장음표시 사용
101쪽
p ROPOS ITIO ASARTA. Si latus polygoni ducatur in seipsum unitate multatum de productum ducatur innumerum angulorum binario multatum , fiet numerus qui adscito duplo lateris, aequabitur duplo polygoni. .
Sit A. litias polygoni & B. unitate inino , & C. numerus angulorum biis A multiiu, ductoque A. in B. fiat F. quoducto in CiaiacE. M ad ipsum V. 7 - Ο '' addendo duplum litetis A. fiat D. dico D. esse duplum polygoni a latere G. IO. H. ducto B. in C. fiat Κ. eui addito binario nat H. quo ductis in A. sae G. eritque G. pet praeced. duplum polygoni 1 latere A. quate probandum ipsos DG. esse aequales. moniam igitur idem B. Quctus in A. de in C. producit F. Sc Κ. erit ut A. ad C. sic F. ad Mquare ex A. in K fiet idem E. qui fit ex CAn F. eum itaque H. contineat Κ. 3c binaritim, produci ex A. in re nempe G. aequatur productis ex A. in K. nempe ipsi E. dc ex A. in binarium, nempe duplo ipsius A. Ateidem Sic duplo A aequat ut D. ex hypothes. ergoDG. sunt aequales, de ideo inest duplus polygoni , latere A. quod demonstrandum erat.
Si quadratus dati lateris ducatur in numerum angulorum binario multatum, lea producto auferatur quod fit ex dato latere in numerum angulorum quaternarios blatum, residuum est duplum polygoni a dato latere.
v r M Sit A. Atum latus, dc B. uni; te minor, de sit Q numerus angulie rum binario mul Hus, de D. idem numerus angulorum multatusA I '3' nuiternatio, seu numerus binario minor ipsis Q de sit E. quadrat n. 49. v aqy. D. ipsu, A. quo ducto in C. fiat F. unde auserendo C. qui fit ex D. iii A. supersit AEdico H. esse duplum polygoni , latere A. etenim ducto B. in A. fiat K. quo ducto in C. fiat L. eui addendo M. duplum i plius Α. fiat N. eonstat ex praeced. ipsum N. esse duplum pol goni, latere A. Probandum ergo N. H. aequales esse. Quoniam itaque A. excedit B. unitate qui fit ex A. in A. nempe E aequatur iis qui fiunt ex A. in B. nempe ipsi K de ex A. in unitatem, mpe ipsi A. cum ergo Κ Α. aequentur E. qui sit ex C. in E. nempe F. aequatur iis qui fiunt ex C. in Κ. nempe L 3t ex C. in A, sed quoniam C. superat D. binario, producius ex C. in A. aequatur G. producto ex D. in A. Ecduplo ipsius A. nempe ipsi M. igitur F. aequatur tribus numeris LM. G. Quamo. brem auserendo utrimque eundem G. remanent aequales hine quidem H. inde vero L M. seu illis aequalis N. mare cum N. ostensus sit duplus polygoni a latere A. erit de re eiusdem polygoni duplus. Quod demonstiandum erat
Hae est demonstratio regi ta sitito tradunt 'timis or ad in umbim I Otrum dat. Luere, de qua Dpra ad noram Diophanti.
PROPOSITIO SEXTA. Dato latere polygoni, si triangulus a dato latere unitate multato ducatur in numerum angulorum binario multatum fit numerus qui adscito dato latere aequatur
is -, datum latus A. Ec numerus unitate minor B. dc sit C. numerus angulorum, V κ multatus, triangulus autem a latere B. esto D. quo ducto in Q fiat. ri y ti Q E. cui addendo datum latus A. fiat F. dico F. esse polygonum a latere A. ete- a nim dueitue R in A. de fiat G. quo ducto in C. fiat H. Tunc patet per --uam Diophanti ipsiam G. esse duplum trianguli a latere B. nempe ipsius D. quare elim ex eodem C. in ipsos G D. fiant H R erit de H. duplus ipsus E. Itaque elim ad Raddet ut duplum ipsius A. Ae ad T addetiit A. unde fit F. erit H. eum dumo A. duplus ipsius F. Atqui H. eum duplo A. est duplus polygoni , latere A. pet quartam huius. Elgo F. en huiusmodi polygonus. Q uod erat ostendendum.
PROPOSITIO SEPTIMA.si quilibet polygonus adsciscat situm latus secundum numerum angulorum binario multatum, &praeterea unitatem, fiet polygonus similis proxime maior.
102쪽
- D κ ri Esto Polyg'nus D. cuius latus A. eui addita unitate fiat B. oc si' 'SI' M oui hctu on lotum binario multatus C. Et productus ex si A's V δ' A. in civilitate victus est Eadditisque si naul ED. fiat F. dico G. I. H. 4. K. . L. 1O.Μax: N IR, ipsum. leu a latere B. Denuu expon tur 4riogressio cui linurei Leonii laua uitia i , nonim, oculiniancire in ea tot termini ψ.H Κ.L M. N. quot sunt in B. unitates. Igitur per odiauam Dis phalui diis ensi irraressionis eii C. & sumnia o imum est In ρ- latine. h. δες rumina torum G. H. K. L. M. in polygonin D. Pol Fonus ergo latere B.excedit ipl in Pinumero N. Axquiret tertiam qios lati N. continet unitatem G.& productum ex differentia C. in A. unitate minorem numero terminor unudi productus exta in A. unitate auctus est M Uti r E. aequatur ipsi N. eum ergo ut ostensum est compositus ex N D. aequetur polygono , Iatue utique compesitus ex E D. nempe Retit huiusmodi polygonus quod erat Πελλ μ' .A-a ,- - -
p Ropo, ITIO OCTAVA. Si triangulas collatinalis dumos, iurinnumerum anguli riun binario mill ratum, &a producto miseratur, quod e latere pol ilom innumerum angulorum ternario multatum, residuum aequabitur ipsi polygono.
Esto polygonus Κ. cuius latus Ν&mainermia gulorum binnio multatus B. unde ablata unitate supersit C. ternario minor numero angulorum, atque o. triangulus , latere A. quo ducto in B. fiat ν, - D D ta ductoque Q in A. fiat F. auferatur ex ta mi qui polummim K. is 'etenim sumatur G. trianginus . taxere uni te minore ipN.A. do 'oque R in
A d 3 knde per seriam luti uiciditis si ivit A.& H. net K. Quia igitur pet Q U IF praeehiae si id C. ,adai ut undas, & suum latus fiet D. unitas autem & latus ipsi G. aequantur A. erit D. aeq. lis duosus A G. stinui. quani obrem qui fites,in D. nempe Taequum iis qui fiumri B. in A. 3 ex B. in o. qui est H. Productus aut ran ex s. i' A. ui dein n. superat unitate ipsim C. aequanit producto ex C. in A. nemIR F. 3e praeterea ipsit A. Igiturnae tur tribus numeris H. A. V. unde viseetendo utrimque eundem F. rem'nta iumma duorum A. id nempe polusulis L aeo lis ei qui restiis ex E. auferatui p. quod demonΠrandum erat.
Dueito datum latus unisate multatam innumerum angulorum H ario multatum. prodisi tum binario auctam duciιν indatum titus, fiet duplum polygoni. constat Per tertiam huius. Ut dato utere 7. si q-ratur eisu pentago rara e latus unitate multatum est L numerus --mmbi ris η-Iιπις 3. qua ducto in o. μ ιδ. - biminis visi suae. quo ducto in 7.μ ε . cuia semissa
Ducito datum titas in numerum unitate minorem, productum ducito innumerum angulorum binario mulιatam producto adde duplum Dieris, flet duplum ρο- isgoni per quartam huius .
Ducito quadratum dati titeris in namerum angutiram binaria multatum, apro icto aufer quod sit a datis titere in numerum angatorum quaternario multa. tum, residuum erit duplum post Oni per quintam huius.
103쪽
1 Same trian tam a latere dat mmiate multato, quem ducito in numerum angu&νam binario muDatum , prodactooatae datum iatus , flet quoius postgonus per sextarii huius.
Same triangulum . dato urere , quem ducito in numerum anguiaram binario mutitatum , . producto aufer qua is ex utere dato in numerum angulorum multarum te xarao, residuum erit qu/μηs polysonus per octauam huius.
PROPO S ITIO NONA. Si numerus secetur in duas partes, triangulus totius aequalis est triangulis partium& plano sub partibus cornprehense.
D L s G diuinem, A C. secetur in AB. BC. dico triangulum totius A C. aequati triangu- , si. e A B & plano sub A B. B Q sumatur D E aequalis ipsi Α B. 4 es' apponatui E F. aequalis BC. de adiiciatur ei unitas FG. eonstat ergo D G. superare' Λ C. unitate, sicut & E G superat B C. unitate. Ducto insuper Α C. in D . sat Κ. patet ergo per octiuam Diophanti vel tertiana huius ipsum K. esse duplum uianguli a latere A C. quia vero ducere A C. in D G.ideni est atque dueere suillatim An in D E. E F. FG. & BC. in D EEG .eta X. aequalis productis illio omnibus. At dueere A B. in DE sibi aequalem & in unitatem F G. idem est atque ducere Α B. in numerum unitate maiorem seipso, und- fit duplum trianguli ipsius A R. ducere autem A R in E F. idem est atque dueere Α B. in B C. igitur patet ex ductu A B. in totum DC. feri duplum trianguli A B. 8t plinum sub ΑR BQ similiter productus ex BQ in DE. aequat ut plano sub A B. B & productus ex B Q in E G. qui unitate maior est, aequatur duplo trianguli ipsius B C. igitur productus ex B C. in totum D G. aequatur duplo trianguli ipsius B Q& plano sub Α B. B Q quamobrem compositum ex productis ex Λ B. in D G. & ex B C. in D G. nempe productus ex Α C. in D G. nimiriun ipse Κ. aequalis est duplo triangulorum A B. BC. de duplo plani sub AB. B C. igitur dimidium ipsius K nempe triangulus AC aequat ut triangulis Α αB C. & plano sub A B. B C. quod demonstrandum erat.
Hijo sinitur duplum enis ni trianosi ads/mpto eo teriai piadrato, facere triangurum at δε lieas. ; md euidens eis si A B. T C. ponantur aruatis. PROPOSITIOruatis DECIMA.
Si numerus secetur in duas paries, polygonus totius aequalis est similibus polygonis partium, de plano sub partibus comprehense , sumpto secutulum numerum angulorum binario multatum. Sit numerus AC sectus in AR BC. & sit D. numerus angulorum binario multatus, & H unitate minor. dico polygonum totius A C. aequari polygonis similibus partium Α λ B Q &pro lucio ex D. in planum sub AB. B C. eo prehensum. Etenim sumantur F. & G. trianguli ip tum A B. BQ & sit Itaplinus sub Α R B Q Tum ducto D. in ipsos F. G. H sollatim, fiant X. L M.&dum T qui est numerus angulorum ternario multatus in AB. BQ fiant N. P. quibus detractis ab ipsis Κ L relinquantur R. S. quorum summa inqua ddita ad M. fiat T. Patet itaque ex Ala e structione & per octivam huius numeros R. S. esse polygonos ipsoru in A B. B Q quotum summa Q. addita ad M. qui fit ex D. iii Id. planum subpartibus 9 fiet utique T. continens polygonos pallium, & planum sub partibus sumptum secundum D 3. E 2.
104쪽
numerum angulorum binario multatum. Restat ergo probandum ipsum T. esse polygonum similem totius A C. Quoniam ergo F G. sunt trianguli partium Α B. B C. & H. planus sub partibus erit aggregatum ipsorum F-G. H. aequale triangulo totius A C. per praeced. are eum ex D. in ipsos P. G. H. fiant K. L M. erit aggregatum ipsorum E. L. M aequale pii ducto ex D. in triangulum idi sus A C. cum etiam N. P. aequentur producto ex Hin A C.& iis sublatis de aggregato illlarum M L. M. supersint R. S. M. teu T. patet T. esse id quod testat si pro luetiis ex E. in Λ C. austratur a producto D. in triangulum eiusdem Α C. ergo T. est Polygonus ipsius A C. per octium huius. Quod erat ostendendum.
Eι quemadmotam secundi extenssimus adsectionem is era in pullis et paries. Sis ista uniuersinus proponemur, hoe scitiere modo.
Si numerus secetur in quotlibet partes, postgonus totius aequalis est similibus po-0gonis partium , se productis ex qua tibet parte in quamlibet aliam toties sumptis
quorsunt unitates innumero angulorum binario multato. i. Esto enim A D. se Etrus in iri iubet partes Az. B C. C LI. Osit Κ. m erus angui A s c D mm binario m- t M. Dico Ul Mium totiua A D. κνari polygonissingulorum A B. BC. C D. o proiactis ex quatiore parte in quambbra sumptis secundam x. GUA returnius A D. υι sectus in duas partes A C. C D. Tunc per hane propositionem decimam polygonus ratius aquatur 'luonis ipsorum A C. C D. st produIIo ex A C. in C D. ducto in K. similiter ol gonus A C. aquaturri sonis ιpsorum se S. B c. producto ex A B. in B C. Acto in K. Ira racum ct productus ex A C. in C D. dactus in K. aquetur prodactis ex A C. in C D. Actis in A. patet pol gonum totius aequari postgonis partium AB. B C. C D. O productis ex qualibet in quamlibet dui iis in L. quod siponatur numerus disi sus in ιν aruor parier, simiis Onotitii ur per id p od δεδι---ntro ostensum est, ctsic in infinitum. Ergo paset propositum.
PROPOSITIO VN DECI M A. Quilibet polygonus componitur ex tot triangulis, quot unitates continet num rus angulorum binario multatus. Ex his autem unus est collateralis ipsi polygono, reliqui vero a latere proximὰ minori.
Α i Esto quilibet polygonus A. euius latus B. quod unitate multatum sit C. & nu DIL/c gulomui Dinario multatus esto D. dico polygonum A. com ni ex tot 3 triangulis quot sunt in D. unitates, quorum unus en ab ipso latere B. reliqui a latere C. Etenim per sextam huius polygonus A. aequatur producto ex D. in triangulum abs C. adscito latere B. sed si uni triangulorum abs C. eoncipiatur vidi B. fiet triangulum ab ipso B. per septimam huius quia B. continet Q& praeterea unitatem Patet ergo polrgonum A. componi ex tot triangulis quot sunt in D. Uitates quorum unus est i latete B. reliqui a latere C. quod de
Hine etiam HScietur Carin adinveniendum postgonum edato latere. NMnsi quaeraturrent Monum a latere 6. Pia nu/nerus angulorum binarιο -tiatus e F 3. eonfiat eruasitum pentagonum componi ex m-bus triangulis quorum Onus eu a urere 6. rempti duo a lasere D si ergo 'mas μι modi triangulis aia 1. ιν. horum Iumma erit 11. quaesitus pentagonus. Quia vero si datum Milo ducatur in seipsium unitat. Mum' duplum trianguli a dato tirere, Os idem latus ducatur in seipsum unitate multatum ,sit ἀμprum trianguli proxime minoras,frmari poterit Camn omnium eluant Usmus est expeditis iv.
Dato titeri unitate aucto adde Vfummet latus unitate multatum toties , quo sunt unitates in numero angulorum multato ternario , summam ductio in datam
105쪽
Ducito datum latus innumerum angulorum binario multatum, a tradacto aissis nurum angurorum multatum quaternario, res um ducito in dasim Liui s duplum polygoni.
mi fiamprorsus mangulis constat ex onMuctio, ID-x PROPOS ITIO DUODECIMAE polygoni collaterales ordinate disponantur, ij cum suo communi latere constituent progressionem arithmeticam, cuius differentia erit trianaulus ab
Coiae in Iatere unitate multato. Q s. r. Κ. 2 L. 3. M. 4. ςviv triangulus B. quadratus C. penta onus A. T. B. 28. C. O. D. να E. Ol. 'ς ' nu R dc sic deinceps. sitque F. minor unitate quam A.
filii antiir H I M A.. nitatis crescentes, si
CANO N. Ducito triangulum titeris unitate multi in numeram multuudinis poti norti munitate muιtatum, producto adde duplum minimi polygoni iommam 2e2 iis ,-- merum mutittudinis polygonorum , μι duplum quaesita summa.
106쪽
esto eos IT Io Dic I M A TERTI A. In progressione numerorum secundum seriem naturalem dis litoriam ab unitate, Hlygonus maximi aequatur maximo terminorum , & summae reliquorum sumptae secundum numerum angulorum binario multatum. o Haee Aelle petis. concluditur, cum qua idem serε est mutatis verbis.' ri.ti Z sint A B C D Ep. quotlibet numeri tecundum seriem naturalem nu- 1. V 2- 3- U ε- n F, F 6. iolum it, .nitate dispositi, & maximi F. Polrgoniis esto G. de numerus angulorum binario multatus sit M. dico G. aequari ipsi F. dc summae reliquorum A B C. D. E. sumptae secundum H. salia enim summa ipsoriam ABC DE. est triangulus a latere E. unitate minore ipso F. patet per 5. productum ex H. in illum triangulum adscito v. aequari ipsi G. unde rotet propositum.
p Ropo sIT IO DE cIM ART A. In progressione numerorum secundum seriem naturalem dispositorum, aggregatum similium polygonorum a singulis, aequatur productis ex sic dispositis numeris in toti dem numeros progressionis huiusnodi polygonorum constitutivae, si videlicet maximus unius ordinis ducatur in minimum alterius ordinis. Tum primus a maximo ducatur in primum a minimo , & secundus a maximo in secundum a minimo . & ita deinceps. Sint A B C D. seeundi mi seriem naturalem dispositi de
summa polygonorum singulis esto v. tum sumantuit B a iidem ter ini in progressione huiusmodi polygonorum constitutilia, ordine inuerso dispositi E FGH. ductisque A in H. Bin G. C in F. D in C sit productorum i unax dico VX. esse aequales, sit enim.L. disserentia progressionis constitutivae, seu numeriis angulorum biliario niuliatus : patet pet pinnaria huius F. eontinere unitatem E.& Esemel;G. continere Uitatem seines,& L. bis; H. continere unitatem temet , Et L ter. Dividantur ergo numeri H. G. F. in paries ex quibus componuntur,nimirum E in unitatem Κ. & in L. Ipse autem G. in unitatem M. & in N. P. aequales ipsi L. Dentiae ipse H. resoluat in unitatem in R.S.T. aequales ipsi LPatet numeros qui fiunt ex A. in A. ex s. in ta ex C. in F. ex D. in Z simul iunctos: nempe X. aequati omnibus gui fiunt ex Ain Q R. S. T. ex B. in M N P. de ex C. in K Udc ex D. in E. Quia igitur ex E in . fit ipse D. quia Eest unitas At ducere L. in C. P. in B. N T. in A. idem est ae dueere L. in summam omnium AB C. productus autem ex ta in summani omnium AB C. adseito D. Deierolygonum ipsus D. per praecedentem. Patet productos ex E. in D. ex L. in Q ex P. in B. & ex T. in A. aequari polygono ipsius D. simili prorsus argumento ostendemus productos ex K. in Q G N. in B. N eκ S.in A. aequati polygono ipsius C. & ruritis productos ex M in B. & ex R.in A. aequari polygono ipsius B.& denique constat ex uanitate in A. vi ix.tem fieri milygonum i us A. Igitur euidente, omnia illa producta seu numerum N aequari polygonis a singulis A B C D. seu numero V. quod demonstrandum erat.
p Ropos ITIO DEC I M A I I NT A. Si sint quotlibet numeri ab unitate secundum seriem naturalem dispositi, ag atu in productorum ex numero angulorum binario multato in primum a maximo semel, in secundum bis , in tertium ter, & sic deinceps adscita summa numerorum, aequatur aggregato polygonorum a singulis.
Repetatur enim piaecedens figura. Dico aggregatum productoritui ex L. in Q semel, in B. bi, iuste deinceps, adstita summa ipsorum ABCD. aequari V. V Io polygonorum , sngulis. Nam ex praecedenti coni at V. aequari productis ex E in D. ex Κ L in Q ex MN P. in B. & ex Mi S T. in A. Quia vero singuli E Κ. M. in aequantur unitati producta ex T in D. ex K in C. ex M. in B. & in Α. simul aeqtiantur summae ipsistrum ABCD. Rursus quia snguli L. N. P. R. s. T. sunt aequales inter se, ducere L. in C. & N P. in B. & R S T. in A. idem est atque dueere L in C. semel.&iii B. bis&in A. ter. Uitur productis ex Lin C. semel in B. bis in A. ter, & sic deinceps. si addatur summa omisium Α Β C D. fit v. aggregatum polygonorum a singulis. Quod demonstrandum erat. A ter&
107쪽
PROPOSITIO DφCIMAS E aT A. Si sint quotlibet numeri ab unitate secundum seriem naturalem dispositi, & numerus angulorum binario multatus ducatur in aggregatum triangulorum a singulis
relicto maximo , de producto addatur triangulus maximi, fiet aggregatum p
soporum a singulis. V Sint iidem qui supra A B C D. dico si L duratur in aggregatum triangulo Aiae, Cloa A n C producto adda ur triangulus ipsius D. ficii U. asL ,. N in triangulus C. aequatur summae ipia' iorum AB C. triangulus B. aequatur summae ipsoriim A B. N triangulus A. aequatur ipsi A. sumere autem AB C. tum A B. tum A. idem est atque sumere Caeniel, B. bis,A. ter,do ae deinceps, ergo aggregatum triangulorum a singulis ABC. aequatur ipsi C. semel, de B. bis, de A. ter. Quare ducere L in aggresatum illud trianpuloriam, id est ac ducere L in C. semel, in Rhis, in A. ter. At productis ex L in C. semet,in B. bis,in A. ter, si addatur summa omnium A B C D. seu triangulus D. fit V. per praeced. I tur si dc producto ex L. in aggregatum triangulorum a singulis A R C. addatur triangulus D. fiet idem V. aggregatum Polygonorum , singulis. Quod demo
p ROPOSITIO DECIMA SEPTIMA. Si fuerint quotlibet numeri ab unitate secundum seriem naturalem numerorumdisbositi, productus ex numero terminorum unitate aucto in polygonum maximi, adscita summa numerorum, vel adscito triangulo maximi, aequata triplo similium polygonorum a singulis.
M. F. L. 4. N. I. H. a. G. r. h 3 ab unitate secundum seriem nit utilem A i. s. r. C. t. D. a. E e F 6. polygonuβ maximi R ducatur in numerum ter N. minorum unitate auctum ερ producto addatur summa ipsenim ABCDEF. seu quod idem est triangulus ipsius P. summam axium triplo polagonorum similium a singulix Sit enim N. numerus angulorum binario muli tua. & s et ipsos A B C D E. disponantur totidem illis aequales ordine inuerso G. H. K. L. M.t'ri 2. c. -& deinceps. Tunc patet ambos G R aequati ipsi Ree similiter ambos Α M. sed de ob medietatem arithmeticam summa duorum Α E. aequalis est sum-
Σ-B D. atque etiam duplo ipsius C. Igitur eum ambo Α H aequentur ipsis F. de summa duorum B D. sit eadem quae duorum B L de eadem quae duorum D H. 3: Κ. sit aequalis ipsi C. patet singulas suininas binorum M A. LB. Κ C. H D. GK aequari ipsis. Quare si harum summitum polygonitumantur, dc praeterea polygonus ipsius F. bis, aequabuntur hi omnes polystoni simul
producto ex polygono ipsius F. innumerum terminorum unitate auctum. Itaque cum polystonus
suininae M A. per decimam huius sit aequalis polygonis ipsoruni M. de A. dc plano sub M A. ducto in N. Item polygonias summae L B. st aequalis polygonis X. de L. de B. te plano sub L B. ducto in N. Item polygonus summae K C. st aeq ualis polygonis K. dc C. de plano sub K C. ducto in N. I tem H D. G S sitit aequales polygonis ipsorum Η. D.G. E de planis sub H D. c. R diictis iii N. polygoni autem ipsorum G. H. Κ. L. M. sint aequales polygonis ipsortim ABCDEs tu, addatur duplum lygoni F. se polysonorum a singulis A B C D E F. una cum plani, M A. sub L B. Gb K C. sub A D. sub G E ductis in N. aequati producto ex polystono ipsius
are si adiiciatur utrimque simina omnium ABCDEF. erunt summae utrimque aequales. Quia vero G. est unitas H. binarius. X. ternarius de se deinceps patet productum ex G in E aequari ipsi E. de productum ex H. in D. aequari duplo D. de productum ex K in C. aequari C. ter, de productum ex L in R aequari B. quater de productum ex Min A aeoliati R. quintiuira 3c sic deinceps. Igitur ducere N. in omnia illa producta, idem est atque dueere N. in E. semel, in D. bis, in C. ter, in B. quater, in A quinquies Ac se deinceps. Quare octis. huiux qui fit ex N. in omnia illa producta, adscita summa ipsorum A B C D E F. aequatur pol ν- sonixa singulis. Quamobrem qui si ex Polygono F. in numerum terminorum unitate auctum adsicita sumnia omnium, aequatur triplo Polygonorum 1 singulis. Quod erat ostendendum.
PROPOSITIO DECIM AO CT AV A. Si laetim quotlibet numeri ab unitate secundum seriem naturalem numerorum
108쪽
Sint Α Β C D E. ab unitate sectindum seriem naturalem , Se --ximi E. polygonus esto P. cui di iptum G. quo addito ad ipsum H sit H. quo ducto in K. vilitate ti,aic rem ipso E fiat L. dico L. esse sextuplii nisii nutum polygonorum a singulis ABCDE. Etenim ex K. in F. h.t M. Patet ergo per precessi si ad M. addatur summa oni iniuiu A B C D E fieri triplum polygonorum a singulis. Quia vero productus ex K. in Id. nempe aequatiir productis ex K. in G.&in E. ex quibus H. inponitur. Productus autem e in G. est duplus ad M. quia G. duplus est ipsius F γει pi .ducti ex K. in E in duplus summaeoninium A BCD E. per . Diophanti. sequitur L. contii ieie.duplum ipsius M. di siminae omnium A B C D E. id est duplum tripli polygonorum ii singulis. tuti est sextuplum huiusmodi Polygcnotum. Quod demonstrandum erat.
cape maximum polygonorum quem ducito in faum titus unitate auctum , pro- LIO adde triangulum iesus lateris , summae triens erit aggregatum polygonorum
Dillo maximi poluoni adde latus illius, fummam ducito in idem iaιus uni late auctum , producti sextans erit aggregatum polygonorum perrae.
Cape triangulum maximi lateris unitate multati , quem duciso in ιdem titus ita te auctum , productι cape r ientem , quem ducito in n meram angulorum binario multatum, producto adde trι angulum maximi Dieris,siet aggregatum polygonorum.
Vis queratur aggregatum 7. pentagono ab unitate cape aι. reaangulum it s ε. quem taetro Iat.' ιε . euius triens 16. quo Acto in s. st ιει. cui si addai ar. μ ιρο. aurigatum quasitum. Oniam vero in hunc scum reiecimus evocationem visima proposiιι ι Diophanti, cuius traim aio muttia est apud ipsum, enu promis fide ποι exota rara , mn eiuάιm i Antra usuius Diophanti, seu atiam prorsus amplectentes viam.
PROPOSITIO 19. PRO a LEM ALProposito quolibet numero , inuestigare quot modis polygonus dici possiti
Sit propositus numerus Do. Primo quidem eonstat ex desinitione Diophanti, eum esse polys, num a latere a. totque angulorum, quot ipse continet unitates,& sie dicetur hecaconticosigonalis. Deinde inuenietur triangulus esse , latere is. quia eius inullum unitate auctum, quadratum 96I.essicit, cuius latus ; . unde ablata unitate superest;o. euius lemissis is. est latus trigoni Iao. ut eon stat ex Diophanto. Denique ut sciamus an aliis modis idem iro. possit esse polymniis. Exponamur ab Uitate omnes in inlinitum ordinatim numeri, pura I. 2.3. . s. s. 7. 8. de iistis subiiciamur ab unitate triangulares omnes ordinate dispositi, putar. 3. 6. Io.ls. ai. 28. ut factum vides in apposita tabella, quae
109쪽
potest in infinitum extendi. Tum propositus numeriis 1 . diuidatur natim per numeros trian Pos, di observetur, quoties residuum odiuisione aequale erit lateri proxime uiriotis trian i, toties enim numerus Iao. polygonus ecit, cuius latus erit ipsum residuum diuisionis. At quotiens ostendet disterentiain'plostellionis huiuini odi polygo'orum consitutivae , seu quod idem est, idem quotiens binario auictus, numerum angulorum indicabit. Hac arte si diuidas iam hertriangulunt 3. ita ut residuum sit 3. fiet quotiens 39. indicam Iao. esse ooivgonum angulorum t. iviatessaracontabenagonalem, & residuum 3. latus illius denotat, ita si instituas progressionem ciuim terminorum quorum disterentia sit 39. fient hi I. Ao. 79. deo his polygoni angulorum t. finiti bunt uti. I. ino. Rursus si diuidas Iam per triangulum 28. ita ut residuum sitis. fiet quotiens O im dicans Do. esse hexagonum, at residuuna 8. radicem illius de o t. Ita si instituas progressionem Octo terminorum quorum differentia sit q. erunt hi I. F. 9. 33. 17. 2I. 23. 29. quorum lut inna utique est no. Quia vero Do. per nullum alium triangulum diuidi potest, ita ut residuum si aequale lateri proxime maioris trianguli, ideo pronunciamus propositum eundem numerum, pluribus alijs modis esse non posse polygonum quSin quatuor; cima sit ut ostensiim est triangulus, hexagonus, tessaraconi ahenagonus, de hecatonis cosigonus. Huius rei demonstratio facilis est, quod uno Gemplo fiet manifestum. Quia 28. diuidens noe dat quotientem A. de residuum L patet Do . aequari quadruplo ipfius 28. de numero 8. atqui per septimam huius triangulus G. cum S qui unitate maior est quam satus ipsius iacit triangulum 36. proxime maiorem, igitur iungendo 2R semel cum resduori semel, mit Dinaequalis triangulo G. ter. dc triangulo sequenti 36. semel, quamobrem per demonstrata in seliolio tr. huius iaα est polygonus collateralis ipsi 36. hoc est , latere 8. 3c habens tot angulos, quot triangulis ipse constat plus duobus hoc est 6. quod erat demonstrandum. Et euidens in si diuisio
tentata sit per omnes triangulos, donec deuentum sit ad aequalem vel maiorem ipso i . eundemiro. non posse esse polygonum aliter quam modis sic inuentis, etenim quomodocunque dicatur esse polygonus, oportebit per Ir. huius ut componatur ex tot triangulis quot ipse angulos habet, mi nus Gobus , quorum unus erit illi collateralis, alis a latere unitate minore, quare si collat is triannulus resoluatur in situm latus , de in proxime minorem triangulum, quibus aequatur, impropositus numerus continebit aliquoties minorem triangulum, de praeterea latus maioris trianguli semel, de ideo pro ius numerus ex demonstratis ostendetur esse polygonus uno inuentorum mod tum, vel in tetur omnes diuisiones non esse tentatas, Quorum primum negabatur, alterum iu
rebatur,unde manista tequitur contradictio, igitur ex omni parte pro sito est satisiactum. Aduerte autem compendii gratia, non omnino tentandam esse diu stionem donee peruenias ad triangulum aequalem vel maiorem Prorosito numero ; siisseit enim si deuenias ad itiangulum qui
semel tantum in proposito numero contineatur ; cum enim ex huiusmodi diuisione cruotiens non
it esse nisi t. qui auctus binario escit 3. numerum angulorum trianguli, patet per nane diuisi nem propositum nummi in non posse esse nisi triangulum, si tarie triangulus per quem fit diuisio, eum fatere sequentis hincius, efficiat ipsum sequentem triangulum. Quare cum per r lam Diophanti iam experius sis an propositus numerus sit triangulus,superfluum erit id amplius inquirere, sie in data hypothesi numeri leto. cum perueneris ad triangulum 66. qui semel tantum e tinet ut intro. imi sistere poteris ab examine, cumper id nil amplius tibi possit innotescere nisi iro. esse triangulum, cum diuides scilicet eum perti tragulum iri. sed id iam tibi eonstat. Rursus si propositus numerus si par, frustra tentabitur diuisio pet i iangulum parem cum latus sequentis est impar, quia enii neu iussi tui *uli paris multiplex quilibet est par. eo detracto apioposito numero pari, impossibile est relinqui imparem ut constat ex Euclide. Hae de causa timposito numero leto. sitima tentabitur diuisio per triangulos io. dc 36. quia latera sequentium, iunt
Eadem de eausa si propositus numerus sit impar, frustra tentabitur diuisio per triangulum parem quando sequentis latus est etiam pari etenim trianguli paria multiplex quilibet, par est, quo detracto , numere propositoini pari, impossibile est residuum esse par. Itaque in hoc casu non tentabit ut diuisio per triangulos 6. 28. 66. qui latera sequentium sunt 8.12. numeri pares, de sic de alius. Denique possunt de alia compendia obseravi, quibus iam prouecta diuisione, antequam penitus Asoluatur, dignosci possit an utilis sit statura necne, quae studio lectoti induanda relinquo.
110쪽
AD LIBRUM DE NUMERIS POLYGONIS.
ACxVM est superiore libro de progressione Uygonoriim , quorum ut secundum seriem
natiualem numerorum ab unitate uisposita ium. Hoc vero agemus de illorum pro regio- quorum latera reperiuntur in quali est medietate Mithmetua continua, cuius d fierentia aequatur minimo termino. Et primum quidem insignes aliquot huius medietatis proprietites pet--uemur Deinde peculiares de quadratorum progressione trademus regulas , tum generales de omnibus polygonis, demum singuiaria quaedam dc cubra deque eorum progressione proferemus.
PROPOSITIO PRIMA. In medietate arithmetica, in qua differentia minimo termino est arqtialis, pro
hietii, ex numero terminorum in minimum , quatur νὴ imo. - . sint in medietate arithmetica ABCD. & differenti, pinremotus ut E. A B C si ipsi A. de sit F. numerus te inorum,dico productum ex A. in F. aequa L F ti maximo D. etenim B. eontinet Α semel & differentiam S semel, at C. continet A. semel de differentiam E bis . ae denique D. continet A semel & differentiam E ter, & sie deinceps. inare cum E sit aequalis ipsi A. patet B. continere A. bis, C. ter. D. quater, di sic dein sese quilibet sequentium continet tinninium toties quot sunt , minimo usque ad telam minuenumeri terminorum, quamobrem D. continet A. secundum unitates ipsius s. ae proinde ducio A. in F. producitur D. quod demonstrandum erati
Hi ne patet secundunt a minimo eontinere minimum bis, tertium ter, quartum quater, & sic deinceps quotus quisque estinati e Progyessionis , toties continet minimum.
PROPOSITIO S ECV N DA. In hac progressione, productus ex numero terminorum unitate multato in maximum , duplus est summae reliquorum.. - Sint in hac progressione Α BCDE sitque G. numerus te morum&A 3 CLD' H. .nitate minor. dieo productum ex H. in E duplum esse summae reli quorum ABCD. quia enim H. est numerus terminorum ABCD. pr ductus ex H. in summam extremotum A D. aequaturduplo summae ipsorum ABCD. Per quartam Divphanti, at summa extremor uili A D. aequatur ipsi E. quandoquidem A. aequalis est disterent . Igitur ex H. in L fit duplum summae anteeedentium ABCD. quod erat demonstrandum.
PROPOSITIO TERTIA. In hac progressione. Quadratus maximi aequatur producto ex numero terminorum in planum sub extremis.
A m e . Homo Sint numeri qui sepa, fle planus sub extremis esto R. diem ratum C si D ' ista iiii, ita aequali producto eae G. iii K Etenim ex A. in G, si ipse Quare sumendo ues numeros A. G. E idem producetur num ducendo A. in E 3e productum K. in G. qui fiet ducendo A. in G. & productum E in E. hoc et quadratus ipsius E. Qirare patet proposirium