Leonhardi Euleri *Institutionum calculi integralis Volumen primum in quo methodus integrandi a primis principiis usque ad integrationem aequationum differentialium primi gradus pertractatur

371쪽

sua. Limitatio adiecta absolute est necessaria, cum ea neglecta uniuersum ratiocinium claudicet. Quod quo facilius intelligatur, consideremus hanc aequationem ΘΙ - Θ x o, quae per ' - x multiplicata manifesto sit integrabilis: ponamus ergo hunc multiplicatorem I - x u, seu I x -- u,' unde nostra aequatio erit o, quae per u multis plicata, abit in aΘx-seu 3u O: Vbi cum pars a Θ ae non per u sit multiplicata, neutiquam concludere licet integrale perti sore diuisibile, quippe quod est a x-- οπ. Hinc patet,s modo pars Θ x per u esset multiplicata, etiamsi altera pars 3u factore u careret, tamen integrale per u diuisibile fore, veluti euenit in uΘ x -- x δ u, cuius integrale x u utique sa-ctorem habet v. Ex quo intelligitur, si formula ΡuΘx--Q3usuerit per se integrabilis, dummodo Q non diuidatur per uvel per potestatem eius prima altiorem, etiam integrale, omissa scilicet constante fore per u diuisibile.

Theorema.

sv . Si aequatio differentialis ΡΘxH-Qῖν o perfunctionem Μ diuisa euadat per se integrabilis, integrale particulare erit Μ o, nisi posito Μ o vel P vel Q eu

nescat.

Demonstratio.

Habeat diuisor Μ factorem v, ut sit Μ zzz N u, et ostendi oportet, integrale particulare futurum umo, id quod de singulis factoribus diuisoris M, si quidem plures habeat, est tenendum. Cum igitur u sit functio ipsarum x et F, definiatur inde altera I per x et v, ut prodeat huiusmodi aequatio RῖπDisilired by Gorale

372쪽

c APUT IV.

assa

R3x. s3u To, quae ergo per Nu diuisia per se erit integrabilis. Quaeri igitur oportet integrale sormulae ubi assumiamus neque R neque S per u multiplicari, neque hoc modo facto rem v ex denominatore tolli. Quod si iam hoc integrale exsoIo membro colligatur, spectando u Vt constantem, pro .dit id tyy - - φ : sin autem ex altero membro N sumtax constante colligatur, quia S non fictorem habet v, id semper ita erit comparatum, Ut posito u o, fiat infinitum. Ex quo integrale, quod sit V, ita erit comparatum, ut fiat Ir o posito u O; quare cum integrale completum futurum sit V T C, huic aequationi, sumta constante C infinita, satisfit ponendo v mo. Concludimus itaque, si diuisor Μ Nti re dat aequationem differentialem ΡΘxH- Θs o per se i tegrabilem, ex quolibet diuisoris Μ factore u obtineri integrale particulare u o, nisi sorte posito u o, quantitates

P et Q , vel R et S evanescant.

Corollarium I.

svs. Si aequatio P δx--Qυmo suerit homog nea, ea ut supra vidimus integrabilis redditur, si diuidatur per P x - F, quare integrale eius particulare erit Ρ x --- QI o. Quae aequatio cum etiam sit homogenea, factores habebit formae α x -- β ν, quorum quisque nihilo aequatus dabit integrale particulare.

Corollarium 2.

s 6. Pro hac aequatione Θx e --nx - ΘI F- a DbxH n xx zzz diuisorem, quo integrabilis redditur, supra f. 688. exhibuimus , unde integrale particulare concluditur F m. O , tum

373쪽

CAPUT IV.

Corollarium 3.

diuisorem, quo integrabilis redditur, supra S. 89. dedimus, unde integrale particulare concludimus x -I - η 1 -- x x I FI o, seu

ex quo porro fit F m

Corollarium φ

s 8. Pro hac aequatione differentiali ΘΙ--Iνδx - multiplicatorem supra f. pr. inuenimus ἀ-Vnde integrale particulare concludimus x x I -xν ' - a o, hinc que x 1 - x I f έ a, seu 3 I ha ut bina habe mus integralia particularia, quae autem imaginaria evadunt, si a suerit quantitas negativa.

- Scholion.

s 9. Haec sere sunt omnia, quae circa tractationem aequationum differentialium adhuc sunt explorata, nonnulla tamen subsidia euolutio aequationum dimientialium secundi gradus infra suppeditabit. Huc autem commode reserri possunt, quae circa comparationem certarum sormularum transcendentium haud ita pridem sunt inuestigata. Quemadmodum enim log rithmi Diuili od by Cooste

374쪽

rithmi et arcus circulares, eis sunt quantitates transcendentes, inter se comparari atque adeo aeque ac quantitates algebrai cae in calculo tractari possunt, ita similem comparationem in ter certas quantitates -anscendentes altioris generis instituere licet, quae scilicet contincntur in formula hae

ubi etiam numerator rationalis veluti x -- etc. addi potest. Quod argumentum cum sit maxime arduum, at que adeo vires Analyseos superare 1ideatur, nisi certa ratione expediatur, in Analysin inde haud spernenda incrementa re dundant; imprimis autem resolutio aequationum differentialium non mediocriter perfici videtur. . Cum enim proposita fuerit huiusmodi aequatio

statim quidem patet eius integrale particulare drm , verum integrale completum maxime transcendens fore videtur, cum utraque formula per se neque ad logarithmos, neque ad arcus circulares reduci queat. Quare eo magis erit mirandum , quod integrale completum per aequationem adeo algebraicam inter x et 3 exhiberi possit. Quo autem methodus ad haec sublimia ducens clarius perspiciatur, eam primo ad quantitates transcendentes notas, hac sormula f--- contentas applicemus, deinceps eius usum in sormulis illis magis comoplexis ostensuri.

375쪽

COMPARATIONE QUANTITATUM TRANscEM DENTIUM IN FORMA CONTENTARUM.

Problema N.

Solutio.

simia

376쪽

Similique modo reperietur

unde erit pΘx--ρὰ ν' o. Cum iam sit p sunctio ipsius F, et g similis sunctio ipsius x, ponatur

unde colligitur δ - γ ν et δ--γ Thincque

prima vero dat

Quibus valoribus pro α, γ, ὀ assumtis, aequatio abit in hanc

erit adeo integrale Neque vero opus est, ut sormulae illae ipsis litteris A, B, C aequentur, sed sufficit ut ipsis sint proportionales, unde fit

Quare

377쪽

Quare aequationis differentialis

integrale completum est

Corollarium I.

s 8 I. Ex aequatione proposita radicem extrahendo fit

Corollarium 2.

unde sumtis quadratis oritur

γγ BBaa -- α β γ BB aggBB α β β AC - α β γ AB, hinc que

Scholion I.

a 33. Vt aequatio assumta

378쪽

CAPUT U.

tantum definiuntur; quare cum binae maneant in determinatae, aequatio assumta, etiamsi per quem uis coefficientium diuidatur, Unam tamen constantem continet nouam, eXa quo ea pro integrali completo erit habenda. Quare etsi aequationis differentialis neutra pars integrationem algebraice admittit, tamen integrale completum algebraice exhiberi potest. Loco constantis arbitrariae is valor ipsius F introduci potest, quem recipit posito x O: cum autem euenire possit, ut hic valor fiat imaginarius, conueniet istam constantem ita definiri, ut posito x a fiat F b, quo pacto ad omnes casus applicatio fieri poterit. Hinc erit

unde colligitur

Ponatur breuitatis gratiag A-- aBa--Caa mei et g A- aBb- C, MIT 2b, ut sit

379쪽

ul et

Statuatur ergo

ude aequatio nostra assumta est

Scholion 2.

Si ponatur β o, ut aequatio sit

380쪽

cuius aequationis integrale coinpletum erit ipsa aenuatio assiim-

integrale completum est xέ --b gQuodsi simili modo calculus in geuere tractetur, aequationis differentialis

si breuitatis gratia ponatur g AH aB bH Cbb zzz B, erit

integrale completum

Vnde casus praecedens mani stilo sequitur, si ponatur B m o. A a a a Verum Diuiliaco by CO dile