Leonhardi Euleri *Institutionum calculi integralis Volumen primum in quo methodus integrandi a primis principiis usque ad integrationem aequationum differentialium primi gradus pertractatur

401쪽

Corollarium. 3.

6os. Hinc ergo ν ita per x exprimetur, ut sit

atque ex hoc valore elicitur

Corollarium ψ.

Scholion.

6 Q. Hic iam usus istius methodi, qua retrogrediendo ab aequatione finita ad aequationem differentialem peruenimus, luculenter perspicitur. Cum enim integratio sormulae I nullo modo neque per togarithmos neque per arcus circulares perfici posset, mirum sane est talem aequatio nem differentialem adeo algebraice integrari posse; quae quidem in praecedente capite ope eiusdem methooi sunt tradita, etiam methodo ordinaria erui possunt, dum singulae formulae differentiales vel per togarithmos vel arcus circulares exprimuntur, quorum deinceps comparatio ad aequationem algebraicam reducitur. Verum quia hic talis integratio plane non locum inuenit, nulla certe alia methodus patet, qua idem integrale, Diqili od by Corale

402쪽

grate, quod hic exhibuissius, inuestigari posset. dua re hoe

argumentum diligentius euoluamus.

Problema 79

6xa. si II: α denotet eiusmodi functionem ipsius E, ut sit II: α -ipi ram fimi, integrali ita sumto ut evanescat posito a m O , comparationem inter huiusmodi lanctiones inuestigare.

Solutio.

Posita inter binas variabiles x et I relatione supra ει- finita, vidimus sore

Eum iam nullum amplius discrimen inter variabiles a , ν et constantem , intercedat, statuamus x p, I q, et b*-r, ut sit II: h-- Π: r , atque haec relatio inter functiones transcendentes Π:p--Π:j--Π:r oper sequentes sormulas algebraicas exprimetur,

quae Oriuntur ex hac aequatione

403쪽

CAPUT VL

quae autem ob pluralitatem radicum satisfacit omnibus siga rum variationibus in superiori aequatione transtendente.

Corollarium I.

vnde colligitur sore

erit atque

Corollarium Q.

Hoc igitur modo functio assignari potest aequalis duplo simia iis functioni S.

Corollarium I.

ut sit Π: ρ zz a II: p, fiet ex primo Coroll. II: r m a II: p. Tum

404쪽

CAPUT UI.

19sTum igitur erit

Scholion 1.

6I6. Nimis operosum est hanc iunctionum multipliaeationem ulterius continuare, multoque minus legem in earum progressione deprehendere licet. Quodsi ponamus breuitatis Sratia

ut sit Cp p AP Ρ - Α - Ερ' et Em A I hae multiplicationes usque ad quadruplum ita se habebunt; scilicet si statuamus II: r α: a II: p; II: ι zzz a II: p et II: t zzz 4. II: preperietur:

Quare si pro octuplicatione statuamus Π: Σ 8 II: p erit

Hinc intelligitur quomodo in continua duplicatione versari oporteat, neque tamen legem progressionis obseruare licet. Caeterum cognitio huius legis ad incrementum Analystos mari me eget optanda, ut inde generatim relatio inter et et p, pro D d d et ae Disiti od by Corale

405쪽

aequalitate II: E m n II: p definiri posset, quemaIn odit in lint in capite praecedente successu ; hinc enim exitum proprietates circa integralia formae spi λ ζ τά τέπ; cognoscere liceret, quibus scientia analytica haud medi riter promoueretur.

Scholion 2.

Vnde concludimus

Ponamus Vt ante

et quia singulae quantitates x, F, et factorem p simpliciter rari Voluunt, sit x mpX, a m p Y et zzzz p Zerit

Uius; formulae ope ex binis terminis contiguis X m Y s iquens Z haud dissiculter inuenitur. Quod quoi iamliust appinxeat, ponatur a P ta et xi - . G Ω, ut sit αμ - λlam progressio quaesita. ita se habebit

406쪽

Quaestio ergo huc redit, ut inuestigetur progressio, eX data relatione inter ternos terminos successi uos X, Y, Z , quae sit Z Xi etaistento tormino primo zzz x et secundo

II 3. Si II: et eiusmodi denotet functionemi ipsius a. vi sit II: et f, integrali ita sumto Vt eu

nescat posito z o , comparationem inter huiusmodi suns: nes transcendentes inuestigare.

Solutio.

uti ante vidimus

Ponamus igitur

407쪽

ut sit nostro sgnandi more II: x -- Π: F Const. - b UgA, ubi constans ita definiri debet, ut posito x zz o fiat s b. Quaestio ergo ad inuentionem stinctionis V reuocatur; quem in finem loco ΘF valore ex priori aequatione substituto, erit

Verum quia bi A A C x x -Ex AF Ex-Ebbxxν, habebimus

sumamus iam aequationem rationalem

et ponamus ut sit II τι et xI u, A ι ι -- b η-- a B u - EMuumo, ideoque

erit

seu ita ut at x -II Θx ra x ιδι -s Θ u

408쪽

CAPUT VI.

assex quo deducitur

unde integrando elicitur

Hoc ergo valore substituto, ob u xy, habebimus II: x - - Π II: b-Cum autem sit

B xF A b b - ήA xx --3I --- E b b x xII erit cui ergo aequationi satisfit per formulas algebraicas supra ex hibitas, quibus relatio inter x, a et b exprimitur. Quodsi

ergo statuatur haec aequatio

409쪽

Corollarium Ι.

σx s. Sit ut habeamus hane is quationem

Corollarium I. 62 o. sumamus s negatiue, et ibeo ' LMutamus ni

hunc valorem, ut habeamus

existente

Corollarium 3.

622. Hoc modo effic1 poterit, ut partes algebraicae evanescant, atque iunctiones transcesidentes solae inter se com

410쪽

parentur. Veluti si esset N m o, states oporteret 1s α ρ r, ut fieret At posito 3 ιαρ r, fit

Est vero etiam P

Scholion. 6aa. Si Πr 2 exprimat arcum cuiuspiam lineae eu vae respondentem abscissae vel cordae Σ, hine plures arcus eiusdem curuae inter se comparare licet, ut vel differentia binorum arcuum fiat algebraica, vel arcus exhibeantur datam rationem inter se tenentes. Hoc modo eiusmodi insignes eur- Varum proprietates eruuntur, quarum ratio aliunde vix perspici queat. Comparatio quidem arcuum circularium ex elementis nota per caput praecedens, ut vidimus, faci 'e expeditur, Vnde etiam comparatio arcuum parabolicorum derivatur. Ex hoc autem capite comparatio arcuum ellipticorum et hypembolicorum simili modo institui potest; cum enim in genere a eus sectionis conicae tali formula exprimatur fὸ τ έ , haec transformata in istam I 'gl- - :.i , per praecepta tradita tractari potest, ponendo A 'ac, C ab --h et E zzz b e, L a, M α δ atque Nmo. Haec autem i vestigatio ad formulas, quarum denominator est