Leonhardi Euleri *Institutionum calculi integralis Volumen primum in quo methodus integrandi a primis principiis usque ad integrationem aequationum differentialium primi gradus pertractatur

381쪽

Verum ope leuis substitutionis hae sormulae, ubi adest B, ad illum casum ubi B o reduci possunt.

sss. Si II: et significet eam functionem ipsius et, quae oritur ex integratione larmulae zs, integrali hoc ita sumto, ut evanescat posito z o, comparationem inter huiusmodi functiones instituere.

Solutio.

Consideretur haec aequatio differentialis

utroque integrali ita sumto , Ut evanescat illud posito x hoc vero posito F m. O, integrale completum erit II: F II: ae -- C. Ante autem vidimus, hoc integrale eme

conuenit eum hae

scque tam summa, quam differentia duarum huiusmodi sunctionum Disiligod by Cooste

382쪽

ctionum per similem iunctionem exprimi potest. Ille iam nullo habito discrimine inter quantitates variabiles et constantes, dum II: a iunctionem determinatam ipsius 2 significat, scilicet quae ut assumsimus euanescat posito zzzzo, ut hoc signandi modo recepto sit II: r m II: p II: q, debet esse

t vero sit II: r IΙ-- II: debet essee -- p έ δ ' - ρ g Α ἴ-- , Irinque autem sublata irrationalitate prodit inter p, q, r haee aequatiop' --- - app ρ ρ - ap prr - aqqr r 'ς , cuius forma hanc suppeditat proprietatem, ut si p, q, r sint latera cuiusdam trianguli, eique circumscribatur circulus, e ius diameter vocetur T, semper sit AH-CTT o. Illa autem aequatio ob plures quas complectitur radices, satisfacie huic relationi Π: pae Π:ρα Π:r O.

Corollarium I.

386. Hinc statim deducitur nota arcuum circularium comparatio, ponendo Ara x et C - I. Tum enim fit

383쪽

Ang. sin. r Ang. sin. p -- Ang. sin. g , oportet esse

et ut sit Ang. sin. r Ang. sin. p - Ang. sin. ε , debet esse

uti constat.

Corollarium P.

erit Ut autem sit

Corollarium 3.

384쪽

Est vero unde ut sit

Scholion.

389. Qito haec multiplicatio facilius continuari queat, praeter relationem aequationi II: r II: p - - II: qrespondentem, quae est

notetur aequutio

Quare ut sit Π : r Π : p -- Π: q, habemus non solum

sed etiam

385쪽

dabit

Ponamus breuitatis gratia

ut sit

386쪽

Haee Igitur relatio inter p et r satisfaciet huic aequationi diseserentiali

sso. Si Ponatur I ----α rei: et, integrali ita sumisto ut evanescat posito et f., Vnde Π: et fit functio determinata ipsius et, comparationem inter huiusmodi functiones i stituere

Solutio.

Consideretur haec aequatio differentialis

unde integrando fit II: x - Π : F Const. Integrale autem si quoque α - γ arx - 13 -- α δ xy O, quod ut locum habeat necesse est, sit

tum vero erit

eritque

387쪽

unde colligitur

Quocirca aequatio integralis algebraica erit

Ηine F per x ita definitur, ut sit

Ηine porro colligitur

potius definiri quam extractione radicis, qua ambiguitas implicaretur. Quocirca haec aequario transcendens Praebet sequentem determinationem algebraicam, si quidem breui Disiti od by Corale

388쪽

Corollarium I.

sset. Quoniam est per hypothesin II: faero, si po- eamus hreuitatis gratia k in '- CH F, et r L .ut sit

Corollarium 3.

389쪽

Corollarium 4-

Si sumatur A m x et C m - 1, fiatque II: Σ Ang. cos. z, ut sit f α: 1, erit Are. cos. 3 - Areccos p - - Arc. cos. ρ - Arc. cos. r, si fuerit

Scholion.

sys. Hine notae regulae pro eosnibus deducuntnr, quas fusius non prosequor. Verum casus facillimus, quo A o et C m x, hincque fit , existentefm I, insigni dissicultate premi videtur, ob expressiones pros et w A - C a z x in infinitum abeuntes. Cui incOIn modo Vt Occurratur, primo quidem numerus A vd infigito paruus spectetur, eritque

ac singulis membris euolutis AsDi iliaco by Corale

390쪽

seu s ess, uti natura Iogarithmorum exigit. Caeterum ex formulis inuentis haud dissiculter multiplicatio huiusmodi sunctionum transcendentium colligitur, veluti Vt sit Π:a ta n Π: a relatio inter x et I algebraice assignari poterit.

Problema 76.

ss6. si ponatur Π: z sumto hoe iniste erati ita ut evanescat posito z o, comparationem inter huiusmodi iunctiones transcendentes inuestigare.

Solutio.

Statuatur Inter binas variabiles x et F ista relatio α γ x x - II a δυ m o, unde fit

At illam aequationem differentiando fit

ut sit integrando

II: x --Π: ν const. V g m. Cum igitur sit