장음표시 사용
361쪽
sit ae m. Ita ut posito xma, fiat Xmo; tum examinetur xalor formulae E posito x zz a, qui nisi fiat infinitus, aequationis propositae integrale particulare certe erit x zzz a. Vel ponatur x zz a -- ω , spectando tu Vt quantitatem infinite paris am, ac si prodeat X m Ρ P, exponens λ, nisi sit unitate minor, indicabit integrale xma; sin autem si unitate minor, aequatio x zzz a pro integrali non erit habenda. Simili modo examinetur alterius partis denominator qui si evanescat posito γ 2b, hocque casu sormula V non fiat infinita, aequatio a zz b erit integrale particulare; quod ergo etiam euenit, si posito a m b Ψ ω, prodeat V m Q ω , ubi e ponens λ unitate non sit minor.
ss8. Nisi ergo membra aequationis separatae suerint fractiones, quarum denominatores certis casibus evanescant, huiusmodi integralia particularia non dantur; nisi sorte in tali aequatione P daemQΘs, factores P et Q certis casibus fiant infiniti, qui autem casus ad praecedentem facile reducitur.
sso. Veluti si habeatur δ x tang. zz , primo quidem integrale particulare est y m h , tum vero quia positox zzz a fit tang. Ita oo , prius membrum ita exhibeatur 'c, cuius denominator posito x zzz a- ω fiteo t. r
362쪽
sso. Hinc ergo interdum pro eadem aequatione duo pluraue integralia particularia assignari possunt. Veluti pro hac aequatione integralia particularia sunt a - x o et b-3 o, quae etiam eX integrali completo a - x TC b-Fr consequuntur, illud sumendo C o, hoc vero sumendo C α Oo.
s set. Simili modo huius aequationis quatuor dantur integralia particularia a --xzo, a - x O, b --Ι - Ο, b -I o. Integrale completum vero est
Quare si Q sit iunctio rationalis ipsius x, proposita aequatione Θs z fae , omnes factores ipsius Q nihilo aequales positi, praebent integralia particularia.
st a. Hoc etiam pro factoribus imaginariis valet, etiamsi inde parum lucri nanciscamur. Si enim proposita sit
363쪽
integrali completo, quod est 3 T C -- Ang. tang. minus sequi videntur. Verum posito x π a έ - 1 notandum est, esse Ang. tang. έ - I ' γέ - I, unde si constanti C similis forma signo contrario affecta tribuatur, altera quantitas F manet indeterminata, etiamsi ponatur x a g - 1 , quae positio propterea pro integrali particulari est habenda. Est enim in genere
unde posito u -- I vel uz - 1, prodit - έ - I, quod inmnitum in causa est, ut integralia allignata Iocum habeant. Quocirca in genere affirmare licet, si fuerit ΘI f, denomina . torque saetorem habeat a -- x cuius exponens λ unitate non sit minor, semper aequationem a--x π o fore integrale particulare. Sin autem λ sit unitate minor etsi positivus, non erit a -- x ' o integrale particulare, etiamsi posito x - - a aequationi differentiali satis iaciat.
s64. Insigne hoc est paradoxon a nemine adhuc, quantum mihi quidem constat, obseruatum, quod aequationi differentiali eiusmodi valor satisfacere queat, qui tamen eius non sit integrale; atque adeo vix patet, quomodo haec cum solita integralium idea conciliari possint. Quoties enim prO- posita aequatione differentiali eiusmodi relationem variabilium exhibere licet, quae ibi substituta satisfaciat, seu aequationem identicam producat, vix cuiquam in mentem venit dubitare , an illa relatio pro integrali saltem particulari sit habenda, cum tamen hinc procliue sit in errorem delabi. Veluti etiamsi huic aequationi δ) U a a - x x -ys) π de Θ x -- ' Θ3 satisfaciat haec
aequatio sinita x x - - 's T a a, tamen enormem errorem com
mitteremus , si eam pro integrali particulari habere vellemus, propterea quod ea in integrali completosta C - g aa - xx '
364쪽
neutiquam eontinetur. Quamobrem etsi omne Integrale aequationi differentiali satisfacere debet, tamen non vicissim concludere licet, omnem aequationem finitam, quae satisfaciat, eius esse integrale; verum praeterea requiritur, ut ea certa quadam proprietate sit praedita, cuiusmodi hic exposuimus, et qua demum efficitur, ut in integrali completo contineatur. Hoc autem minime aduersatur Verae integralium notioni, quam hic stabilivimus, neque huiusmodi dubium unquam in integralia per certas regulas inuenta cadere potest; sed tantum in eiusmodi integralibus, quae diuinando quasi sumus assecuti, locum habet. Saepe numero autem, quando integratio non succedit, diuinationi plurimum tribui solet, tum igitur maxime cauendum est, ne relationem quampiam satisfacientem temere pro integrali particulari proseramus. Quod cum iam inaequationibus separatis simus assecuti, quomodo in omnibus aequationibus differentialibus huiusmodi errores vitari oporteat, sedulo inuestigemus.
s6s. si quaepiam relatio inter binas variabiles satis-saciat aequationi differentiali, definire virum ea sit integraIeparticulare nec ne 8
sit P δ ae 3s aequatio differentialis proposita, ubi
P et Q sint functiones quaecunque ipsarum x et F, cui satisfaciat relatio quaepiam inter x et ν, ex qua fiat a X, sunctioni scilicet cuidam ipsius x, ita ut si loco F ubique scribatur X, reuera prodeat PΘx Qὸν seu Quaeritur ergo utrum hic valor a X pro integrali aequationis propositae haberi possit nec ne ' Ad hoc diiudicandum ponatur 3 X- - ω, fietque ubi notetur si esset ιγ o,
365쪽
fore Quare ob sit expressio L hae substitutione reducetur ad Vna cum quantitate ita per ae affecta, ut eu nescat posito ω o. In hoc negotio lassicit ω ut particulam infinite paruam spectasse, cuius ergo potestates altiores prae infima negliger: liceat. Ponamus igitur hinc fieri zzz- SP, habebiturque S tu seu - S 3 x. . Ex supe-κ in rioribus iam perspicuum est, tum demum fore ν zzzX integrale particulare, seu ω o, cum exponens λ fuerit unitati aequalis vel maior: similis enim hic est ratio ac supra, qua requiritur, ut integrale ISΘx fiat infinitum casu proposi-
to, quo iam O, hoc autem non euenit, nisi λ sit unitati ae qualis, vel 1. Quodsi ergo aequationi ΡΘx Qδs seu satisfaciat valora X, statuatur ' XH- tu, spectata particula vi infinite parua, et inuestigetur hinc forma g. Stu , ex qua nisi sit λ α I concludetur, illum valorema X esse integrale particulare aequationis propbsitae.
s66. Cum lia tractetur ut quantitas infinite parua, valor ipsius posito 3 X-ω per differentiationem comm
dissime inueniri posse videtur. Cum enim L sit functio ipsarum x et ν, statuamus
et quia posito I X, fractio D abit in per hypothesin, si loco F scribatur X-- ω, ea in Nω transibit, unde ob
exponentem ipsius ae Unitatem sequeretur, aequationem a ' X semper esse integrale particulare, quod tamen secus euenire Potest. Disiti reo by Corale
366쪽
potest. Ex quo patet differentiationem to eo substitutionis adhiberi non posse; quod quo clarius ostendatur, ponamus esse' - έ 3 - XJ -- M, unde posito F X - ω manifesto
illa diserepat. Illa scilicet aequationem F X ex integralium numero remouet, haec Vero admittere videtur. Verum et hic notandum est quantitatem N ipsam potestatem ipsius si, negatiue inuoluere; Vnde potestas ae deprimatur. Quare ne hanc rationem spectare opus sit, semper praestat vera substitutione uti, disserentiatione seposita. Hoc obseruato haud dissicile erit omnes valores, qui aequationi cuipiam disserentiali satisfaciunt, diiudicare, utrum sint vera integralia nec ne Τ
367쪽
integram, aequatio F x certe est integrale Particulare aequationis differentialis propositae.
potestatem ipsius ω, cuius exponens est Unitate minor, sequitur valorem I x non esse integrale particulare aequationis propositae, etia insi ei satisfaciat. Scilicet si eius integrale completum exhibere liceret, pateret, quomodocunque constans arbitraria per integrationem ingressa definiretur, in ea aequati nem I x non contentum iri.
s69. Hinc noua ratio intelligitur, eur diiudicatio I tegralis ab exponente ipsius ae pendeat. Cum enim in exemplo proposito facto I x -- ω prodeat ' Θ x fa x, erit integrando a a fC--ἔ x g et x. Verum per hypothesin v est quantitas infinite parua, hinc autem utcunque definiatur constans C, quantitas ta Obtinet valorem finitum, qui adeo quantumuis magnus euadere potest, quod cum hypothesi ad- ersetur, necessario se quisur aequationem F x integrale esse non posse; hocque semper euenire debere, quoties Θω prodit 'diuisum Diuili od by Gorale
368쪽
diuisum per potestatem ipsius to, cuius expnnens unitate est minor. Contra vero patet, si facta substitutione exposita pr deat L R Θx, ut posito fRΘx IS fiat Iω I C - IS, seu ω m CS, sumta constante C evanescente utique ipsam quantitatem ae evanescere; quod idem euenit si prodeat existente λ I. Erit enim - . 'C S λ - Io tu seu λ-x e- - , Vnde sumto C G, quantitas iareuera fit evanescens, ut hypothesis exigit. Caeterum aequatio huius exempli, posito x 'pp - ρ ρ et p p -- ρ q, ab irrationalitate liberatur, fitque a ρ δ ρ
nullo modo tractari posse videtur; neque ergo eius integrale completum exhiberi potest. Cui aequationi eum non amplius satisfacit x 3 seu ρ o , hinc quoque concludendum est, alorem I x non esse integrale particulare.
particulare nec ne ΤΡOnatur I x - - ω spectata ae ut quantitate infinito parua, et Ob νγ - x x a x ω aequatio nostra hanc induet sormam a a Θ ω a x tu Θ x, seu a x Θ x. Quia igitur hie Θω diuiditur per potestatem primam ipsius ae , aequatio ν x utique erit integrale particulare aequationis propositae , atque adeo etiam in integrali completo continetur. Hoc enim inuenitur ponendo I .X - - quo fita'ΘuDissiligoo by Gorale
369쪽
ra 3 x. Multiplicetur per e' ', et integrale prodit
cui satisfacit q Io, Unde casus 3 x nascitur. At facta hac transformatione dissiculter patet, quomodo eius integrale inueniri oporteat. Si quidem superiorem reductionem perpendamus, intelligemus hanc aequationem integrabilem reddi simultiplicetur per e ρ ρ : q , quod cum per se haud facile pateat, consultum erit hac substitutione uti p p - qq rr, qua fit p p ρ ρ --r r et pd p - ρ Θ q r Θ r, unde aequatio abit in a a Θρ qrΘr qq-ro, seu T r Θ r -- , quae posito h s facile integratur. Quoties ergo licet eius modi relationem inter variabiles colligere, quae aequationi differentiali satisfaciat, hoc modo iudicari poterit, utrum ea relatio pro integrali particulari si habenda nec ne 8 Pro inventione autem huiusmodi integralium particularium regulae vix tradi possunt; quae enim habentur regulae, aeque ad integralia corrpleta inuenienda patent. Ita quae supra circa aequationes separatas obseruauimus, ob id ipsum quod sunt separatae, via simul ad integrale completum est patefacta. Simili modo si altera methodus per factores succedat, plerumque ex ipsis factoribus, quibus aequatio integrabilis redditur, integralia Dissili do by Gorale
370쪽
gratia particularia eoncludi possunt; quaemadmodum in seque tibus propositionibus declarabimus.
sua. Si aequatio differentialis P Θ α' - δ ν zzz o perfunctionem Μ multiplicata reddatur integrabilis, integrale particulare erit Μ o, nisi eodem casu P vel Q abcat in infi
Ponamus u esse factorem ipsius M, et ostendendum est aequationem u o esse integrale particulare aequationis prO- positae. Cum v aequetur certae sunctioni ipsarum x et 3, 'definiatur inde altera variabilis F, ut aequatio prodeat inter binas variabiles x et v, quae sit RΘx--SΘumo, unde posito multiplicatore Μ Nu, integrabilis erit haec forma NRuδα - ΝSuΘum O. Quodsi iam neque R neque s per u diuidatur, quo casu p sto u o neque P neque Q abit in infinitum, integrale viisque per u erit diuisibile. Nam siue id colligatur ex termino. N R u 3 x spectata v vi constante, siue ex termino NS uΘuspectata x constante, integrale prodit factorem u implicans, si quidem in integratione constans omittatur. Unde concludimus integrale completum huiusmodi formam esse habiturum V u C. Quare si haec constans C nihilo aequalis capiatur, integrale particulare erit u o, iis scilicet casibus exceptis, quibus functiones R et S iam ipsae per u essent diuisae, ideoque ratiocinii m nostrum vim suam amitteret. His ergo casibus e clusis, quoties aequatio P Θ x -- Q Θ3 mo per funistionem Mmultiplicata fit per se integrabilis, eaque functio Μ factorem habeat v, integrale particulare erit u o, quod similiter de singulis factoribus functionis Μ valet.