralium particularium maxime est lubrica, nisi simul integrale completum innotescat; hoc autem cognito superuacuum essiet methodo peculiari in integralia particularia inquirere. Tum enim potissimum iuuat ad inuestigationem integralium particularium confugere, quando integrale completum elicere non licet. Quo igitur hinc fructum percipere queamus, criteria tradi conueniet, ex quibus valores, qui aequationi cuipiam differentiali satisfaciunt, diiudicare liceat, utrum sint integralia particularia, nec ne 8 Etiamsi scilicet omnia inistegralia sint eiusmodi valores, qui aequationi differentiali satisfaciant, tamen non vicissim omnes Valores, qui satisfaciunt, sunt integralia. Quod cum parum adhuc sit animaduersum, operam dabo, ut hoc argumentum dilucide euoluam.
s v. Si in aequatione differentiali functio
Q evanescat posito x a, determinare quibus calthus haec aequatio x a sit integrale particulare aequationis differenti
353쪽
Cum sit posito x a sit tam Q o quam J o, unde hic valor x a aequationi differentiali propositae ΘF E utique satisfacit, neque tamen hinc sequitur
eum eme integrale. Hoc solum scilicet non lassicit, sed insuper requiritur, Vt aequatio x a in integrali completo contineatur, si quidem constanti per integrationem inuectae certus quidam valor tribuatur. Ponamus ergo P esse integrale sormulae ut integrale completum sit I C--Ρ; cui aequationi ponendo x a satisfieri nequit, nisi posito x a fiat P II cia, tum enim sumta constante C pariter in ita, positione x a quantitas I manet in determinata, ideoque si positox a fiat Ρ eo, tum demum aequatio x a pro integrali particulari erit habenda. En ergo criterium, ex quo dignoscere licet, Vtrum valor x Tra aequationi differentiali υ satisfaciens simul sit eius integrale particulire nec ne 8 sciliiscet tum demum erit intcgrate, si posito x a non solum fiat umo, sed etiam integrale Ρ zzzffri abeat in infinitum. Quod quo clarius eXponamus, quoniam posito x a fit Q o, ponamus a - x ' R, denotante n numerum quemcun que positiuum, et cum aequatio P ., d x Θ χ
sito x a euadat infinitus, etiam integrale P f
354쪽
finitum, utcunque se habeant reliqua membra. At est
s 8. Quoties ergo posito Q m a - x ' R exponensn est unitate minor, aequationi ΘΙ non conuenit integrale particulare x a, etiamsi hoc modo aequationi differentiali satisfiat.
s s. Si exponens n est unitate minor, formula fit infinita posito x a; unde nouum criterium adipiscimur: Scilicet proposita aequatione Θ3 si posito x a fiat quia dem Q o, at Ἀ- oci, tum valor x a non est integrale particulare illius aequationis.
sso. His igitur casibus exclusis, aequationis 3I zzz ubi posito x a fit Q o, integrale particulare semper erit x or, nisi eodem casu x a fiat Ooi hoc est quoties valor sormulae Liu suerit vel finitus vel evanescat.
ss I. Haec conclusio inuersoni propositionum hypotheticarum innixa licet videri queat suspecta ac regulis Logicae aduersa, verum totum ratiocinium regulis apprime est con-X x sentam Dissiligoo by Gorale
355쪽
sentaneum, eum a sublatione eonsequentis ad sublationem antecedentis concludat. Quoties enim posito a - x ' Rexponens n est unitate minor, toties fit m o posito xta. Quare si posito x a non fiat oo, ideoque eius valor
vel finitus vel evanescat, tum certe EXponens n non est uni rite minor, erit ergo vel maior unitate vel ipsi aequalis, viroque autem casu integrale P fit posito x a fit infinitum, ideoque aequatio de est in legrale particulare. Quare si inaequatione differentiali δν posito x a fiat o, examinatur Valor pro casu qui si fuerit vel finitus vel evanescat, aequatio x a est integrale particulare; sin autem is sit infinitus, ea inter integralia locum non habet, etiamsi aequationi differentiali satisfiat. Eadem regula quoque locum habet, si aequatio differentialis fuerit huiusmodi Θ seu L, ac posito x a fiat o, quaecunque fuerit Ρ functio ipsarum ae et '; quin etiam necesse non est, ut Q sit iunctio solius variabilis x, sed simul alteram Iutcunque implicare potest.
ssa. Demonstratio quidem inde est petita, quod quantitas Q, quae posito x a evanescit, factorem implicet potestatem quampiam ipsius a - a , quod in functionibus alge-hraicis est manifestum. Verum in functionibus transcendentibus eadem rogula locum habet, cum potestate talibus dignitatibus aequivaleant. Veluti si sit δ= , ubi l x- fitque posto x a, quaeratur quae sormula cum non fiat infinita posito x a, integrale particulare erit x s. Quod etiam valet pro aequatione idy - , dummodo P non fiat o posito x a. Sit enim Diuitigoo by Cooste
356쪽
enim P erit integrando F C --I I x - I a et Iri- e 's. Sumta iam constante C oo, sit i o , ideoque x a , quod ergo est integrale particulare. Simili modo si
fit Q o; quia , hincque posito x - a fit
S. - erit x ra a etiam integrale particulare. Sumatur
que x a, quod ergo manifesto est integrale particulare.
ssa. Proposta aequatione disserentiali Θ ' , in qua Seuanescas posito x a, donire casus, quibus aequatio x a es eius integrale particulare. Cum hic sit g Sm , erit ergo ut in
tegrale particulare sit x a, necesse est, ut posito x a fiat' b, quantitas finita. Hinc eodem casu quantitas fieri debet sinita, unde cum S evanescat, etiam ac proinde euanescere debet: Tum autem posito x a illius fractionis valor est ' - ' , quem ergo finitum esse oportet, vel o. Quare Vt aequatio x a sit integrale particulare aequationis propositae , hae conditiones requiruntur , primo ut posito x a fiat S m o. Secundum ut fiat o, ac tertio ut huius formulae valor prodeat Vel finitus , vel ' O ,
dummodo ne fiat infinite magnus. Si S st sumnio rationalis, haec eo redeunt, ut S factorem habeat a - xy vel potestatem altiorem. X x a Schois Dissili od by Gorale
357쪽
ss . Haec resolutio usum habet in motu eorporis ad centrum virium attracti dignoscendo , num in circulo fiat. Si enim distantia corporis a centro ponatur x, et Vis centripeta huic distantiae conueniens X, pro tempore ι talis re peritur aequatio δι m E est constans per praecedentem integrationem ingressa, cuius valor quaeritur, ut hinc aequationi satisfaciat valor x a, quo casu corpus in circulo reuoluetur. Hic ergo est S Exx - ρο - αα xxfXΘx, vel sumi potest S E---2αfXΘx. Non solum ergo haec quantitas, sed etiam eius differentiale a α X evanescere debet posito x a, neque tamendisserentio - disserentiale - Ug - rara in infinitum abire debet. Inde ergo constans a erit valor ipsius x, ex hac aequatione αρX resultans, qui est radius circuli, in quo corpus reuolui poterit, dummodo constans E, a qua celeritas pendet, ita suerit comparata, ut posito x a fiat EzzA-aαfXδx; nisi sorte eodem casu expressio -- LLAE seu saltem haec fiat infinita. Hoc enim si eueniret motus in cir-
culo tolleretur; ad quod ostendendum ponamus X b-
E α ab - aα ab δα ab , nostraque aequatio sitffa α ab xx - αayb- 2αι - ἔα x x a - x IJ eui valor x Ita a certe non conuenit tanquam integrale. Fit enim Disiti reo by Corale
358쪽
cuius factor eum non sit a - x sed tantum a - x integrale particulare x a locum habere nequit.
a - x Α R, eritque denominator S m a - n Ria , unde patet aequationem x a fore integrale particulare aequa tionis propositae, si fuerit numerus positiuus unitate maior, seu saltem unitati aequalis, hoc est, si sit vel λ di vel λ , quae diiudicatio si S sit iunctio algebraica, facillime instituitur. Sin autem sit transcendens, ut exponens λ in numeris exhiberi
nequeat, uti licebit altera regula: scilicet, cum sit g S'' i Q,
359쪽
I. si quia posito x ra a fit S o, nisi eodem casu fiat oo, certe erit x a integrale. Sin au tem fiat U oo, utrumque euenire potest, ut sit integrale et ut non sit. Ad quod dignoscendum ponatur f T, ut nostra sormula euadat
cuius tam numerator, quam denominator evanescit posito x a , ex quo eius valor reducitur ad
valor ut fiat finitus , necesse est ut sit 'E o , ac praeterea , quia numerator ac denominator posito x a evanescit, sormulae nostrae valor erit
n m S ' ΘSΘx v m S ---ιὰ in 'quem finitum esse oportet. Facillime autem iudicium absoluetur, ponendo statim x a -- cs , cum enim posito x a fiat S o , hac substitutione quantitas S semper resolui poterit in huiusmodi sor
360쪽
336. Haec ultima methodus est tutissima , ac semper etiam in sormulis transcendentibus optimo successu adhiberi potest. Scilicet proposita aequatione 33 in , in qua positox a fiat Q o, neque vero etiam numerator P evanescat :statuatur at m a - ω, et quantitas sit spectetur ut infinite parua; ut omnes eius potestates prae infima evanescant, atque quantitas Q huiusmodi formam R ωλ accipiet, ex qua patebit nisi exponens λ unitate suerit minor, aequationem x ' a certe fore integrale particulare aequationis propositae. Veluti si habe mus ΘF Θx
s s . Proposita aequatione differentiali, in qua variabiles sunt a se inuicem separatae, inuestigare eius integralia particularia.
Sit proposita haec aequatio Τ v, in qua X sit functio ipsius x, et Y ipsius ' tantum. Ac primo ponatur X O, indeque quaerantur valores ipsius x, quorum quisquest